43.2 M 上的辛结构与复结构

43.2 M 上的辛结构与复结构

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 复内积 · 荷算符 · 复化

以克莱因-戈尔登方程的解空间作为对偶相空间$M$，该空间元素的一种写法是${\mathbf{R}}^3$上的一对函数$(\varphi ,\pi )$。辛结构则由下式给出

$$\Omega (({\varphi }_1,{\pi }_1),({\varphi }_2,{\pi }_2))={\int }_{{\mathbf{R}}^3}({\varphi }_1(\mathbf{x}){\pi }_2(\mathbf{x})-{\pi }_1(\mathbf{x}){\varphi }_2(\mathbf{x}))d^3\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(43.12)}$$

而$(\varphi (\mathbf{x}),\pi (\mathbf{x}))$可以被视为一对共轭坐标，类似于数对$q_j,p_j$，但用连续指标$x$代替离散指标$j.$。同样，通过与有限维情形类比，辛结构可以用分布场$\Phi (\mathbf{x}),\Pi (\mathbf{x})$表示为

$$\{\Phi (\mathbf{x}),\Pi ({\mathbf{x}}^{\prime })\}={\delta }^3(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }),\{\Phi (\mathbf{x}),\Phi ({\mathbf{x}}^{\prime })\}=\{\Pi (\mathbf{x}),\Pi ({\mathbf{x}}^{\prime })\}=0\text{\hspace{1em}(43.13)}$$

我们现在有一个对偶相空间 $M$ 及其上的一个辛结构，因此原则上可以用无限维版本的薛定谔表示进行量子化，将值 $\varphi (\mathbf{x})$ 视为无限多个类位置坐标，并取态为这些坐标的泛函。然而，正如第36章和第37章的非相对论情形那样，使用巴格曼-福克表示要方便得多，即将量子场论系统视为无限多个谐振子的集合。这需要选择一种复结构，我们将在本节中讨论。

与非相对论性情形相类比，人们很容易试图将Klein-Gordon方程的解视为描述单个相对论性粒子的波函数。一个标准的物理论证是，描述局域粒子的相对论性单粒子理论是不可能的，因为一旦粒子的位置不确定度足够小，其动量不确定度就会足够大，从而提供产生新粒子所需的能量。如果你试图把一个相对论性粒子放进越来越小的盒子里，到了某个时候你就不再只有一个粒子了，而正是这种情况意味着只有多粒子理论才会是自洽的。这使人预期，任何试图找到自洽的相对论性单粒子理论的努力都会遇到某种问题。

一个明显的麻烦来源是负能量解。如果该理论与其他物理系统耦合，这些解将导致不稳定性，因为它们允许初始的正能量单粒子态演化到具有任意负能量的态，同时将正能量转移给与之耦合的其他物理系统。这可以通过限制到正能量解空间来处理，取 ${\mathcal{H}}_1$ 为具有正能量的复解空间 $(i.e.$ 2，让 $\varphi$ 取复值，并在方程 43.5 中令 $f(-{\omega }_{\mathbf{p}},-\mathbf{p})=0$）。于是人们就得到解

$$\varphi (t,\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}f({\omega }_{\mathbf{p}},\mathbf{p})e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\frac{d^3\mathbf{p}}{2{\omega }_{\mathbf{p}}}\text{\hspace{1em}(43.14)}$$

由复函数$f$参数化，该函数以$\mathbf{p}.$为变量。

这种对 ${\mathcal{H}}_1$ 的选择给出的理论非常类似于非相对论自由粒子薛定谔情形（并且如果令光速趋于 $\infty )$ ，该理论便作为其极限）。然而，洛伦兹不变性所要求的 ${\omega }_{\mathbf{p}}$ 因子导致以下特征（这些特征在非相对论极限下消失）：

• 不存在描述局域化粒子的态，因为可以证明形如 43.14 的解 $\varphi (t,\mathbf{x})$ 在 $x$ 中不可能具有紧支集。其论证是：若它们具有紧支集，则 $\varphi$ 及其时间导数 $\dot{\varphi }$ 的傅里叶变换都将是 $\mathbf{p}.$ 的解析函数。但解的傅里叶变换将满足

$$\frac{\partial }{\partial t}\tilde{\varphi }(t,\mathbf{p})=-i{\omega }_{\mathbf{p}}\tilde{\varphi }(t,\mathbf{p})$$

这导致矛盾，因为左边必须是解析的，而右边不可能如此（它是一个解析函数与一个非解析函数的乘积，${\omega }_{\mathbf{p}})$

• 对传播子的计算（见 43.5 节）表明，它在类空间隔的点上非零。这意味着一旦允许相互作用，就存在违反因果性的潜在可能，即一个时空点发生的事件会以超光速影响到另一个时空点。

为了按照与非相对论情形相同的思路，用这个 ${\mathcal{H}}_1$ 构造多粒子理论，我们需要引入一个复共轭空间 ${\overline{\mathcal{H}}}_1$ 1，然后应用 Bargmann-Fock 方法。这样我们就是在量子化一个具有对偶相空间 a 子空间的理论，该子空间由复 Klein-Gordon 方程的解组成，这些解满足一个在时空中非局域的条件（正能量）。

构造这一理论更直接的方法是从对偶相空间 $\mathcal{M}$ 出发，即克莱因-戈尔登方程的实值解。这是一个未给定复结构的实向量空间，但回想方程 43.11，它用复函数 $\alpha (\mathbf{p})$ 而非一对实函数 $\varphi (\mathbf{x})$ 和 $\pi (\mathbf{x})$ 来描述 $\mathcal{M}$ 中的点。我们可以将此视为复结构的一种选择，定义：

定义（相对论复结构）

空间 $\mathcal{M}$ 上的相对论复结构由算符 $J_r$ 给出，该算符延拓到 $\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}$ 后，在 $\overline{\alpha }(\mathbf{p})$ 上的 $\alpha (\mathbf{p}),-i$ 上为 $+i$

于是$A(\mathbf{p})$构成${\mathcal{M}}_{J_r}^{+}$的一个连续基，$\overline{A}(\mathbf{p})$构成${\mathcal{M}}_{J_r}^{-}$的一个连续基，并且

$$\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}={\mathcal{M}}_{J_r}^{+}\oplus {\mathcal{M}}_{J_r}^{-}$$

这一设置中一个令人困惑的方面是，在将 $\mathcal{M}$ 复化得到 $\mathcal{M}\otimes \mathbf{C},\mathbf{\alpha }(\mathbf{p})$ 和 $\overline{\alpha }(\mathbf{p})$ 之后，它们一般并不是复共轭的，只有在实子空间 $\mathcal{M}$ 上才是。我们从一个实的对偶相空间 $\mathcal{M}$ 出发，它可以用复函数来参数化

$$f_{+}(\mathbf{p})=f({\omega }_{\mathbf{p}},\mathbf{p}),f_{-}(\mathbf{p})=f(-{\omega }_{\mathbf{p}},\mathbf{p})$$

满足真实性条件（见方程43.6）

$$f_{-}(\mathbf{p})=\overline{f_{+}(-\mathbf{p})}$$

复化后，$\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}$ 将由复函数对 $f_{+},f_{-}$ ₋ 给出，且它们之间没有实性条件相联系。相对论复结构 $J_r$ 的选取使得 ${\mathcal{M}}_{J_r}^{+}$ 是满足 $f_{-}=0$ 的函数对空间（正能量双曲面上的复函数），${\mathcal{M}}_{J_r}^{-}$ 是满足 $f_{+}=0$ 的函数对空间（负能量双曲面上的复函数）。$\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}$ 上的共轭映射不是对 $f_{-}$ 或 $f_{+}$ 的值取共轭的映射。它是交换

$$(f_{+}(\mathbf{p}),f_{-}(\mathbf{p}))⟷(\overline{f_{-}(-\mathbf{p})},\overline{f_{+}(-\mathbf{p})})$$

由$\alpha (\mathbf{p})$和$\overline{\alpha }(\mathbf{p})$给出的

$$\alpha (\mathbf{p})=\frac{f_{+}(\mathbf{p})}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}},\overline{\alpha }(\mathbf{p})=\frac{f_{-}(-\mathbf{p})}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}$$

（见方程 $43.7)$ 通过这一非标准共轭相关联（仅在实解上，$\overline{\alpha }(\mathbf{p})$ 是 $\alpha (\mathbf{p}))$ 的复共轭。

同样值得记住的是，尽管就 $\alpha (\mathbf{p})$ 而言，复结构 $J_r$ 对于场变量基 $(\varphi (\mathbf{x}),\pi (\mathbf{x}))$ 只是乘以 $i,$，但 $J_r$ 并不是乘以 $i,$，而是某种复杂得多的东西。由方程 43.11 可以看出，在 $\alpha (\mathbf{p})$ 上乘以 $i$ 对应于

$$(\varphi (\mathbf{x}),\pi (\mathbf{x}))\to \left(\frac{1}{{\omega }_{\mathbf{p}}}\pi (\mathbf{x}),-{\omega }_{\mathbf{p}}\varphi (\mathbf{x})\right)$$

在 $\varphi (\mathbf{x}),\pi (\mathbf{x})$ 坐标上。该变换与辛结构相容（保持泊松括号关系 43.13）。作为位置空间解上的变换，动量是微分算符 $\mathbf{p}=-i\mathbf{V}$，因此 $J_r$ 需要被视为一个非局域操作，其可写为

$$(\varphi (\mathbf{x}),\pi (\mathbf{x}))\to \left(\frac{1}{\sqrt{-{\nabla }^2+m^2}}\pi (\mathbf{x}),-\sqrt{-{\nabla }^2+m^2}\varphi (\mathbf{x})\right)\text{\hspace{1em}(43.15)}$$

连续基元素$A(\mathbf{p}),\overline{A}(\mathbf{p})$的泊松括号由下式给出

$$\{A(\mathbf{p}),A({\mathbf{p}}^{\prime })\}=\{\overline{A}(\mathbf{p}),\overline{A}({\mathbf{p}}^{\prime })\}=0,\{A(\mathbf{p}),\overline{A}({\mathbf{p}}^{\prime })\}=i{\delta }^3(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })\text{\hspace{1em}(43.16)}$$

回忆第26.2节，给定$\mathcal{M}.$上的辛结构Ω和正相容复结构$J$，我们可以通过下式在${\mathcal{M}}_J^{+}$上定义厄米内积：

$$⟨u,v⟩=i\Omega (\overline{u},v)$$

对于 $u,v\in {\mathcal{M}}_J^{+}$。对于 $\mathcal{M}$ 实解情形下的克莱因-戈尔登方程，我们在 ${\mathcal{M}}_{J_{\tau }}^{+}$ 的基元素 $A(\mathbf{p})$ 上有

$$⟨A(\mathbf{p}),A({\mathbf{p}}^{\prime })⟩=i\Omega (\overline{A}(\mathbf{p}),A({\mathbf{p}}^{\prime }))=i\{\overline{A}(\mathbf{p}),A({\mathbf{p}}^{\prime })\}={\delta }^3(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })\text{\hspace{1em}(43.17)}$$

作为元素 $\alpha (\mathbf{p})\in {\mathcal{M}}_{J_r}^{+}$ 上的厄米内积，其中该空间是我们的单粒子态空间 ${\mathcal{H}}_1$ ，方程 43.17 意味着

$$⟨{\alpha }_1(\mathbf{p}),{\alpha }_2(\mathbf{p})⟩={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\overline{{\alpha }_1(\mathbf{p})}{\alpha }_2(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}\text{\hspace{1em}(43.18)}$$

${\mathcal{H}}_1$ 上的这个内积将是正定且洛伦兹不变的。

注意与非相对论情形的区别：在非相对论情形中，位置空间场或其动量空间傅里叶变换上具有同一个 $E(3)$ 不变内积。在相对论情形中，厄米内积对于解 $\overline{\alpha }(\mathbf{p})$ 的动量空间初始数据只是简单的 (43.18)，但对于位置空间数据 $\varphi (\mathbf{x}),\pi (\mathbf{x})$ 却是另一个相当复杂的内积（由于那里 $J_r$ 的复杂表达式 43.15）。与厄米内积和 $J_r,$ 不同，辛形式在位置空间和动量空间两种版本中都很简单，参见泊松括号关系 43.13 和 43.16。

题外话。量子场论教科书通常包含对克莱因-戈尔登解空间上非正厄米内积的讨论，该内积由下式给出

$$⟨{\varphi }_1,{\varphi }_2⟩=i{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\left({\overline{\varphi }}_1(t,\mathbf{x})\frac{\partial }{\partial t}{\varphi }_2(t,\mathbf{x})-\left(\frac{\partial }{\partial t}{\overline{\varphi }}_2(t,\mathbf{x})\right){\varphi }_1(t,\mathbf{x})\right)d^3\mathbf{x}$$

可以证明它与 $oft$ 无关。它定义在 $\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}$ 上，即复化后的克莱因-戈尔登解，并且在实值解上为零，因此不在这些解上提供内积。它不使用相对论复结构。如果我们从复克莱因-戈尔登场的理论出发，函数 $⟨\varphi ,\varphi ⟩$ 将是场上的相位变换所构成的 $U(1)$ 作用的作用量映射。它将带有电荷的解释，并在量子化后给出电荷算符。这将在 $\mathrm{44.1.2.}$ 节中讨论。为了将那里将要得到的电荷公式（方程 $44.4)$）与上面的公式进行比较，请使用运动方程

$$\Pi =\frac{\partial }{\partial t}\overline{\Phi }$$

上一节：43.1 克莱因-戈尔登方程及其解 · 下一节：43.3 克莱因-戈尔登理论的哈密顿算子与动力学 · English version

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来源版本：2025-10-20

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