40.4 自旋与洛伦兹群

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 线性映射 · 李代数 · 李群 · 复化

正如群 $S O (n)$ 有双重覆盖 $S p in (n)$ ，群 $S O (3, 1)$ 也有双重覆盖 $S p in (3, 1)$ ，我们将证明它可以等同于由行列式为 1 的 2 乘 2 复矩阵构成的群 $S L (2, C)$ 。这个群将与 $S O (3, 1)$ 具有相同的李代数，我们有时会将这两个群中的任一个称为“洛伦兹群”。

回忆第6章的内容，对于 $S O (3)$ ，自旋双重覆盖 $S p in (3)$ 可以等同于 $S p (1)$ （单位四元数）或 $S U (2)$ ，而 $S p in (3)$ 作为 $R^{3}$ 的 $S O (3)$ 旋转的作用则由虚四元数的共轭给出（使用 $S p (1))$ ，或使用 $S U (2))$ 的某些2乘2复矩阵。在 $S U (2)$ 的情形中，这是通过明确识别而完成的

(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \leftrightarrow (x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} - x_{3})

然后证明用 $S U (2)$ 的一个元素共轭这个矩阵是一个保持不变的线性映射

det (x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} - x_{3}) = - (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2})

因此是 $S O (3)$ 中的一个旋转

同样的做法也适用于洛伦兹群的情形。现在我们将 $R^{4}$ 与 2 乘 2 复自伴矩阵的空间等同起来，通过

(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}) \leftrightarrow (x_{0} + x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} x_{0} - x_{3})

并观察到

det (x_{0} + x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} x_{0} - x_{3}) = x_{0}^{2} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2}

这提供了一种非常有用的方式来思考闵可夫斯基空间：将其视为复自伴2乘2矩阵，其范数平方减去该矩阵的行列式。

线性变换

(x_{0} + x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} x_{0} - x_{3}) \to Ω (x_{0} + x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} x_{0} - x_{3}) Ω^{†} (40.4)

对于 $Ω \in S L (2, C)$ 保持行列式，从而保持内积，因为

det (Ω (x_{0} + x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} x_{0} - x_{3}) Ω^{†}) = (det Ω) det (x_{0} + x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} x_{0} - x_{3}) (det Ω^{†}) = x_{0}^{2} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2}

它也将自伴矩阵映为自伴矩阵，从而将 $R^{4}$ 映为 $R^{4}$ ，因为

(Ω (x_{0} + x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} x_{0} - x_{3}) Ω^{†})^{†} = (Ω^{†})^{†} (x_{0} + x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} x_{0} - x_{3})^{†} Ω^{†} = Ω (x_{0} + x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} x_{0} - x_{3}) Ω^{†}

注意，当 Ω 与 −Ω 以这种共轭方式作用时，它们给出相同的线性变换。可以证明， $S O (3, 1)$ 的所有元素都作为这样的共轭映射出现，只需找到适当的 Ω，使其在 $μν$ 平面中给出旋转或推动变换，因为这些变换生成该群。

回忆一下双重覆盖映射

Φ : S U (2) \to S O (3)

对于 $Ω \in S U (2)$ 是通过将 $Φ (Ω)$ 取作 $S O (3)$ 中的线性变换而给出的

(x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} - x_{3}) \to Ω (x_{3} x_{1} + i x_{2} x_{1} - i x_{2} - x_{3}) Ω^{- 1}

我们已找到该映射到从 $S L (2, C)$ 到 $S O (3, 1)$ 的双重覆盖映射的一个延拓。它限制在 $S L (2, C)$ 矩阵中满足 $Ω^{†} = Ω^{- 1}$ 的子群 $S U (2)$ 上为 $Φ$ 。

题外话（复群 $S p in (4, C)$ 及其实形式）。回忆第 6 章，我们发现 $S p in (4) = S p (1) \times S p (1)$ ，相应的 $S O (4)$ 变换是通过将 $R^{4}$ 与四元数 $H$ 等同，并且不仅取单位四元数的共轭，还取不同单位四元数的左乘和右乘而给出的。改用复矩阵而非四元数来重写这一点，我们有 $S p in (4) = S U (2) \times S U (2)$ ，而一对 $S U (2)$ 矩阵 $Ω_{1}, Ω_{2}$ 通过下式作用为一个 $S O (4)$ 旋转：

(x_{0} - i x_{3} x_{2} - i x_{1} - x_{2} - i x_{1} x_{0} + i x_{3}) \to Ω_{1} (x_{0} - i x_{3} x_{2} - i x_{1} - x_{2} - i x_{1} x_{0} + i x_{3}) Ω_{2}

保持行列式 $x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$

再举一例，考虑将 $R^{4}$ 与2乘2实矩阵等同起来，给定 $b y$

(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}) \leftrightarrow (x_{0} + x_{3} x_{2} - x_{1} x_{2} + x_{1} x_{0} - x_{3})

给定 $S L (2, R)$ 中的一对矩阵 $Ω_{1}, Ω_{2}$ ，该线性变换

(x_{0} + x_{3} x_{2} - x_{1} x_{2} + x_{1} x_{0} - x_{3}) \to Ω_{1} (x_{0} + x_{3} x_{2} - x_{1} x_{2} + x_{1} x_{0} - x_{3}) Ω_{2}

保持矩阵上的实性条件，并保持

det (x_{0} + x_{3} x_{2} - x_{1} x_{2} + x_{1} x_{0} - x_{3}) = x_{0}^{2} + x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2}

因此给出 $S O (2, 2)$ 的一个元素，并且我们看到 $S p in (2, 2) = S L (2, R) \times$ $S L (2, R)$

这三种不同构造针对这些情形

S p in (4) = S U (2) \times S U (2), S p in (3, 1) = S L (2, C)

和

S p in (2, 2) = S L (2, R) \times S L (2, R)

对应于复群的某个事实的不同所谓“实形式”，该事实可通过将上述任一例子复化而得到（考虑元素 $(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in C^{4}$ ，而不仅仅在 $R^{4})$ 中。例如，在 $S p in (4)$ 的情形下，取矩阵中的 $x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}$

(x_{0} - i x_{3} x_{2} - i x_{1} - x_{2} - i x_{1} x_{0} + i x_{3})

使 $z_{0}, z_{1}, z_{2}$ 取任意复数值， $z_{3}$ 便得到任意 2 乘 2 复矩阵，而变换

(z_{0} - i z_{3} z_{2} - i z_{1} - z_{2} - i z_{1} z_{0} + i z_{3}) \to Ω_{1} (z_{0} - i z_{3} z_{2} - i z_{1} - z_{2} - i z_{1} z_{0} + i z_{3}) Ω_{2}

保持该空间不变，以及保持行列式 $(z_{0}^{2} + z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2})$ 不变，对于 $Ω_{1}$ 和 $Ω_{2}$ 而言，不仅在 $S U (2)$ 中如此，在更大的群 $S L (2, C)$ $S o$ 中我们发现， $C^{4}$ 的复正交变换群 $S O (4, C)$ 具有自旋双重覆盖。

S p in (4, C) = S L (2, C) \times S L (2, C)

由于自旋 $(4, C) = so (3, 1) \otimes C .$ ，复李群之间的这个关系对应于李代数关系

so (3, 1) \otimes C = sl (2, C) \oplus sl (2, C)

我们此前在证明通过取生成元 $l_{j}$ 和 $k_{j} o f so (3, 1)$ 的复系数可以找到两个不同 $sl (2, C)$ 子代数的生成元 $A_{j}$ 和 $B_{j}$ 时，已明确地得出了这一点。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 425、426、427、428、429、430、431、432、433、434

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：346edf4cbbddffa109e24945f1ff7006ef82167adc590089cedba91e2d050f4d

译稿产物 SHA-256：2df29f986d93dd39a793914b8b462a502430dacea06c7a0886728479b70926ad

机翻模型：deepseek-v4.1-flash

数学物理阅读

书架

40.4 自旋与洛伦兹群

40.4 自旋与洛伦兹群

关系图谱