45.2 曲率、电场与磁场

45.2 曲率、电场与磁场

虽然联络或矢势 $A$ 是构造具有规范对称性的理论所需的基本几何量，但人们往往希望转而使用由 $A$ 导出的某些在规范变换下不变的量。对数学家而言，这是联络的曲率；对物理学家而言，这些是由矢势导出的电场和磁场强度。定义是：

定义（联络的曲率、电磁场强度）

联络 $A_{\mu }$ 的曲率 $of$ 由下式给出

$$F_{\mu \nu }=\frac{i}{e}[D_{\mu }^A,D_{\nu }^A]$$

它可以更明确地写成

$$F_{\mu \nu }=\frac{\partial A_{\nu }}{\partial x_{\mu }}-\frac{\partial A_{\mu }}{\partial x_{\nu }}$$

注意，虽然 $D_{\mu }^A$ 是一个微分算符，但 $[D_{\mu }^A,D_{\nu }^A]$ 以及因此曲率只是一个乘法算符。

电磁场强度分为带时间指标的分量和不带时间指标的分量：

定义（电场与磁场）

电场和磁场是从${\mathbf{R}}^4$到${\mathbf{R}}^3$的两个函数，其分量由$by$给出

$$E_j=F_{j0}=-\frac{\partial A_j}{\partial t}+\frac{\partial A_0}{\partial x_j}$$ $$B_j=\frac{1}{2}{ϵ}_{jkl}{F}_{kl}={ϵ}_{jkl}\frac{\partial A_l}{\partial x_k}$$

或者，用向量记号表示

$$\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\nabla A_0,\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$$

$E$ 称为电场，$B$ 称为磁场。

这些在规范变换下不变，因为

$$\begin{array}{rl}\mathbf{E}\to \mathbf{E}-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \phi +\nabla \frac{\partial \phi }{\partial t}& =\mathbf{E}\\ \mathbf{B}\to \mathbf{B}+\nabla \times \nabla \phi & =\mathbf{B}\end{array}$$

这里我们用到的事实是

$$\nabla \times \nabla f=0\text{\hspace{1em}(45.2)}$$

对于任意函数 $f.$

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来源版本：2025-10-20

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