17.3 斯托克斯定理

English

斯托克斯定理需要带边子流形的概念。一般而言，这不是一个容易的概念，但在大多数实际应用中，将我们限制在由“坐标立方体区域”构成的区域上就足够了。设 ${\Gamma }_k$ 为标准单位 $k$-单位立方体(unit cube)，

$${\Gamma }_k=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^k\mid 0\le x^i\le 1(i=1,\dots ,k)\}\subset {\mathbb{R}}^k.$$

单位 0-立方体取为单元素集 ${\Gamma }_0=\{0\}\subset \mathbb{R}$。流形 $M$ 中的 $k$-胞腔(cell) 是光滑映射 $\sigma :U\to M$，其中 $U$ 是 ${\Gamma }_k$ 在 ${\mathbb{R}}^k$ 中的开邻域 $U$（见图 17.2），其支集定义为标准 $k$-立方体的像 $\sigma ({\Gamma }_k)$。$M$ 中的 立方链(cubical chain) $k$-链由形式和第

$$C=c^1{\sigma }_1+c^2{\sigma }_2+\cdots +c^r{\sigma }_r\text{ where }{c}^i\in \mathbb{R},r\text{ a positive integer. }$$

所有立方 $k$-链的集合记作 ${\mathcal{C}}_k.$；按显然方式定义 $k$-链的加法后，它构成一个阿贝尔群。若将标量乘法定义为 $\begin{array}{r}aC={\sum }_{i}a{c}^i{\sigma }_i\end{array}$，其中 $a\in \mathbb{R}$，则它也是一个向量空间。

对于每个 $i=1,\dots ,k$ 和 $ϵ=0$，1 通过下式定义映射 ${\phi }_i^{ϵ}:{\Gamma }_{k-1}\to {\Gamma }_k$：

$${\phi }_i^{ϵ}(y^1,\dots ,y^{k-1})=(y^1,\dots ,y^{i-1},ϵ,y^i,\dots ,y^{k-1}).$$

这些映射可分别视为 ${\Gamma }_k$ 的 ($i$, 0)-面与 ($i$, 1)-面。若标准 $k$-立方体 ${\Gamma }_k$ 的内部按自然方式定向，即指定 $k$-形式 $\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^k$ 在 ${\Gamma }_k$ 上为正定向，则对每个面映射 $x^i=0$ 或 1，${\Gamma }_{k-1}$ 上的定向按如下规则指定：令 $k$-形式 $\mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i-1}\wedge \mathrm{d}{x}^{i+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^k$ 为正定向，若 $\mathrm{if}{x}^i$ 在该面处向外递增，否则为负定向。按此规则，$(k-1)$-形式 $\mathrm{d}{\mathbf{y}}^1\wedge \mathrm{d}{y}^2\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{y}^{k-1}$ 在 ($i$, 0)-面上具有定向 $(-1{)}^i$，而在 ($i$, 1)-面上具有定向 $(-1{)}^{i+1}$。这有时称为 外法向规则(outward normal rule)——边界曲面上的定向必须如此选取，使得在每一点处都存在局部正定向坐标，使第一个坐标 $x^1$ 从该曲面指向外侧。

随文练习

在二维正方形上，验证外法向规则意味着每一边上$x$或$y$坐标增加的方向都沿正方形按逆时针方式行进。

图 17.2 流形 $M$ 上的 $k$-胞腔

这给出了边界映射(boundary map) $\partial :{\mathcal{C}}_k\to (C{)}_{k-1}$ 的依据，其定义为：

(i) 对于一个 $k$ 胞腔 $\sigma (k>0)$，集合

$$\partial \sigma =\sum _{i=1}^k(-1{)}^i\left(\sigma \circ {\phi }_i^0-\sigma \circ {\phi }_i^1\right),$$

(ii) 对于立方 $k$-链 $C=\sum c^i{\sigma }_i$ 集合

$$\partial C=\sum _i{c}^i\partial {\sigma }_i.$$

一个重要恒等式是 ${\partial }^2=0$。例如，若 $\sigma$ 是一个 2-胞腔，则其边界由下式给出

$$\partial \sigma =-{\phi }_1^0+{\phi }_1^1+{\phi }_2^0-{\phi }_2^1.$$

面 ${\phi }_1^0(z)=(0,z)\mathrm{is}\partial {\phi }_1^0=-{\rho }^{01}+{\rho }^{00}$ 的边界，其中 ${\rho }^{ab}:\{0\}\mathbb{R}$ 是映射 ${\rho }^{ab}(0)=(a,b)$ 。因此

$$\partial \circ \partial \sigma =-{\rho }^{01}+{\rho }^{00}+{\rho }^{11}-{\rho }^{10}+{\rho }^{10}-{\rho }^{00}-{\rho }^{11}+{\rho }^{01}=0.$$

对于一个 $k$-胞腔，

$${\partial }^2\sigma =\sum _{ϵ=0}^1\sum _{{ϵ}^{\prime }=0}^1\left[\sum _i\sum _{j<i}(-1{)}^{i+ϵ+j+{ϵ}^{\prime }}\sigma \circ {\phi }_{ij}^{ϵ{ϵ}^{\prime }}+\sum _i\sum _{j\ge i}(-1{)}^{i+ϵ+j+{ϵ}^{\prime }+1}\sigma \circ {\phi }_{ij}^{ϵ{ϵ}^{\prime }}\right]$$

其中

$${\phi }_{ij}^{ϵ{ϵ}^{\prime }}(z^1,\dots ,z^{k-2})=\{\begin{array}{ll}(z^1,\dots ,z^{j-1},{ϵ}^{\prime },z^j,\dots ,z^{i-1},ϵ,z^i,\dots ,z^{k-2})& \text{if}j<i,\\ (z^1,\dots ,z^{i-1},ϵ,z^i,\dots ,z^{j-1},{ϵ}^{\prime },z^j,\dots ,z^{k-2})& \text{if}j\ge i.\end{array}$$

由该方程可知，所有项成对抵消，因此 ${\partial }^2\sigma =0$。该恒等式通过线性性推广到所有 $k$-链。

随文练习

写出 3-立方体的 ${\partial }^2\sigma$，并验证消去性质。

对于 $M$ 上的 $k$ 次形式 $\alpha$ 与 $k$ 链 $C=\sum c^i{\sigma }_i$，我们定义积分

$${\int }_C\alpha =\sum c^i{\int }_{{\sigma }_i}\alpha =\sum c^i{\int }_{{\Gamma }_k}{\sigma }_i^{\ast }\alpha .$$

定理 17.2 · 斯托克斯定理 (Stokes’ theorem)

（斯托克斯定理）对任意 $(k+1)$ -链 $C$，以及 $M$ 上的微分 $k$-形式，

$${\int }_C\mathrm{d}\alpha ={\int }_{\partial C}\alpha .\text{\hspace{1em}(17.2)}$$

证明

由线性性，只需对 $(k+1)$ 维胞腔 $\sigma$ 证明该定理。利用定理 16.2，式 (17.2) 的左端可写为，

$${\int }_{\sigma }\mathrm{d}\alpha ={\int }_{{\Gamma }_{k+1}}{\sigma }^{\ast }\mathrm{d}\alpha ={\int }_{{\Gamma }_{k+1}}\mathrm{d}({\sigma }^{\ast }\alpha )$$

而右侧则是

$$\begin{array}{c}{\int }_{\partial \sigma }\alpha ={\sum }_{ϵ=0}^1{\sum }_{i=1}^{k+1}(-1{)}^{i+ϵ}{\int }_{\sigma \circ {\phi }_i^{ϵ}}\alpha \\ ={\sum }_{ϵ=0}^1{\sum }_{i=1}^{k+1}(-1{)}^{i+ϵ}{\int }_{{\Gamma }_k}{\left({\phi }_i^{ϵ}\right)}^{\ast }\circ {\sigma }^{\ast }\alpha .\end{array}$$

由于 ${\sigma }^{\ast }\alpha$ 是 ${\mathbb{R}}^{k+1}$ 上的一个微分 $k$-形式，它可以写成

$${\sigma }^{\ast }\alpha =\sum _{i=1}^{k+1}{A}_i\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i-1}\wedge \mathrm{d}{x}^{i+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{k+1}$$

其中 $A_i$ 是开邻域 $V$（属于 ${\Gamma }_{k+1}$）上的可微函数 $A_i:V\to \mathbb{R}$ 因此

$$\begin{array}{l}\mathrm{d}({\sigma }^{\ast }\alpha )={\sum }_{i=1}^{k+1}{\sum }_{j=1}^{k+1}\frac{\partial A_i}{\partial x^j}\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i-1}\wedge \mathrm{d}{x}^{i+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{k+1}\\ ={\sum }_{i=1}^{k+1}(-1{)}^{i+1}\frac{\partial A_i}{\partial x^i}\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^j\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{k+1}.\end{array}$$

将其代入式 (17.2) 的左端积分，我们得到

$$\begin{array}{l}{\int }_{{\Gamma }_{k+1}}\mathrm{d}({\sigma }^{\ast }\alpha )={\sum }_{i=1}^{k+1}(-1{)}^{i+1}{\int }_0^1{\int }_0^1\cdots {\int }_0^1\frac{\partial A_i}{\partial x^i}\mathrm{d}{x}^1\mathrm{d}{x}^2\dots \mathrm{d}{x}^{k+1}\\ ={\sum }_{i=1}^{k+1}(-1{)}^{i+1}{\int }_0^1{\int }_0^1\cdots {\int }_0^1\mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^{i-1}\mathrm{d}{x}^{i+1}\dots \mathrm{d}{x}^{k+1}\\ \times [A_i(x^1,\dots ,x^{i-1},1,x^{i+1},\dots ,x^{k+1})\\ -A_i(x^1,\dots ,x^{i-1},0,x^{i+1},\dots ,x^{k+1})]\\ ={\sum }_{ϵ=0}^1{\sum }_{i=1}^{k+1}(-1{)}^{i+ϵ}{\int }_0^1\cdots {\int }_0^1\mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^{i-1}\mathrm{d}{x}^{i+1}\dots \\ \mathrm{d}{x}^{k+1}{A}_i(x^1,\dots ,x^{i-1},ϵ,x^{i+1},\dots ,x^{k+1})\\ ={\sum }_{ϵ=0}^1{\sum }_{i=1}^{k+1}(-1{)}^{i+ϵ}{\int }_{{\Gamma }_k}{\left({\phi }_i^{ϵ}\right)}^{\ast }\circ {\sigma }^{\ast }\alpha \\ ={\int }_{\partial \sigma }\alpha ,\end{array}$$

按要求。

例 17.2

在例15.9中，我们将微分1-形式$\omega$沿具有端点$\gamma :[t_1,t_2]M$的曲线的积分定义为

$${\int }_{\gamma }\omega ={\int }_{t_1}^{t_2}⟨\omega ,\dot{\gamma }⟩\mathrm{d}t={\int }_{t_1}^{t_2}⟨{\gamma }^{\ast }\omega ,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟩\mathrm{d}t.$$

一个1-胞腔$\sigma :U\to M$是一条参数值域为$U=(-a,1+a)\supset {\Gamma }_1=[0,1].$的曲线，并且可以通过参数变换$t{t}^{\prime }=t_1+(t_2-t_1)t$使其覆盖任意值域$[t_1,t_2]$。$\omega =w_i(x^j)\mathrm{d}{x}^i$在1-胞腔的支集上的积分为

$${\int }_{\sigma }\omega ={\int }_{{\Gamma }_1}\sigma \ast \omega ={\int }_0^1{w}_i(\mathbf{x}(t))\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t,$$

这与15.9中给出的积分定义一致。

1-胞腔$\sigma$的边界是

$$\partial \sigma =\sigma \circ {\phi }_1^1-\sigma \circ {\phi }_1^0$$

其中右端的两个项分别是 0-胞腔 ${\Gamma }_0=\{0\}\to \sigma (1)$ 与 ${\Gamma }_0=\{0\}\to \sigma (0)$。令 $\omega =df$，其中 $f$ 是 $M$ 上的可微函数，斯托克斯定理给出

$${\int }_{\sigma }\mathrm{d}f={\int }_{\partial \sigma }f=f(\sigma (1))-f(\sigma (0)).$$

若 $M=\mathbb{R}$ 且 1-胞腔 $\sigma$ 由 $x=\sigma (t)=a+t(b-a)$ 定义，则斯托克斯定理退化为微积分基本定理，

$${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t={\int }_{\sigma }\mathrm{d}f=f(b)-f(a).$$

正则域

在上述讨论中，关于胞腔映射 $\sigma$ 所作的唯一要求是它们在单位 $k$ 维立方体 ${\Gamma }_k$ 的邻域上可微。例如，它们可以完全退化，并将整个集合 ${\Gamma }_k$ 映射为 $M$ 中的单个点。因此，这些链有时被称为奇异的。一个 基本链(fundamental chain) $n$-链在 $n$ 维流形 $M$ 上具有形式

$$C={\sigma }_1+{\sigma }_2+\cdots +{\sigma }_N$$

其中每个 ${\sigma }_i:U\to {\sigma }_i(U)$ 都是微分同胚，且不同胞腔的支集 ${\sigma }_i({\Gamma }_k)$ 的内部互不相交：

$${\sigma }_i(({\Gamma }_n{)}^o)\cap {\sigma }_j(({\Gamma }_n{)}^o)=\varnothing \text{ for }i\ne j.$$

一个正则域(regular domain) $D\subseteq M$是形如

$$D=\bigcup _{i=1}^n{\sigma }_i({\Gamma }_n)$$

其中 ${\sigma }_i$ 是基本链 $C$ 的 $n$-胞腔（见图 17.3）。我们可以把正则域看作被细分为立方胞腔，或看作一个带边界的区域——该边界由链的边界点中不在任何一对胞腔的公共面上的那些点组成。

定理 17.3 · 流形积分与立方剖分无关 (Independence of integration from cubulation)

若 $D$ 是一个正则域，并由基本链 $C={\sigma }_i+\cdot \cdot \cdot +{\sigma }_N$ 和 $C^{\prime }={\tau }_1+\cdot \cdot \cdot +{\tau }_M$ 以两种不同方式‘分割为小立方体’，则对每个微分 $n$-形式 $\omega$，有 ${\int }_C\omega ={\int }_{C^{\prime }}\omega$。

图 17.3 流形上的正则域

证明

设 $A_{ij}={\sigma }_i({\Gamma }_n)\cap {\tau }_j({\Gamma }_n)$ 且

$$B_{ij}=({\sigma }_i{)}^{-1}(A_{ij}),C_{ij}=({\tau }_j{)}^{-1}(A_{ij}).$$

映射 ${\tau }_j^{-1}\circ {\sigma }_i:B_{i}j{C}_{ij}$ 均为微分同胚，且

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{B_{ij}}{\sigma }_i^{\ast }\omega ={\int }_{B_{ij}}{\sigma }_i^{\ast }\circ ({\tau }_j^{-1}{)}^{\ast }\circ {\tau }_j^{\ast }\omega \\ & ={\int }_{B_{ij}}(({\tau }_j^{-1})\circ {\sigma }_i{)}^{\ast }\circ {\tau }_j^{\ast }\omega \\ & ={\int }_{C_{ij}}{\tau }_j^{\ast }\omega .\end{array}$$

因此

$${\int }_C\omega =\sum _i{\int }_{{\sigma }_i}\omega =\sum _{i,j}{\int }_{B_{ij}}{\sigma }_i^{\ast }\omega =\sum _{i,j}{\int }_{C_{ij}}{\tau }_j^{\ast }\omega ={\int }_{C^{\prime }}\omega .$$

如果 $\alpha$ 是一个微分 ($n$ 1)-形式，

$${\int }_{\partial D}\alpha ={\int }_{\partial C}\alpha =\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^n\sum _{ϵ=0}^1{\int }_{{\Gamma }_{n-1}}{\left({\phi }_j^{ϵ}\right)}^{\ast }\circ {\sigma }_i^{\ast }\alpha .$$

由于相邻胞腔公共面上的外法线方向相反，这些面将具有相反的定向，因而积分相互抵消，只剩下在 $D$ 边界的“自由”部分上的积分。这就得到了正则域上的斯托克斯定理

$${\int }_D\mathrm{d}\alpha ={\int }_{\partial D}\alpha .$$

一个正则 $k$ 维定义域 $D_k$ 定义为 $k$ 维流形 $K$ 的正则域 $D\subset K$ 在正则嵌入 $\phi :K\to M$ 下的像，并且对于任意 $k$ 形式

$\beta$ 与 $(k-1)$-形式 $\alpha$ 我们设定

$$\begin{array}{l}{\int }_{D_k}\beta ={\int }_{\phi (D)}\beta ={\int }_D\phi \ast \beta \\ {\int }_{\partial D_k}\alpha ={\int }_{\partial \phi (D)}\alpha ={\int }_{\partial D}\phi \ast \alpha .\end{array}$$

斯托克斯定理的一般形式断言，对于任意$(k-1)$形式$\alpha$和正则$k-$定义域$D_k$

$${\int }_{D_k}\mathrm{d}\alpha ={\int }_{\partial D_k}\alpha .\text{\hspace{1em}(17.3)}$$

例 17.3

在低维情形下，斯托克斯定理化为多种熟悉的形式。例如，设 $D$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中的正则 2-定义域，其边界为回路 $C=\partial D$，并按照“右手定则”具有诱导定向。这里的意思是，若外法向局部取为第一个坐标 $x^1$ 的方向，而 $C$ 的切向取为 $x^2$ 的方向，则 $\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2$ 为正定向。若 $\alpha =P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$，则

$$\mathrm{d}\alpha =\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x+\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y,$$

而斯托克斯定理等价于格林定理

$${\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy={\oint }_{C}Pdx+Qdy.$$

若 $D$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的有界区域，其边界为曲面 $S=\partial D$，则诱导定向使得：若 ($e$, $f$) 是 $S$ 的一对正确排序的切向量，而 $n$ 是 $S$ 的外法向量，那么 ($n$, $e$, $f$) 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中一个正向定向的向量基。设 $\alpha =A_1\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+A_2\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+A_3\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z$ 是一个 2-形式，则

$$\mathrm{d}\alpha =\left(A_{1,1}+A_{2,2}+A_{3,3}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z=\nabla \cdot \mathbf{A}\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$$

其中 $\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)$ 。斯托克斯定理表述为

$${\int }_D\mathrm{d}\alpha ={\iiint }_D\nabla \cdot \mathbf{A}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\int }_{\partial D}\alpha ={\iint }_S{A}_1\mathrm{d}y\mathrm{d}z+A_2\mathrm{d}z\mathrm{d}x+A_3\mathrm{d}x\mathrm{d}z.$$

若边界面局部地由两个参数 $x=x({\lambda }_1,{\lambda }_2),y=y({\lambda }_1,{\lambda }_2),z=z({\lambda }_1,{\lambda }_2)$ 参数化，则我们可以写出

$${\iint }_S\alpha ={\iint }_S{ϵ}_{ijk}{A}_i\frac{\partial x^j}{\partial {\lambda }_1}\frac{\partial x^k}{\partial {\lambda }_2}d{\lambda }_1\wedge d{\lambda }_2$$

并且通常将斯托克斯定理写成标准的高斯定理形式

$${\iiint }_D\nabla \cdot \mathbf{A}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\iint }_S\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S},$$

其中 $S$ 是垂直于 $S$ 的向量面积，其分量为

$$\mathrm{d}{S}_i={ϵ}_{ijk}\frac{\partial x^j}{\partial {\lambda }_1}\frac{\partial x^k}{\partial {\lambda }_2}\mathrm{d}{\lambda }_1\mathrm{d}{\lambda }_2.$$

设 $\Sigma$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一张有向2-曲面，其边界为适当定向的回路 $C=\partial \Sigma$ ，而 $\alpha$ 为一个微分1-形式 $\alpha =A_1\mathrm{d}x+A_2\mathrm{d}y+A_3\mathrm{d}z=A_i\mathrm{d}{x}^i$ 。则

$$\begin{array}{l}{\int }_{\Sigma }\mathrm{d}\alpha ={\int }_{\Sigma }{A}_{i,j}\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^i\\ ={\iint }_{\Sigma }{A}_{k,j}\left(\frac{\partial x^j}{\partial {\lambda }_1}\frac{\partial x^k}{\partial {\lambda }_2}-\frac{\partial x^k}{\partial {\lambda }_1}\frac{\partial x^j}{\partial {\lambda }_2}\right)\mathrm{d}{\lambda }_1\wedge \mathrm{d}{\lambda }_2\\ ={\iint }_{\Sigma }{ϵ}_{ijk}{A}_{k,j}\mathrm{d}{S}_i\end{array}$$

和

$${\int }_{\partial \Sigma }\alpha ={\oint }_C{A}_i\mathrm{d}{x}^i={\oint }_C{A}_1\mathrm{d}x+A_2\mathrm{d}y+A_3\mathrm{d}z.$$

这可以用斯托克斯定理的常见形式来表示

$${\iint }_{\Sigma }(\nabla \times \mathbf{A})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\oint }_C\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}.$$

随文练习

证明 $\mathrm{d}{S}_i$ 在如下意义下‘正交’于曲面 $S$：$\mathrm{d}{S}_i\partial x^i/\partial {\lambda }_a=0\mathrm{for}a=1,2$

习题

习题 17.4

设 $\alpha =y^2\mathrm{d}x+x^2\mathrm{d}y$ 。若 ${\gamma }_1$ 是 $y$ 轴从 $(x=0,y=-1)\mathrm{to}(x=0,y=1)$ 的线段，而 ${\gamma }_2$ 是连接这些点的单位右半圆，求值

$${\int }_{{\gamma }_1}\alpha ,{\int }_{{\gamma }_2}\alpha \text{ and }{\int }_{S^1}\alpha .$$

验证斯托克斯定理对于单位圆以及由${\gamma }_1$和${\gamma }_2$所围成的单位右半圆形区域。

习题 17.5

若 $\alpha =x\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$ 计算 ${\int }_{\partial \Omega }\alpha$，其中 $\Omega$ 是 (i) 单位立方体，(ii) ${\mathbb{R}}^3$ 中的单位球。在每种情形下验证斯托克斯定理，

$${\int }_{\partial \Omega }\alpha ={\int }_{\Omega }\mathrm{d}\alpha .$$

习题 17.6

设 $S$ 为椭圆柱面的表面，其高度为 2$h$，由下式给出

$$x=a\cos \theta ,y=b\sin \theta (0\le \theta <2\pi ),-h\le z\le h.$$

(a) 计算 ${\int }_S\alpha$，其中 $\alpha$ $x$ $\mathrm{d}y$ $\mathrm{d}z$ $y$ $\mathrm{d}z$ $dx$ 2$z$ $dx$ $\mathrm{d}y$。

(b) 证明 $\mathrm{d}\alpha =0$，并求一个 1-形式 $\omega$，使得 $\alpha =\mathrm{d}\omega$

(c) 验证斯托克斯定理 $\begin{array}{r}{\int }_S\alpha ={\int }_{\partial S}\omega .\end{array}$

习题 17.7

${\mathbb{R}}^3$ 中的环面可以用参数表示为

$$x=\cos \varphi (a+b\cos \psi ),y=\sin \varphi (a+b\cos \psi ),z=b\sin \psi$$

其中 $0\le \varphi <2\pi ,0\le \psi <2\pi$。若将 $b$ 替换为从 0 到 ${}^{b,}$ 取值的变量 $\rho$，证明

$$\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z=\rho (a+\rho \cos \psi )\mathrm{d}\varphi \wedge \mathrm{d}\psi \wedge \mathrm{d}\rho .$$

通过将此3-形式在环面所围区域上积分，证明实心环面的体积为$2{\pi }^{2}a{b}^2$。你能通过一个简单的几何论证看出这一点吗？

通过对2-形式$\alpha =x$ $\mathrm{d}y$ $\mathrm{d}z$在环面的面上求积分并利用斯托克斯定理来求体积。

习题 17.8

证明：在 $n$ 维中，若 $V$ 是一个正则 $n$-定义域，其边界为 $S=\partial V$，并且我们令 $\alpha$ 为一个具有分量的 ($n$ 1)-形式

$$\alpha =\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}{A}^i\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i-1}\wedge \mathrm{d}{x}^{i+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^n,$$

斯托克斯定理可以化归为$n$维高斯定理

$${\int }_V\cdots \int A_{,i}^i\mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^n={\int }_S\cdots \int A^i\mathrm{d}{S}_i$$

其中 $\mathrm{d}{S}_i=\mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^{i-1}\mathrm{d}{x}^{i+1}\dots \mathrm{d}{x}^n$ 是垂直于 $S$ 的“向量体积元”。