凯莱定理 (Cayley’s theorem)

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来源短摘录与定位

§2.4 · zh-CN · translation · unreviewed

定理 2.2 · 凯莱定理 (Cayley’s theorem)

任意$n$阶有限群都同构于排列群

证明

对于每一个$g\in G$，定义映射$L_g:G\to G$为左乘以$g$，

$$L_g(x)=gx\mathrm{where}x\in G.$$

由于

$$gx=g{x}^{\prime }⟹x=x^{\prime }\mathrm{and}x=L_g(g^{-1}x)\mathrm{for}\mathrm{all}x\in G.$$

因此，这个映射是一一对应和可逆的。$L_g$ 因此排列 $G=\{g_1=e,g_2,\dots ,g_n\}$ 的元素，并且可以被认为是$S_n$中的一个成员。它有属性 $L_g\circ L_h=L_{gh}$，因为

$$L_g\circ L_h(x)=g(hx)=(gh)x=L_{gh}(x),\forall x\in G.$$

因此，由 $\phi (g)=L_g$ 定义的映射 $\phi :G\to S_n$ 是一个同态，

$$\phi (g)\phi (h)=L_g\circ L_h=L_{gh}=\phi (gh).$$

此外，$\phi$ 是一一对应的，因为如果 $\phi (g)=\phi (h)$ 那么 $g=L_g(e)=L_h(e)=h$ 。因此，$G$ 与 $\phi (G)\subseteq S_n$ 的子群是同构的。

§2.4 · en · original_transcription · unreviewed

Theorem 2.2 · Cayley’s theorem

(Cayley) Every finite group $G$ of order $n$ is isomorphic to a permutation group.

Proof

For every $g\in G$ define the map $L_g:G\to G$ to be left multiplication by $g,$

$$L_g(x)=gx\text{ where }x\in G.$$

This map is one-to-one and onto since

$$gx=g{x}^{\prime }⟹x=x^{\prime }\text{ and }x=L_g(g^{-1}x)\text{ for all }x\in G.$$

The map $L_g$ therefore permutes the elements of $G=\{g_1=e,g_2,...,g_n\}$ and may be identified with a member of $S_n$ . It has the property $L_g\circ L_h=L_{gh}$ , since

$$L_g\circ L_h(x)=g(hx)=(gh)x=L_{gh}(x),\forall x\in G.$$

Hence the map $\phi :G\to S_n$ defined by $\phi (g)=L_g$ is a homomorphism,

$$\phi (g)\phi (h)=L_g\circ L_h=L_{gh}=\phi (gh).$$

Furthermore, $\phi$ is one-to-one, for if $\phi (g)=\phi (h)$ then $g=L_g(e)=L_h(e)=h$ . Thus $G$ is isomorphic to the subgroup of $\phi (G)\subseteq S_n$ -

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

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