40.2 洛伦兹群及其李代数

40.2 洛伦兹群及其李代数

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回忆一下，在 3 维中，保持标准内积的 ${\mathbf{R}}^3$ 的线性变换群是 3 乘 3 正交矩阵构成的群 $O(3)$。这个群有两个不连通的分量：$SO(3)$，即保定向（行列式为 +1）变换的子群，以及一个反定向（行列式为 −1）变换的分量。在闵可夫斯基空间中，有：

定义（洛伦兹群）

洛伦兹群 $O(3,1)$ 是保持 ${\mathbf{R}}^4$ 上闵可夫斯基空间内积的线性变换群。

就矩阵而言，a 个 4 乘 4 矩阵 $\Lambda$ 属于 $O(3,1)$ 的条件将是

$${\Lambda }^T\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\Lambda =\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

洛伦兹群有四个分量，其中单位元分支是一个子群，称为$SO(3,1)$（有些人称之为$S{O}^{+}(3,1),$）。另外三个分量通过将$SO(3,1)$中的元素与$P,T,PT$相乘得到，其中

$$P=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$

称为${}^6\mathrm{parit}{\mathrm{y}}^5$变换，它反转了空间变量的定向，并且

$$T=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

反转时间定向。

洛伦兹群有一个子群 $SO(3)$，由仅作用于空间分量的变换组成，其矩阵形式为

$$\Lambda =\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& & & \\ 0& & R& \\ 0& & & \end{array}\right)$$

其中 $R$ 在 $SO(3)$ 中。对于每一对空间方向 $j$、$k$，都有通常的 $SO(2)$ 子群，即在 $jk$ 平面内的旋转，但现在此外对于时间方向与一个空间方向的每一对 $0,j$，都有 $SO(1,1)$ 子群，其矩阵表示的变换称为沿 $j$ 方向的“推动变换”。例如，对于 $j=1$，有 $SO(3,1)$ 的子群，其矩阵具有以下形式

$$\Lambda =\left(\begin{array}{cccc}\cosh \varphi & \sinh \varphi & 0& 0\\ \sinh \varphi & \cosh \varphi & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

对于 $\varphi \in \mathbf{R}$

洛伦兹群是六维的。对于其李代数的一组基，可以取六个矩阵 $M_{\mu \nu }$，其中 $\mu ,\nu \in L_{0,1,2,3}$ 且 $j<k$。对于空间指标，这些是

$$M_{12}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),M_{13}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right),M_{23}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

它们对应于我们首次在第6章见到的 $SO(3)$ 的李代数的基元素。这些可以使用与之前相同的名称重新命名

$$l_1=M_{23},l_2=M_{13},l_3=M_{12}$$

并且回忆这些满足 $\mathfrak{so}(3)$ 对易关系

$$[l_1,l_2]=l_3,[l_2,l_3]=l_1,[l_3,l_1]=l_2$$

并且对应于绕三个空间轴的无穷小旋转。

取第一个指标 0，得到三个元素，分别对应于三个空间方向上的无穷小推动变换

$$M_{01}=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),M_{02}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),M_{03}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

这些可以重命名为

$$k_1=M_{01},k_2=M_{02},k_3=M_{03}$$

人们可以很容易地计算 $k_j$ 与 $l_j.$ 之间的对易关系，这些关系表明 $k_j$ 在无穷小旋转下按向量变换。例如，对于绕 $x_1$ 轴的无穷小旋转，可以得到

$$[l_1,k_1]=0,[l_1,k_2]=k_3,[l_1,k_3]=-k_2\text{\hspace{1em}(40.1)}$$

对易无穷小推动变换，得到无穷小空间旋转

$$[k_1,k_2]=-l_3,[k_3,k_1]=-l_2,[k_2,k_3]=-l_1\text{\hspace{1em}(40.2)}$$

题外话。物理学中更传统的记号是用 $J_j=i{l}_j$ 表示无穷小旋转，用 $K_j=i{k}_j$ 表示无穷小推动变换。这里采用不同记号的意图是，先从实李代数 so(3, 1) 的基元素 $(the{l}_j$ 和 $k_j)$ 出发，这些是纯实对象，然后再复化并考虑该李代数的表示。

取$l_j$与$k_j$的如下复线性组合

$$A_j=\frac{1}{2}(l_j+i{k}_j),B_j=\frac{1}{2}(l_j-i{k}_j)$$

人们发现

$$[A_1,A_2]=A_3,[A_3,A_1]=A_2,[A_2,A_3]=A_1$$

和

$$[B_1,B_2]=B_3,[B_3,B_1]=B_2,[B_2,B_3]=B_1$$

这一对 $A_j,B_j$ 的构造要求我们将 $SO(3,1)$ 的李代数 $\mathfrak{so}(3,1)$ 复化（允许基元素的复线性组合），并使用复李代数 $s$ $\mathfrak{o}(3,1)\otimes \mathbf{C}$。它表明该李代数分解为两个子李代数之和，而这两个子李代数各自都是 $SO(3)$ 的李代数（复化后）的副本，因此是 $\left(3\right)\otimes \mathbf{C}$。由于

$$\mathfrak{so}(3)\otimes \mathbf{C}=\mathfrak{su}(2)\otimes \mathbf{C}=\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$$

我们有

$$\mathfrak{so}(3,1)\otimes \mathbf{C}=\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})\oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$$

在 40.4 节中，我们将在群层面看到这一现象的起源。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：346edf4cbbddffa109e24945f1ff7006ef82167adc590089cedba91e2d050f4d

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