45.1 U(1) 规范对称性

45.1 U(1) 规范对称性

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 特征值 · 李代数 · 群在集合上的作用 · 圆群 U(1) · 李括号

在38.2.1节和44.1中我们看到，复场值上存在一个由整体相位变换给出的$U(1)$群作用，这导致了算符$\hat{Q}$的存在，该算符与哈密顿算子对易，并在态空间上以整数特征值作用。与用常数相位$e^{i\phi }$乘以场不同，可以想象乘以一个随坐标$x.$变化的相位。这样的相位变换称为“规范变换”，并在逐点乘法下构成一个无限维群：

定义（规范群）

定义在 $M^4$ 上、取值于单位圆 $U(1)$ 的函数构成的群 $\mathcal{G}$，其群法则由逐点乘法给出

$$e^{ie{\phi }_1(x)}\cdot e^{ie{\phi }_2(x)}=e^{ie({\phi }_1(x)+{\phi }_2(x))}$$

称为$U(1)$规范群，或$U(1)$规范变换群。

这里 $x=(x_0,\mathbf{x})\in M^4$，e 是一个常数，而 $\phi$ 是一个实值函数

$$\phi (x):M^4\to \mathbf{R}$$

这种函数构成的向量空间是李代数 $Lie\mathcal{G}.$，其李括号为平凡李括号。常数 $e$ 决定了取值于该李代数的 $\phi (x)$ 的归一化，它在此处出现是标准约定（从而使其不出现在哈密顿算子、泊松括号或运动方程中）。

群$\mathcal{G}$作用于时空的复函数$\psi$，方式为

$$\psi (x)\to e^{ie\phi (x)}\psi (x),\overline{\psi }(x)\to e^{-ie\phi (x)}\overline{\psi }(x)$$

注意，在量子力学中，这是作用在波函数上的群作用，它并不对应于坐标与动量的有限维相空间上的任何群作用，因此没有经典解释。然而在量子场论中，这些波函数构成待量子化的相空间，这是相空间上的群作用，保持辛结构。

哈密顿算子中仅涉及 $|\psi (x){|}^2=\overline{\psi }(x)\psi (x)$ 的项将在群 $\mathcal{G}$ 下不变，但含有导数的项，例如

$$|\nabla \psi {|}^2$$

不会，因为当

$$\psi \to e^{ie\phi (x)}\psi (x)$$

人们具有非齐次行为

$$\frac{\partial \psi (x)}{\partial x_{\mu }}\to \frac{\partial }{\partial x_{\mu }}(e^{ie\phi (x)}\psi (x))=e^{ie\phi (x)}\left(ie\frac{\partial \phi (x)}{\partial x_{\mu }}+\frac{\partial }{\partial x_{\mu }}\right)\psi (x)$$

为了解决这个问题，人们引入了一种新的域：

定义（联络或矢势）

$A$ $U(1)$ 联络（数学家的术语）或矢势（物理学家的术语）是时空 $M^4$ 上的一个函数 $A$，取值于 ${\mathbf{R}}^4$，其分量记为

$$A_{\mu }(x)=(A_0(t,\mathbf{x}),\mathbf{A}(t,\mathbf{x}))$$

规范群$\mathcal{G}$通过下式作用在$U(1)$联络的空间上：

$$A_{\mu }(t,\mathbf{x})\to A_{\mu }^{\phi }(t,\mathbf{x})\equiv A_{\mu }(t,\mathbf{x})+\frac{\partial \phi (t,\mathbf{x})}{\partial x_{\mu }}\text{\hspace{1em}(45.1)}$$

矢势允许定义一种新的导数，使得域 $\psi$ 的导数在 $\mathcal{G}$ 下具有与 $\psi$ 本身相同的齐次变换性质：

定义（协变导数）

给定一个联络 $A$，沿 $\mu$ 方向的相伴协变导数是算符

$$D_{\mu }^A=\frac{\partial }{\partial x_{\mu }}-ie{A}_{\mu }(x)$$

有了这个定义，规范变换的效应是

$$\begin{array}{rl}{D}_{\mu }^A\psi & \to \left(D_{\mu }^A-ie\frac{\partial \phi }{\partial x_{\mu }}\right)e^{ie\phi (x)}\psi =e^{ie\phi (x)}\left(D_{\mu }^A+ie\frac{\partial }{\partial x_{\mu }}-ie\frac{\partial }{\partial x_{\mu }}\right)\psi \\ & =e^{ie\phi (x)}{D}_{\mu }^A\psi \end{array}$$

如果将导数替换为协变导数，则哈密顿算子中的项如

$$|\nabla \psi {|}^2=\sum _{j=1}^3\frac{\overline{\partial \psi }}{\partial x_j}\frac{\partial \psi }{\partial x_j}$$

将变为

$$\sum _{j=1}^3(\overline{D_j^A\psi })(D_j^A\psi )$$

它将在无限维群$G$下保持不变。从复域理论出发，随后引入联络，同时将运动方程中的导数替换为协变导数的过程，称为“最小耦合规定”。它决定了如何以最简单或“最小”的方式，将描述带电粒子的复自由域理论转变为与背景电磁场耦合的域理论。

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来源版本：2025-10-20

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