群 $U(1)$ (U(1) group)

§2.2 identifies the unit circle group; nested parentheses in U(1) had hidden the English gloss.

别名：The group U(1)；群 $U(1)$(group U(1))

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§2.2 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 群 $U(1)$(group U(1))

定义（群 $U(1)$）。群 $U(1)$ 的元素是单位圆上的点，可用单位复数 $e^{i\theta }$ 标记，或用角 $\theta \in \mathbf{R}$ 标记，其中对于 $N\in \mathbf{Z}$，$\theta$ 与 $\theta +N2\pi$ 标记同一个群元素。群元素的乘法是复数乘法，根据指数函数的性质，它满足

$$e^{i{\theta }_1}{e}^{i{\theta }_2}=e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

因此就角度而言，群法则为加法（模2$\pi$）。

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Definition · The group U(1)

Definition (The group $U(1)$). The elements of the group $U(1)$ are points on the unit circle, which can be labeled by a unit complex number $e^{i\theta }$, or an angle $\theta \in \mathbf{R}$ with $\theta$ and $\theta +N2\pi$ labeling the same group element for $N\in \mathbf{Z}$. Multiplication of group elements is complex multiplication, which by the properties of the exponential satisfies

$$e^{i{\theta }_1}{e}^{i{\theta }_2}=e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

so in terms of angles the group law is addition (mod 2$\pi$).

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