43.4 克莱因-戈尔登理论的量子化

43.4 克莱因-戈尔登理论的量子化

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 酉表示 · 复化

给定我们在动量空间中对克莱因-戈尔登方程实解的描述以及上一节所选择的复结构 $J_r$，我们可以按照与非相对论量子场论情形类似的方式，通过巴格曼-福克方法构造量子场论。量子化采取

$$A(\alpha (\mathbf{p}))\in {\mathcal{M}}_{J_r}^{+}={\mathcal{H}}_1\to a^{†}(\alpha (\mathbf{p}))$$ $$\overline{A}(\alpha (\mathbf{p}))\in {\mathcal{M}}_{J_r}^{-}={\overline{\mathcal{H}}}_1\to a(\alpha (\mathbf{p}))$$

这里 $A(\alpha (\mathbf{p}))$ 是（复化）Klein-Gordon 方程的正能量解，其初始数据由 $\alpha (\mathbf{p})$ 给出，而 $a^{†}(\alpha (\mathbf{p}))$ 是 ${\mathcal{H}}_1$ 的对称张量积的 Fock 空间上的算符，由方程 36.12 给出。$\overline{A}(\alpha (\mathbf{p}))$ 1 是共轭负能量解，$a(\alpha (\mathbf{p}))$ 是由方程 36.13 给出的算符。所有这些对象通常写成分布形式，其中有

$$A(\mathbf{p})\to a^{†}(p),\overline{A}(\mathbf{p})\to a(\mathbf{p})$$

其可解释为对应于取$\alpha ({\mathbf{p}}^{\prime })\delta (\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })$的极限

算符$a(\alpha (\mathbf{p}))$和$a^{†}(\alpha (\mathbf{p}))$满足对易关系

$$[a({\alpha }_1(\mathbf{p})),a^{†}({\alpha }_2(\mathbf{p}))]=⟨{\alpha }_1(\mathbf{p}),{\alpha }_2(\mathbf{p})⟩$$

或以分布形式

$$[a(\mathbf{p}),a^{†}({\mathbf{p}}^{\prime })]={\delta }^3(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })$$

对于哈密顿算子，我们取正规序形式

$$\hat{H}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\omega }_{\mathbf{p}}{a}^{†}(\mathbf{p})a(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}$$

从真空态 |0⟩ 出发，通过施加产生算符，可以产生自由相对论粒子的任意正能多粒子态，其中单粒子态具有能量动量关系

$$E(\mathbf{p})={\omega }_{\mathbf{p}}=\sqrt{|\mathbf{p}{|}^2+m^2}$$

这一量子系统的描述与非相对论理论的描述基本相同，后者似乎仅区别于能量-动量关系，在那种情形下该关系为$\begin{array}{r}E(\mathbf{p})=\frac{|\mathbf{p}{|}^2}{2m}\end{array}$。相对论理论中用于量子化所采用的不同复结构，改变了湮灭算符与产生算符的物理意义：

• 非相对论理论。$\mathcal{M}={\mathcal{H}}_1$ 是自由粒子薛定谔方程复解的空间，这些解全都具有正能量。${\overline{\mathcal{H}}}_1$ 是共轭空间。对于 ${\mathcal{H}}_1$ 的每个连续基元素 $A(\mathbf{p})$（这些是具有动量 $p$ 的正能量解的初始数据），量子化将其变为产生算符 $a^{†}(\mathbf{p})$，其作用具有添加一个动量为 $p$ 的粒子的物理解释。${\overline{\mathcal{H}}}_1$ 中复共轭 $\overline{A}(\mathbf{p})$ 的量子化给出湮灭算符 $a(\mathbf{p})$，它移除一个动量为 $p$ 的粒子。

• 相对论理论。${\mathcal{M}}_{J_r}^{+}={\mathcal{H}}_1$ 是克莱因-戈尔登方程正能解的空间。它具有连续基元素 $A(\mathbf{p})$，在量子化后成为产生算符，添加一个动量为 $p$、能量为 ${\omega }_{\mathbf{p}}.{\mathcal{M}}_{J_r}^{-}$ 的粒子，是克莱因-戈尔登方程负能解的空间。其连续基元素 $\overline{A}(\mathbf{p})$ 在量子化后成为反粒子的湮灭算符，动量为 −$p$，正能为 ${\omega }_{\mathbf{p}}$

为了使相对论理论中的量子具有物理意义，并给所有非真空态赋予正能量，我们将这样的量子视为具有两种物理上等价的描述：

• 一个正能量粒子沿时间向前运动，动量为 $p$。

• 一个正能量反粒子以动量−$p$在时间中向后运动。

算符$a^{†}(\mathbf{p})$将这样的量子添加到态上，而算符$a(\mathbf{p})$则消灭它们。注意，对于量子化的实值Klein-Gordon场论，场$\Phi$在${\mathcal{M}}_{J_r}^{+}$和${\mathcal{M}}_{J_r}^{-}$中都有分量，因此其量子化既会产生也会消灭量子。

正如非相对论情形（见方程37.1）一样，量子场算符可以利用动量空间分解以及湮灭算符和产生算符来定义：

定义（实标量量子场）

实标量量子场算符是由下式定义的算符值分布

$$\hat{\Phi }(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}(a(\mathbf{p})e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}+a^{†}(\mathbf{p})e^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}})\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}\text{\hspace{1em}(43.19)}$$

$$\hat{\Pi }(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}(-i{\omega }_{\mathbf{p}})(a(\mathbf{p})e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}-a^{†}(\mathbf{p})e^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}})\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}\text{\hspace{1em}(43.20)}$$

通过与泊松括号本质相同的计算，可得对易关系为

$$[\hat{\Phi }(\mathbf{x}),\hat{\Pi }({\mathbf{x}}^{\prime })]=i{\delta }^3(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }),[\hat{\Phi }(\mathbf{x}),\hat{\Phi }({\mathbf{x}}^{\prime })]=[\hat{\Pi }(\mathbf{x}),\hat{\Pi }({\mathbf{x}}^{\prime })]=0\text{\hspace{1em}(43.21)}$$

这些可以解释为海森堡李代数在$\mathcal{M}\oplus \mathbf{R}$上的酉表示关系的分布形式，其中$M$是克莱因-戈尔登方程的解空间。

哈密顿算符将是域算符的二次式，并且可以被选为

$$\hat{H}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\frac{1}{2}:(\hat{\Pi }(\mathbf{x}{)}^2+(\nabla \hat{\Phi }(\mathbf{x}){)}^2+m^2\hat{\Phi }(\mathbf{x}{)}^2):d^3\mathbf{x}$$

该算符是正规有序的，并且一个计算（例如参见 [16] 的第 5 章）表明，用动量空间算符表示时，这正是所预期的

$$\hat{H}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\omega }_{\mathbf{p}}{a}^{†}(\mathbf{p})a(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}\text{\hspace{1em}(43.22)}$$

量子场论的动力学方程现在是

$$\frac{\partial }{\partial t}\hat{\Phi }=[\hat{\Phi },-i\hat{H}]=\hat{\Pi }$$ $$\frac{\partial }{\partial t}\hat{\Pi }=[\hat{\Pi },-i\hat{H}]=(\Delta -m^2)\hat{\Phi }$$

其解为以下含时域算符方程：

$$\hat{\Phi }(t,\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}(a(\mathbf{p})e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}+a^{†}(\mathbf{p})e^{i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}})\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}\text{\hspace{1em}(43.23)}$$

与非相对论情形不同，在非相对论情形中域是非自伴算符，而在这里域算符是自伴的（从而是可观测量），并且既有湮灭算符分量又有产生算符分量。这给出了一种正能量量子的理论，其既可解释为沿时间正向运动的粒子，也可解释为具有相反动量、沿时间反向运动的反粒子。

上一节：43.3 克莱因-戈尔登理论的哈密顿算子与动力学 · 下一节：43.5 标量场传播子 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 456、457、458、459、460、461、462、463、464、465、466、467、468、469、470、471、472

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：65737f2e1f7c3839a49672e59532e89cab73fddb6f19247205e2bacec9524cbe

译稿产物 SHA-256：fadc746b0924b191d27e68a22d37052d2ac04ff046893a2587c6a186a0393be4

机翻模型：deepseek-v4.1-flash