外法向规则 (outward normal rule)

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已登记出处中的最早位置：§17.3 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§17.3 · zh-CN · translation · unreviewed

这些映射可分别视为 ${\Gamma }_k$ 的 ($i$, 0)-面与 ($i$, 1)-面。若标准 $k$-立方体 ${\Gamma }_k$ 的内部按自然方式定向，即指定 $k$-形式 $\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^k$ 在 ${\Gamma }_k$ 上为正定向，则对每个面映射 $x^i=0$ 或 1，${\Gamma }_{k-1}$ 上的定向按如下规则指定：令 $k$-形式 $\mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i-1}\wedge \mathrm{d}{x}^{i+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^k$ 为正定向，若 $\mathrm{if}{x}^i$ 在该面处向外递增，否则为负定向。按此规则，$(k-1)$-形式 $\mathrm{d}{\mathbf{y}}^1\wedge \mathrm{d}{y}^2\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{y}^{k-1}$ 在 ($i$, 0)-面上具有定向 $(-1{)}^i$，而在 ($i$, 1)-面上具有定向 $(-1{)}^{i+1}$。这有时称为 外法向规则(outward normal rule)——边界曲面上的定向必须如此选取，使得在每一点处都存在局部正定向坐标，使第一个坐标 $x^1$ 从该曲面指向外侧。

§17.3 · en · original_transcription · unreviewed

These maps can be thought of as the ($i$, 0)-face and ($i$, 1)-face respectively of ${\Gamma }_k$ . If the interior of the standard $k$-cube ${\Gamma }_k$ is oriented in the natural way, by assigning the $k$-form $\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^k$ to be positively oriented over ${\Gamma }_k$ , then for each face map $x^i=0$ or 1 the orientation on ${\Gamma }_{k-1}$ is assigned according to the following rule: set the $k$-form $\mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i-1}\wedge \mathrm{d}{x}^{i+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^k$ to be positively oriented $\mathrm{if}{x}^i$ is increasing outwards at the face, else it is negatively oriented. According to this rule the $(k-1)$-form $\mathrm{d}{\mathbf{y}}^1\wedge \mathrm{d}{y}^2\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{y}^{k-1}$ has orientation $(-1{)}^i$ on the ($i$, 0)-face, while on the ($i$, 1)-face it has orientation $(-1{)}^{i+1}$ . This is sometimes called the outward normal rule – the orientation on the boundary surface must be chosen such that at every point there exist local positively oriented coordinates such that the first coordinate $x^1$ points outwards from the surface.

来源覆盖、定位与记录

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