18.4 伪黎曼流形

English

流形 $M$ 上类型为 (0, 2) 的张量场 $g$ 称为非奇异的，如果 $g_p\in T^{(0,2)}$ 在每一点 $p\in M$ 处都是非奇异张量。一个 伪黎曼流形(pseudo-Riemannian manifold) $(M,g)$ 由一个可微流形 $M$ 连同类型为 (0, 2) 的对称非奇异张量场 $g$ 组成，该张量场称为 度量张量(metric tensor)。这等价于在每一点 $p\in M$ 处的切空间 $T_p(M)$ 上定义一个内积 $X_p\cdot Y_p=g_p(X_p,Y_p)$（见第 5 章和第 7 章）。我们将假设 $g$ 是可微张量场，从而对于每一对光滑向量场 $X$、$Y\in \mathcal{T}(M)$，其内积都是可微函数，

$$g(X,Y)=g(Y,X)\in \mathcal{F}(M).$$

在任意坐标卡 $(U;x^i)$ 中，我们可以写出

$$g=g_{ij}\mathrm{d}{x}^i\otimes \mathrm{d}{x}^j\text{ where }{g}_{ij}=g_{ji}=g({\partial }_{x^i},{\partial }_{x^j}),$$

而 $\mathsf{G}=[g_{ij}]$ 在每一点 $p\in M.$ 处均为非奇异矩阵。如同例 7.7 中那样，在 $M$ 上存在一个光滑的 逆度量张量(inverse metric tensor) $g^{-1}$，即一个 (2, 0) 型对称张量场，使得在任意坐标卡 $(U;x^i)$ 1

$$g^{-1}=g^{ij}\frac{\partial }{\partial x^i}\otimes \frac{\partial }{\partial x^j}\text{ where }{g}^{ik}{g}_{kj}={\delta }_j^i.$$

总是可以找到一组标准正交向量场 $e_1,\dots ,e_n$，位于任意给定点 $p,$ 的邻域上，在邻域的每一点张成切空间，使得

$$g(e_i,e_j)={\eta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}{\eta }_i& \text{ if }i=j\\ 0& \text{ if }i\ne j\end{array}$$

其中 ${\eta }_i=\pm 1.\mathrm{At}p$ 可以建立坐标使得 $e_i(p)={\left({\partial }_{x^i}\right)}_p$，从而

$$g_p={\eta }_{ij}(\mathrm{d}{x}^i{)}_p\otimes (\mathrm{d}{x}^j{)}_p,$$

但一般而言，除非正交归一 向量场 的所有李括号都消失 $[e_i,e_j]=0$，否则不可能在整个坐标 图上实现 $e_i={\partial }_{x^i}$。如果度量张量处处正定，则称 $(M,g)$ 为 黎曼流形(Riemannian manifold)，

$$g_p(X_p,X_p)>0\text{ for all }{X}_p\ne 0\in T_p(M),$$

或者等价地，对所有向量场 $X\in \mathcal{T}(M)$ 有 $g(X,X)\ge 0$。此时上述展开式中的所有 ${\eta }_i=1$。黎曼 一词也用于负定情形，即所有 ${\eta }_i=-1$。如果由 $g_p$ 在每个切空间上定义的内积是 闵可夫斯基型流形(Minkowskian manifold)，如第 5.1 节所定义，则称 $(M,g)$ 为闵可夫斯基型流形或 双曲流形(hyperbolic manifold)。此时存在局部正交归一向量场集合 $e_i$，使得相关系数为 ${\eta }_1=ϵ,{\eta }_2=\cdot \cdot \cdot ={\eta }_n=-ϵ$，其中 $ϵ=\pm 1$

若 $\gamma :[a,b]\to M$ 是黎曼流形上的参数曲线，则其在 $t_0$ 与 $t$ 之间的长度定义为

$$s={\int }_{t_0}^t\sqrt{g(\dot{\gamma }(u),\dot{\gamma }(u))}du.\text{\hspace{1em}(18.33)}$$

若曲线包含在坐标卡 $(U;x^i)$ 中，并写为 $x^i=x^i(t)$，则有

$$s={\int }_{t_0}^t\sqrt{g_{ij}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}{x}^j}{u}}\mathrm{d}u.$$

随文练习

验证曲线的长度与参数化无关；即，在方程 (18.33) 右侧的积分中，$s$ 在参数变换 $u^{\prime }=f(u)$ 下保持不变。

设方程 (18.33) 中 $t_0$ 的值固定。则 $\mathrm{d}s$ $/\mathrm{d}t=\sqrt{g(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))}$，且

$${\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^2=g_{ij}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}t}.\text{\hspace{1em}(18.34)}$$

若将沿曲线的参数设为距离参数 $s$，则切向量是沿曲线的单位向量，

$$g(\dot{\gamma }(s),\dot{\gamma }(s))=g_{ij}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}s}=1.\text{\hspace{1em}(18.35)}$$

有时将式（18.34）用如下形式符号地写出

$$\mathrm{d}{s}^2=g_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j,\text{\hspace{1em}(18.36)}$$

通常称为空间的度量。它应被视为一种用于展示度量张量分量的符号表达式，并取代更正确的 $g=g_{ij}:\mathrm{d}{x}^i:\otimes :\mathrm{d}{x}^j$。即使在不定度量的情形下也可以这样做，此时严格来说我们可以有 $\mathrm{d}{s}^2<0$

带有度量$R^n$的黎曼空间

$$\mathrm{d}{s}^2={\left(\mathrm{d}{x}^1\right)}^2+{\left(\mathrm{d}{x}^2\right)}^2+\cdots +{\left(\mathrm{d}{x}^n\right)}^2$$

称为欧几里得空间(Euclidean space)，并用符号${\mathbb{E}}^n$表示。当然，也可以使用其他坐标，例如极坐标，但当我们使用符号${\mathbb{E}}^n$时，通常假定采用直线坐标系，除非另有说明。

例 18.1

若 $(M,\phi :M\to {\mathbb{E}}^n)$ 是 ${\mathbb{E}}^n$ 的任意子流形，则它具有自然诱导的度量张量

$$g={\phi }^{\ast }\left(\mathrm{d}{x}^1\otimes \mathrm{d}{x}^1+\mathrm{d}{x}^2\otimes \mathrm{d}{x}^2+\cdots +\mathrm{d}{x}^n\otimes \mathrm{d}{x}^n\right).$$

设 $M$ 为半径 $a,x^2+y^2+z^2=a^2$ 的二维球面，并采用极坐标

$$x=a\sin \theta \cos \varphi ,y=a\sin \theta \sin \varphi ,z=a\cos \theta .$$

计算$S^2$上的诱导度量张量是直接的。

$$\begin{array}{l}g={\phi }^{\ast }(\mathrm{d}x\otimes \mathrm{d}x+\mathrm{d}y\otimes \mathrm{d}y+\mathrm{d}z\otimes \mathrm{d}z)\\ =(\cos \theta \cos \varphi \mathrm{d}\theta -\sin \theta \sin \varphi \mathrm{d}\varphi )\otimes (\cos \theta \cos \varphi \mathrm{d}\theta -\sin \theta \sin \varphi \mathrm{d}\varphi )+\dots \\ =a^2(\mathrm{d}\theta \otimes \mathrm{d}\theta +{\sin }^2\mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi ).\end{array}$$

或者，令 $\theta =\theta (t),\varphi =\varphi (t)$ 为位于 $M$ 中的任意曲线。其切向量在 ${\mathbb{E}}^3$ 中的分量为

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\cos \theta (t)\cos \varphi (t)\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}-\sin \theta (t)\sin \varphi (t)\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t},\text{ etc. }$$

而 ${\mathbb{E}}^3$ 中曲线的长度是

$${\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)}^2={\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2=a^2\left({\left(\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\sin }^2\theta {\left(\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t}\right)}^2\right).$$

因此，从${\mathbb{E}}^3$诱导到$M$上的度量可以写成

$$\mathrm{d}{s}^2=a^2\mathrm{d}{\theta }^2+a^2{\cos }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2.$$

黎曼联络

一个伪黎曼流形 $(M,g)$ 上有一个自然定义的联络 $D$，它满足以下两个要求：

(i) $D$ 是无挠的。

(ii) 度量张量场的协变导数为零，$Dg=0$

这个联络称为由度量张量$g$所定义的黎曼联络(Riemannian connection)。一个不施加条件 (i) 的物理理论的有趣例子是爱因斯坦–嘉当理论，其中挠率表示自旋 [9]。条件 (ii) 具有以下推论。设$\gamma$是一条具有切向量$X(t)=\dot{\gamma }(t)$的曲线，并设$Y$和$Z$是沿${\gamma }_{:}$平行移动的向量场，从而$D_{X}Y=D_{X}Z=0$。由式 (18.18) 可知，它们的内积$g(Y,Z)$沿该曲线为常数：

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}g(Y,Z)& =\frac{D}{\mathrm{d}t}g(Y,Z)=D_X(g(Y,Z))\\ & =(D_{X}g)(Y,Z)+g(D_{X}Y,Z)+g(Y,D_{X}Z)\\ & =Dg(Y,Z,X)=0.\end{array}$$

特别地，每个沿 $\gamma$ 平行移动的向量场 $Y$ 沿该曲线具有常量量值 $g(Y,Y)$，这一条件实际上是条件 (ii) 成立的必要且充分条件。

随文练习

证明最后一个命题。

条件 (i) 和 (ii) 定义了一个唯一联络，因为设 $(U;x^i)$ 为任意局部坐标卡，而 ${\Gamma }_{jk}^i={\Gamma }_{kj}^i$ 为该联络关于此坐标卡的分量。条件 (ii) 可利用式 (18.14) 写出

$$g_{ij;k}=g_{ij,k}-{\Gamma }_{ik}^m{g}_{mj}-{\Gamma }_{jk}^m{g}_{im}=0.\text{\hspace{1em}(18.37)}$$

交换指标对$i$、$k$与$j$、$k$，得到

$$g_{kj;i}=g_{kj,i}-{\Gamma }_{ki}^m{g}_{mj}-{\Gamma }_{ji}^m{g}_{km}=0,\text{\hspace{1em}(18.38)}$$

$$g_{ik;j}=g_{ik,j}-{\Gamma }_{ij}^m{g}_{mk}-{\Gamma }_{kj}^m{g}_{im}=0.\text{\hspace{1em}(18.39)}$$

结合式 (18.37)、式 (18.38) 和式 (18.39)，利用 $g_{ij}$ 与 ${\Gamma }_{ij}^m$ 的对称性，可得

$$g_{ij,k}+g_{kj,i}-g_{ik,j}=2g_{mj}{\Gamma }_{ik}^m.$$

乘以$g^{jl}$，并在改变指标后，我们得到

$${\Gamma }_{jk}^i=\frac{1}{2}{g}^{im}(g_{mj,k}+g_{mk,j}-g_{jk,m}).\text{\hspace{1em}(18.40)}$$

这些表达式称为克里斯托费尔符号(Christoffel symbols)；它们是在任意坐标系中黎曼联络的分量的显式表达式。

随文练习

证明

$$g_{;k}^{ij}=0.\text{\hspace{1em}(18.41)}$$

设 $\gamma :\mathbb{R}M$ 为一条以 $t$ 为仿射参数的测地线。由于切向量 $X(t)=\dot{\gamma }$ 沿该曲线平行移动，

$$\frac{DX}{\mathrm{d}t}=D_{X}X=0,$$

它具有恒定的量值，

$$g(X,X)=g_{ij}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}t}=\text{ const. }$$

可以对仿射参数施加标度变换，使得

$$g(X,X)=g_{ij}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}t}=\pm 1\text{or}0.$$

在闵可夫斯基型流形中，后一种情形称为零测地线(null geodesic)。$\mathrm{If}(M,g)$是黎曼空间，且$p=\gamma (0)\mathrm{then}g(X,X)=1$，而仿射参数$t$与沿测地线的距离参数相同。

随文练习

直接由测地线方程式 (18.9) 和克里斯托费尔符号式 (18.40) 证明

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(g_{ij}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}t}\right)=0.$$

例 18.2

在伪黎曼流形中，测地线方程可由变分原理导出（见 16.5 节）。测地线可视为具有驻定长度的曲线，

$$\delta s=\delta {\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{|g(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))|}dt=0.$$

设 $\gamma :[t_1,t_2]\times [-a,a]M$ 为给定曲线 $\gamma :[t_1,t_2]M_{:}$ 的一个变分，使得 $\gamma (t,0)=\gamma (t)$ 且该变分中所有成员的端点均固定，$\gamma (t_1,\lambda )=\gamma (t_1),\gamma (t_1,\lambda )=\gamma (t_1)$ 对所有 $\lambda \in [-a,a]$ 成立。令拉格朗日量 $L:TM\to \mathbb{R}$ 为 $L(X_p)=\sqrt{|g(X_p,X_p)|}$，然后我们遵循导出欧拉–拉格朗日方程 (16.25) 的论证：

$$\begin{array}{l}0=\delta s={\int }_{t_1}^{t_2}\delta L(\dot{\gamma }(t))\mathrm{d}t\\ ={\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }\sqrt{|g(\dot{\gamma }(t,\lambda ),\dot{\gamma }(t,\lambda ))|}{|}_{\lambda =0}\mathrm{d}t\\ =\pm {\int }_{t_1}^{t_2}\frac{1}{2L}\left(\delta g_{ij}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j+2g_{ij}{\dot{x}}^i\delta {\dot{x}}^j\right)\mathrm{d}t\\ =\pm {\int }_{t_1}^{t_2}\left\{\frac{1}{2L}\delta g_{ij,k}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j\delta x^k-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{g_{ik}{\dot{x}}^i}{L}\right)\delta x^k\right\}\mathrm{d}t+{\left[\frac{g_{ij}{\dot{x}}^i}{L}\delta {\dot{x}}^j\right]}_{t_1}^{t_2}\\ =\pm {\int }_{t_1}^{t_2}\left\{\frac{1}{2L}\delta g_{ij,k}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{g_{ik}{\dot{x}}^i}{L}\right)\right\}\delta x^k\mathrm{d}t\end{array}$$

由于在端点 $t=t_1$ 和 $t=t_2$ 处 $\delta x^k=0$。由于 $\delta x^k$ 是任意的，

$$\frac{1}{2L}\delta g_{ij,k}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{g_{ik}{\dot{x}}^i}{L}\right)=0$$

并将左边的第二项展开，再将所得方程乘以$L{g}^{km}$，我们得到

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^m}{\mathrm{d}{t}^2}+{\Gamma }_{ij}^m\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{L}\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^m}{\mathrm{d}t},\text{\hspace{1em}(18.42)}$$

其中 ${\Gamma }_{ij}^m$ 是由式 (18.40) 给出的克里斯托费尔符号。若令 $t$ 为距离参数 $t=s$，则 $L=1$，从而 $\mathrm{d}L/\mathrm{d}s=0$，且式 (18.42) 化为以仿射参数表示的测地线标准方程，即式 (18.9)。

虽然我们可能认为这说明测地线是连接任意一对点的“最短距离”曲线，但一般来说这绝非如此。更常见的是，从给定点出发的任意测地线上存在一个临界点，超过该点后，测地线相对于沿邻近曲线的距离而言是“拐点”。在伪黎曼流形中，某些测地线甚至可能是“最长长度”的曲线。对于闵可夫斯基空间中的类时测地线，这本质上就是时间膨胀效应——沿两个事件之间的任意路径携带的时钟所指示的流逝时间将少于这两个事件之间的惯性时钟。

测地坐标

在欧几里得空间的笛卡尔坐标中，我们有 $g_{ij}={\delta }_{ij}$，并且由式 (18.40)，黎曼联络的所有分量都为零，${\Gamma }_{jk}^i=0.$。因此由式 (18.25) 可知，曲率张量 $R$ 的所有分量都为零。反之，如果在坐标卡 $(U;x^i)$ 中联络的所有分量都为零，则由式 (18.37) 我们有 $g_{ij,k}=0$，并且度量张量分量 $g_{ij}$ 在坐标区域 $U$ 上为常数。

在 18.7 节中我们将证明，在坐标卡 $(V;y^i)$ 中 ${\Gamma }_{jk}^i=0$ 的一个充分必要条件是曲率张量在流形的一个开区域上处处为零。然而，只要挠率张量消失，就总能找到坐标使得在任意给定点 $p\in M$ 处 ${\Gamma }_{jk}^i(p)=0$。为简单起见，假设 $p$ 具有坐标 $x^i(p)=0$。我们尝试如下形式的局部坐标变换

$$x^i=B_{i^{\prime }}^i{y}^{i^{\prime }}+A_{j^{\prime }{k}^{\prime }}^i{y}^{j^{\prime }}{y}^{k^{\prime }}$$

其中 $B=[B_{i^{\prime }}^i]$ 和 $A_{j^{\prime }{k}^{\prime }}^i=A_{k^{\prime }{j}^{\prime }}^i$ 是常系数。由于

$${\frac{\partial x^i}{\partial y^{i^{\prime }}}|}_p=B_{i^{\prime }}^i$$

该变换仅在 $p$ 的邻域内可逆，当且仅当 $B=[B_{i^{\prime }}^i]$ 为非奇异矩阵。$p$ 的新坐标仍为零，$y^{i^{\prime }}(p)=0$，并且利用变换公式 式 (18.11)，我们有

$${\Gamma }_{j^{\prime }{k}^{\prime }}^{\prime i^{\prime }}(p)=B_{j^{\prime }}^j{B}_{k^{\prime }}^k(B^{-1}{)}_i^{i^{\prime }}{\Gamma }_{jk}^i(p)+2A_{j^{\prime }{k}^{\prime }}^i(B^{-1}{)}_i^{i^{\prime }}=0$$

如果我们设

$$A_{j^{\prime }{k}^{\prime }}^i=-\frac{1}{2}{B}_{j^{\prime }}^j{B}_{k^{\prime }}^k{\Gamma }_{jk}^i(p).$$

任何这样的坐标 $(V;y^{j^{\prime }})$ 都称为在 $p$ 处的 测地坐标(geodesic coordinates)，或 正规坐标(normal coordinates)。其作用是使测地线在 $p$ 的无穷小邻域内局部地表现为“直线”。

随文练习

如果联络不是无挠的，为什么这一过程会失败？

在伪黎曼流形的情形下，度量张量的所有导数在测地坐标中的 $p,g_{ij,k}(p)=0$ 处都为零。上述常数系数 $B_{j^{\prime }}^j$ 可以选取为使度量张量在 $p,$ 处化为标准对角形式，使得 $g^{\prime }{}_{i^{\prime }{j}^{\prime }}(p)=g_{ij}(p)B_{i^{\prime }}^i{B}_{j^{\prime }}^j={\eta }_{i^{\prime }{j}^{\prime }}$ 沿对角线取值 $\pm 1$。$g_{ij}$ 的高于一阶的导数在 $p.$ 处一般不会为零。例如，在 $p$ 处的正规坐标中，利用式 (18.40) 和式 (18.25)，曲率张量的分量可以用二阶导数 $g_{ij,kl}(p)$ 表示。

$$\begin{array}{rl}& R_{jkl}^i(p)={\Gamma }_{jl,k}^i(p)-{\Gamma }_{jk,l}^i(p)\\ & =\frac{1}{2}{\eta }^{im}(g_{ml,jk}+g_{jk,ml}-g_{mk,jl}-g_{jl,mk}){|}_p.\end{array}\text{\hspace{1em}(18.43)}$$

习题

习题 18.12

(a) 证明在伪黎曼空间中，作用量原理

$$\delta {\int }_{t_1}^{t_2}L\mathrm{d}t=0$$

其中 $L=g_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }$ 产生以仿射参数 $t$ 表示的测地线方程。

(b) 对于极坐标中半径为$a$的球面，

$$\mathrm{d}{s}^2=a^2(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2),$$

利用这一变分原理写出测地线方程，并从中读出克里斯托费尔符号${\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }$

(c) 通过在测地线方程中直接代入，验证 $L={\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2$ 沿测地线为常数，并利用这一点证明测地线方程的通解由下式给出

$$b\cot \theta =-\cos (\varphi -{\varphi }_0)\text{ where }b,{\varphi }_0=\text{ const }.$$

(d) 证明这些曲线是球面上的大圆。

习题 18.13

请直接由 $g_{ij}$ 和 $g^{ij}$ 的张量变换律证明克里斯托费尔符号

$${\Gamma }_{jk}^i=\frac{1}{2}{g}^{ia}(g_{aj,k}+g_{ak,j}-g_{jk,a})$$

变换为仿射联络的分量。