18.2 张量场的协变导数

English

对每个向量场 $X$，我们定义一个映射 $D_X:{\mathcal{T}}^{(r,s)}(M)\to {\mathcal{T}}^{(r,s)}(M)$，它通过要求以下条件将协变导数推广到一般张量场：

(Cov1) 对于标量场，$f\in \mathcal{F}(M)=T^{(0,0)}(M),\mathrm{we}\mathrm{set}{D}_{X}f=Xf$

(Cov2) 对于 1-形式 $\omega \in {\mathcal{T}}^{(0,1)}(M)$，假设 , , 满足莱布尼茨法则

$$D_X⟨\omega ,Y⟩=⟨D_X\omega ,Y⟩+⟨\omega ,D_{X}Y⟩.$$

(Cov3) 对任意一对张量场 $T$、$S\in {\mathcal{T}}^{(r,s)}(M)$，有 $D_X(T+S)=D_{X}T+D_{X}S$

(Cov4) 莱布尼茨法则关于张量积成立

$$D_X(T\otimes S)=(D_{X}T)\otimes S+T\otimes D_{X}S.$$

这些要求为任意光滑张量场 $T$ 定义了唯一的张量场 $D_{X}T$。首先，设 $\omega =w_i\mathrm{d}{x}^i$ 为定义在覆盖 $p.$ 的坐标卡 $(U;x^i)$ 上的任意 1-形式。令 $Y={\partial }_{x^i}$，条件 (Cov1) 给出 $D_X⟨\omega ,{\partial }_{x^i}⟩=D_X(w_i)=X^k{w}_{i,k}$，而 (Cov2) 则意味着

$$D_X⟨\omega ,{\partial }_{x^i}⟩=⟨D_X\omega ,{\partial }_{x^i}⟩+⟨\omega ,X^k{D}_k{\partial }_{x^i}⟩.$$

因此，利用式 (18.5) 和 $(D_X\omega {)}_i=⟨D_X\omega ,{\partial }_{x^i}⟩$，我们得到

$${\left(D_X\omega \right)}_i=w_{i;k}{X}^k\text{\hspace{1em}(18.12)}$$

其中

$$w_{i;k}=w_{i,k}-{\Gamma }_{ik}^j{w}_j.\text{\hspace{1em}(18.13)}$$

随文练习

验证式 (18.13) 蕴含条件 (Cov2) 的坐标表达式，

$${\left(w_i{Y}^i\right)}_{,k}{X}^k=w_{i;k}{X}^k{Y}^i+w_i{Y}_{;k}^i{X}^k.$$

对于一般张量 $T_{:}$，按由 ${\partial }_{x^i}$ 与 $\mathrm{d}{x}^j$ 的张量积构成的基展开，并使用 (Cov3) 和 (Cov4)。例如，如果

$$T=T_{kl\dots }^{ij\dots }{\partial }_{x^i}\otimes {\partial }_{x^j}\otimes \cdots \otimes \mathrm{d}{x}^k\otimes \mathrm{d}{x}^l\otimes \dots$$

一个直接的计算得到

$$D_{X}T=T_{kl\dots ;p}^{ij\dots }{X}^p{\partial }_{x^i}\otimes {\partial }_{x^j}\otimes \cdots \otimes \mathrm{d}{x}^k\otimes \mathrm{d}{x}^l\otimes \dots$$

其中

$$\begin{array}{c}{T}_{kl\dots ;p}^{ij\dots }=T_{kl\dots ,p}^{ij\dots }+{\Gamma }_{ap}^i{T}_{kl\dots }^{aj\dots }+{\Gamma }_{ap}^j{T}_{kl\dots }^{ia\dots }+\dots \\ -{\Gamma }_{kp}^a{T}_{al\dots }^{ij\dots }-{\Gamma }_{lp}^a{T}_{ka\dots }^{ij\dots }-\dots \end{array}\text{\hspace{1em}(18.14)}$$

这表明 (Cov1)–(Cov4) 可用于计算 $D_{X}T$ 在任意点 $p\in M$ 处关于覆盖 $p,$ 的坐标卡 $(U;x^i)$ 的分量，从而在整个 $M$ 上唯一确定张量场 $D_{X}T$。

对每个类型为 $(r,s)$ 的张量场 $T$，其协变导数 $DT$ 是由下式定义的、类型为 $(r,s+1)$ 的张量场

$$DT({\omega }^1,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^r,Y_1,Y_2,\dots ,Y_s,X)=D_{X}T({\omega }^1,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^r,Y_1,Y_2,\dots ,Y_s).$$

随文练习

证明：对于任意局部坐标，张量场 $DT$ 的分量 $T^{ij\dots }{}_{kl\dots ;p}$ 由式 (18.14) 定义。

随文练习

证明

$${\delta }_{j;k}^i=0.\text{\hspace{1em}(18.15)}$$

协变导数与张量场上的所有缩并均可交换

$$D\left(C_l^{k}T\right)=C_l^{k}DT.\text{\hspace{1em}(18.16)}$$

这一关系在局部坐标中最容易看出，其中它表示为

$$(T_{j_1\dots a\dots j_s}^{i_1\dots a\dots i_r}{)}_{;k}=T_{j_1\dots a\dots j_s;k}^{i_1\dots a\dots i_r},\text{\hspace{1em}(18.17)}$$

上指标 $a$ 位于第 $k$ 位，下指标位于第 $l$ 位。若按式 (18.14) 展开右端，则对应于这些指标的各项为

$${\Gamma }_{bk}^a{T}_{j_1\dots a\dots j_s}^{i_1\dots b\dots i_r}-{\Gamma }_{ak}^b{T}_{j_1\dots b\dots j_s}^{i_1\dots a\dots i_r}=0$$

而剩余部分则化为将方程(18.17)左端展开后所得的表达式。

该性质的一个有用推论是以下关系：

$$\begin{array}{l}X(T({\omega }^1,\dots ,{\omega }^r,Y_1,\dots ,Y_s))=D_{X}T({\omega }^1,\dots ,{\omega }^r,Y_1,\dots ,Y_s)\\ +T(D_X{\omega }^1,\dots ,{\omega }^r,Y_1,\dots ,Y_s)+\cdots +T({\omega }^1,\dots ,D_X{\omega }^r,Y_1,\dots ,Y_s)\\ +T({\omega }^1,\dots ,{\omega }^r,D_X{Y}_1,\dots ,Y_s)+\cdots +T({\omega }^1,\dots ,{\omega }^r,Y_1,\dots ,D_X{Y}_s).\end{array}\text{\hspace{1em}(18.18)}$$

习题

习题 18.3

直接由 (Cov1)–(Cov4) 证明：对所有向量场 $X$、张量场 $T$ 和标量函数 $f:M\to \mathbb{R}$，有 $D_{fX}T=f{D}_{X}T$

习题 18.4

根据 ${\Gamma }_{jk}^i$ 的坐标变换规则式 (18.11)，验证由式 (18.14) 定义的任意张量场的协变导数的分量，按照张量场的分量进行变换。

习题 18.5

证明恒等式式 (18.18) 可由式 (18.16) 推出。