黎曼联络 (Riemannian connection)

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已登记出处中的最早位置：§18.4 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§18.4 · zh-CN · translation · unreviewed

这个联络称为由度量张量$g$所定义的黎曼联络(Riemannian connection)。一个不施加条件 (i) 的物理理论的有趣例子是爱因斯坦–嘉当理论，其中挠率表示自旋 [9]。条件 (ii) 具有以下推论。设$\gamma$是一条具有切向量$X(t)=\dot{\gamma }(t)$的曲线，并设$Y$和$Z$是沿${\gamma }_{:}$平行移动的向量场，从而$D_{X}Y=D_{X}Z=0$。由式 (18.18) 可知，它们的内积$g(Y,Z)$沿该曲线为常数：

§18.4 · en · original_transcription · unreviewed

This connection is called the Riemannian connection defined by the metric tensor $g$. An interesting example of a physical theory that does not impose condition (i) is the Einstein– Cartan theory where torsion represents spin [9]. Condition (ii) has the following consequence. Let $\gamma$ be a curve with tangent vector $X(t)=\dot{\gamma }(t)$ , and let $Y$ and $Z$ be vector fields parallel transported along ${\gamma }_{:}$ , so that $D_{X}Y=D_{X}Z=0$ . By Eq. (18.18) it follows that their inner product $g(Y,Z)$ is constant along the curve:

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• href=“02-covariant-derivative-of-tensor-fields#equation-18-18”
• href=“02-covariant-derivative-of-tensor-fields#equation-18-18”

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