45.3 具有背景电磁场的域方程

上文所述的最小耦合方法可用于写出我们的自由粒子理论在与电磁场耦合后的场方程。它们为：

• 非相对论性粒子与背景电磁场耦合的薛定谔方程为

i (\frac{\partial}{\partial t} - i e A_{0}) ψ = - \frac{1}{2 m} j = 1 \sum 3 (\frac{\partial}{\partial x _{j}} - i e A_{j})^{2} ψ

这是第21章讨论的库仑势问题的一个特例，它对应于背景域的选择

A_{0} = \frac{1}{r}, A = 0

另一个精确可解的特殊情形是恒定磁场 $B = (0, 0, B)$ ，对此矢势的一种可能选择是

A_{0} = 0, A = (- B y, 0, 0)

• 泡利-薛定谔方程（34.3）描述一个自由 $spin \frac{1}{2}$ 非相对论量子粒子。将导数替换为协变导数，得到

i (\frac{\partial}{\partial t} - i e A_{0}) (ψ _{2} ( x ) ψ _{1} ( x )) = - \frac{1}{2 m} (σ \cdot (\nabla - i e A))^{2} (ψ _{2} ( x ) ψ _{1} ( x ))

利用反交换关系

σ_{j} σ_{k} + σ_{k} σ_{j} = 2 δ_{j k}

与交换

σ_{j} σ_{k} - σ_{k} σ_{j} = i ϵ_{j k l} σ_{l}

所发现的关系

σ_{j} σ_{k} = δ_{j k} + \frac{1}{2} i ϵ_{j k l} σ_{l}

这意味着

(σ \cdot (\nabla - i e A))^{2} = \sum_{j = 1}^{3} (\frac{\partial}{\partial x _{j}} - i e A_{j})^{2} + \sum_{j, k = 1}^{3} (\frac{\partial}{\partial x _{j}} - i e A_{j}) (\frac{\partial}{\partial x _{k}} - i e A_{k}) \frac{i}{2} ϵ_{j k l} σ_{l} = \sum_{j = 1}^{3} (\frac{\partial}{\partial x _{j}} - i e A_{j})^{2} + e σ \cdot B

而泡利-薛定谔方程可以写成

i (\frac{\partial}{\partial t} - i e A_{0}) (ψ _{2} ( x ) ψ _{1} ( x )) = - \frac{1}{2 m} (j = 1 \sum 3 (\frac{\partial}{\partial x _{j}} - i e A_{j})^{2} + e σ \cdot B) (ψ _{2} ( x ) ψ _{1} ( x ))

这个二分量方程只是标准薛定谔方程的两份拷贝，再加上一个耦合自旋与磁场的附加项，而这一项正是第7章所研究的那一项。与那里的讨论相比较，我们看到这里的最小耦合规定等价于对旋磁比 $g = 1$ 的一种选择

• 在与电磁场的最小耦合下，克莱因-戈尔登方程变为

(- (\frac{\partial}{\partial t} - i e A_{0})^{2} + j = 1 \sum 3 (\frac{\partial}{\partial x _{j}} - i e A_{j})^{2} - m^{2}) ϕ = 0

前两个方程适用于非相对论理论，人们可以将这些方程解释为描述单个量子粒子（在第二种情形中自旋为 $\frac{1}{2}$ ）在背景电磁场中运动。在相对论性的克莱因-戈尔登情形中，这里我们处于复克莱因-戈尔登场的情形，如第44.1.2节所讨论。在所有三种情形中，原则上可以通过将方程的解空间取作相空间，并应用巴格曼-福克量子化方法来定义量子场论（实践中这很困难，因为一般没有平移不变性，也没有解的平面波基）。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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