43.1 克莱因-戈尔登方程及其解

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 不可约表示 · 群在集合上的作用

要得到描述一个具有 Poincar´e 群的酉作用量的基本粒子的单粒子理论，可以尝试取第 42 章分类出的任一不可约表示作为单粒子态空间。在那里我们发现，这类不可约表示部分地由 Casimir 算符 $P^{2}$ 在该表示上取值的标量值所刻画。当该值为负时，我们得到算符方程

P^{2} = - P_{0}^{2} + P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2} = - m^{2} (43.1)

我们希望找到一个带有满足此关系的动量算符的状态空间。我们可以利用闵可夫斯基空间上的波函数 $ϕ (x)$ 来得到这样的状态空间。

正如在非相对论情形中，我们既可以把动量算符表示为动量函数上的乘法算符，也可以表示为位置函数上的微分算符，这里我们也可以这样做，只是函数现在依赖于四个时空坐标。取 $P_{0} =$ $H = i \frac{\partial}{\partial t}$ 以及通常的动量算符 $P_{j} = - i \frac{\partial}{\partial x _{j}}$ ，方程 43.1 变为：

定义（克莱因-戈尔登方程）

克莱因-戈尔登方程是二阶偏微分方程
$(- \frac{\partial ^{2}}{\partial t ^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial x _{1}^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial x _{2}^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial x _{3}^{2}}) ϕ = m^{2} ϕ$

或

(- \frac{\partial ^{2}}{\partial t ^{2}} + Δ - m^{2}) ϕ = 0 (43.2)

对于闵可夫斯基空间上的函数 $ϕ (x)$ （这些函数可以是实值或复值的）。

这个方程是最简单的洛伦兹不变（洛伦兹群作用于函数时，将解映为解）波动方程，历史上薛定谔最早尝试的正是它。他很快意识到它无法解释关于原子光谱的已知事实，于是转而使用了以他名字命名的非相对论方程。在本章中，我们将考虑对该方程实值解空间进行量子化，而复值解的情形将在后面的第44.1.2节中出现。

通过进行傅里叶变换

ϕ (p) = \frac{1}{( 2 π ) ^{2}} \int_{R^{4}} e^{- i (- p_{0} x_{0} + p \cdot x)} ϕ (x) d^{4} x

动量算符变为乘法算符，而克莱因-戈尔登方程现在为

(p_{0}^{2} - p_{1}^{2} - p_{2}^{2} - p_{3}^{2} - m^{2}) ϕ = (p_{0}^{2} - ω_{p}^{2}) ϕ = 0

其中

ω_{p} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2} + m^{2}

其解将是仅在该双曲面上非零的分布。

p_{0}^{2} - p_{1}^{2} - p_{2}^{2} - p_{3}^{2} - m^{2} = 0

在能量-动量空间 $R^{4}$ 中。该双曲面有两个分量，分别对应正能量和负能量

p_{0} = \pm ω_{p}

忽略一个维数，这些看起来像

图 43.1：能量-动量向量 $(m, 0, 0, 0)$ 与 $(- m, 0, 0, 0)$ 在庞加莱 e 群作用下的轨道。

并且是能量-动量向量 $(m, 0, 0, 0)$ 和 $(- m, 0, 0, 0)$ 在 42.3.1 节和 42.3.2 节所讨论的庞加莱 e 群作用下的轨道。

在非相对论情形下，自由粒子薛定谔方程的一个由 $p \in R^{3}$ 标记的连续解基由以下函数给出

e^{- i \frac{∣ p ∣ ^{2}}{2 m} t} e^{i p \cdot x}

其通解由这些解叠加给出，即

ψ (x, t) = \frac{1}{( 2 π ) ^{3/2}} \int_{R^{3}} ψ (p, 0) e^{- i \frac{∣ p ∣ ^{2}}{2 m} t} e^{i p \cdot x} d^{3} p

除了指定函数 $ψ (x, t)$ 之外，单粒子空间 $H_{1}$ 的元素还可以通过 $R^{3}$ 上的一个函数以另外两种方式唯一刻画：要么是初值 $ψ (x, 0)$ ，要么是其傅里叶变换 $ψ (p, 0)$

在相对论情形下，由于克莱因-戈尔登方程在时间上是二阶的，解 $ϕ (t, x)$ 将由初始数据参数化，与非相对论情形不同，现在需要在 $t = 0$ 处指定不是一个，而是两个函数：

ϕ (x) = ϕ (0, x), \dot{ϕ} (x) = \frac{\partial}{\partial t} ϕ (t, x)_{∣ t = 0} \equiv π (x)

域及其一阶时间导数的值。

在相对论情形下，Klein-Gordon 方程的一个连续解基将由这些函数给出

e^{\pm i ω_{p} t} e^{i p \cdot x}

而通解可写为

ϕ (t, x) = \frac{1}{( 2 π ) ^{3/2}} \int_{R^{4}} δ (p_{0}^{2} - ω_{p}^{2}) f (p) e^{i (- p_{0} t + p \cdot x)} d^{4} p (43.3)

对于 $f (p)$ ，一个满足 $f (p) = f (- p)$ 的复函数（因此 $ϕ$ 将是实的）。该解将仅依赖于 $f$ 在双曲面 $p_{0} = \pm ω_{p},$ 上取的值

积分43.3用狄拉克函数以四维洛伦兹不变的方式表示，但它实际上是关于二分量双曲面的积分。通过以下论证，它可以改写为关于 $R^{3}$ 的三维积分。对于每个 $p$ ，将方程11.9应用于由下式给出的 $p_{0}$ 的函数的情形

g (p_{0}) = p_{0}^{2} - ω_{p}^{2}

在 $R^{4}$ 上，并使用

\frac{d}{d p _{0}} (p_{0}^{2} - ω_{p}^{2})_{∣ p_{0} = \pm ω_{p}} = 2 p_{0∣ p_{0} = \pm ω_{p}} = \pm 2 ω_{p}

给出

δ (p_{0}^{2} - ω_{p}^{2}) = \frac{1}{2 ω _{p}} (δ (p_{0} - ω_{p}) + δ (p_{0} + ω_{p}))

今后我们常常会利用上述内容，在双曲面 $p_{0}^{2} = ω_{p}^{2}$ 上给出一个洛伦兹不变测度，我们将其记作

\frac{d ^{3} p}{2 ω _{p}}

对于这些双曲面上的函数 $φ (p)$ ，双曲面上的积分可以写成两种等价形式

\int_{R^{4}} δ (p_{0}^{2} - ω_{p}^{2}) φ (p) d^{4} p = \int_{R^{3}} (φ (ω_{p}, p) + φ (- ω_{p}, p)) \frac{d ^{3} p}{2 ω _{p}} (43.4)

其中左侧是一个显式的洛伦兹不变测度（因为 $p_{0}^{2} - ω_{p}^{2} =$ $- p^{2} - m^{2}$ 是洛伦兹不变的）。

因此，克莱因-戈尔登方程（见方程43.3）的任意解可以写成

ϕ (t, x) = \frac{1}{( 2 π ) ^{3/2}} \int_{R^{4}} \frac{1}{2 ω _{p}} (δ (p_{0} - ω_{p}) + δ (p_{0} + ω_{p})) f (p) e^{i (- p_{0} t + p \cdot x)} d p_{0} d^{3} p = \frac{1}{( 2 π ) ^{3/2}} \int_{R^{3}} (f (ω_{p}, p) e^{- i ω_{p} t} e^{i p \cdot x} + f (- ω_{p}, - p) e^{i ω_{p} t} e^{- i p \cdot x}) \frac{d ^{3} p}{2 ω _{p}} (43.5)

当其为实值时

f (- ω_{p}, - p) = \overline{f (ω_{p}, p)} (43.6)

我们通常将不再使用函数 $f,$ ，而是改用

α (p) = \frac{f ( ω _{p} , p )}{2 ω _{p}}, \overline{α} (p) = \frac{f ( - ω _{p} , - p )}{2 ω _{p}} (43.7)

这些复函数的其他归一化选择也常被使用，而采用这一选择的动机在于，我们将看到它会给出简单的泊松括号关系。作出这一选择后，克莱因-戈尔登解为

ϕ (t, x) = \frac{1}{( 2 π ) ^{3/2}} \int_{R^{3}} (α (p) e^{- i ω_{p} t} e^{i p \cdot x} + \overline{α} (p) e^{i ω_{p} t} e^{- i p \cdot x}) \frac{d ^{3} p}{2 ω _{p}} (43.8)

此类解可由其初始数据指定，初始数据或由一对实值函数 $ϕ (x), π (x)$ 给出，或由它们的傅里叶变换给出。然而，我们将发现，用单个复值函数 $α (p)$ 来刻画动量空间初始数据要方便得多。联系这些初始数据选取的方程是

ϕ (x) = \frac{1}{( 2 π ) ^{3/2}} \int_{R^{3}} (α (p) e^{i p \cdot x} + \overline{α} (p) e^{- i p \cdot x}) \frac{d ^{3} p}{2 ω _{p}} (43.9)

π (x) = \frac{\partial}{\partial t} ϕ (x, t)_{∣ t = 0} = \frac{1}{( 2 π ) ^{3/2}} \int_{R^{3}} (- i ω_{p}) (α (p) e^{i p \cdot x} - \overline{α} (p) e^{- i p \cdot x}) \frac{d ^{3} p}{2 ω _{p}} (43.10)

和

α (p) = \frac{1}{( 2 π ) ^{3/2}} \int_{R^{3}} \frac{1}{2} (ω_{p} ϕ (x) + i \frac{1}{ω _{p}} π (x)) e^{- i p \cdot x} d^{3} x (43.11)

为构造相对论量子场论，我们希望像第36章和 $^{37,}$ 的非相对论情形那样进行，但取对偶相空间 $M$ 为克莱因-戈尔登方程的解空间，而非薛定谔方程的解空间。如同非相对论情形，我们有多种方式指定 $M :$ 的一个元素

$Φ (ϕ (x), π (x))$ ：在 $t = 0$ 时具有初始数据 $ϕ (x), π (x)$ 的解

$A (α (p))$ ：在 $t = 0$ 处具有初始数据的解，该初始数据由动量空间上的复函数 $α (p)$ 指定，并通过方程 43.11 与 $ϕ (x), π (x)$ 相关联。

量子化将把这些变为算符 $Φ (ϕ (x), π (x)), A (α (p))$

我们也可以定义上述内容的分布版本，这些版本对应于将函数 $ϕ (x), π (x), α (p)$ 取为 delta 函数：

$Φ (x)$ ：以初始数据 $ϕ (x^{'}) = δ (x^{'} - x), π (x) =$ 0 的分布解。于是人们写作

Φ (ϕ (x), 0) = \int_{R^{3}} Φ (x) ϕ (x^{'}) d^{3} x^{'}

$Π (x)$ ：以初始数据 $ϕ (x^{'}) = 0, π (x^{'}) =$ $δ (x^{'} - x)$ 给出的分布解。于是人们写作

Φ (0, π (x)) = \int_{R^{3}} Π (x) π (x^{'}) d^{3} x^{'}

$A (p)$ ：以初始数据 $α (p^{'}) = δ (p^{'} - p)$ 给出的分布解。于是人们写作

A (α (p)) = \int_{R^{3}} A (p) α (p^{'}) d^{3} p^{'}

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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