43.3 克莱因-戈尔登理论的哈密顿算子与动力学

43.3 克莱因-戈尔登理论的哈密顿算子与动力学

关于$\varphi (t,\mathbf{x})$的克莱因-戈尔登方程的哈密顿形式是以下一阶方程组

$$\frac{\partial }{\partial t}\varphi =\pi ,\frac{\partial }{\partial t}\pi =(\Delta -m^2)\varphi$$

它们共同蕴含

$$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\varphi =(\Delta -m^2)\varphi$$

为了将这些作为运动方程得到，我们需要找到一个哈密顿函数 $h$，使得

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\varphi & =\{\varphi ,h\}=\pi \\ \frac{\partial }{\partial t}\pi & =\{\pi ,h\}=(\Delta -m^2)\varphi \end{array}$$

可以证明，具有该性质的两个哈密顿算子函数的选择是

$$h={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\mathcal{H}(\mathbf{x})d^3\mathbf{x}$$

其中

$$\mathcal{H}=\frac{1}{2}({\pi }^2-\varphi \Delta \varphi +m^2{\varphi }^2)\mathrm{or}\mathcal{H}=\frac{1}{2}({\pi }^2+(\nabla \varphi {)}^2+m^2{\varphi }^2)$$

这里两个不同的被积函数$\mathcal{H}(\mathbf{x})$通过分部积分相关联（如同非相对论情形），因此它们仅相差被假定为零的边界项。

就 $A(\mathbf{p}),\overline{A}(\mathbf{p})$ 而言，哈密顿算子将为

$$h={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\omega }_{\mathbf{p}}A(\mathbf{p})\overline{A}(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}$$

运动方程为

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}A& =\{A,h\}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\omega }_{{\mathbf{p}}^{\prime }}A({\mathbf{p}}^{\prime })\{A(\mathbf{p}),\overline{A}({\mathbf{p}}^{\prime })\}{d}^3{\mathbf{p}}^{\prime }=i{\omega }_{\mathbf{p}}A\\ \frac{d}{dt}\overline{A}& =\{\overline{A},h\}=-i{\omega }_{\mathbf{p}}\overline{A}\end{array}$$

附解答

$$A(\mathbf{p},t)=e^{i{\omega }_{\mathbf{p}}t}A(\mathbf{p},0),\overline{A}(\mathbf{p},t)=e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}\overline{A}(\mathbf{p},0)$$

题外话。以拉格朗日形式体系为出发点，克莱因-戈登理论的作用量为

$$S={\int }_{M^4}\mathcal{L}{d}^{4}x$$

其中

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\left({\left(\frac{\partial }{\partial t}\varphi \right)}^2-(\nabla \varphi {)}^2-m^2{\varphi }^2\right)$$

该作用量是闵可夫斯基空间 $M^4$ 上域的函数，并且具有庞加莱 e 不变性。欧拉-拉格朗日方程给出的运动方程为克莱因-戈尔登方程 43.2。通过看出 $\varphi$ 的正则动量是，可以恢复哈密顿算子形式。

$$\pi =\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi }}=\dot{\varphi }$$

而哈密顿算子密度为

$$\mathcal{H}=\pi \dot{\varphi }-\mathcal{L}=\frac{1}{2}({\pi }^2+(\nabla \varphi {)}^2+m^2{\varphi }^2)$$

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来源版本：2025-10-20

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