海森堡不确定性定理 (Heisenberg uncertainty theorem)

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§14.1 · zh-CN · translation · unreviewed

定理 14.1 · 海森堡不确定性定理 (Heisenberg uncertainty theorem)

（海森堡）设 $A$ 和 $B$ 为两个厄米算符，则对任意态 $|\psi ⟩$

$$\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}|⟨[A,B]⟩|\text{\hspace{1em}(14.6)}$$

其中 $[A,B]=AB-BA$ 是两个算符的对易子

证明

设

$$|{\psi }_1⟩=(A-⟨A⟩I)|\psi ⟩,|{\psi }_2⟩=(B-⟨B⟩I)|\psi ⟩,$$

使得 $\Delta A=\Vert {\psi }_1\Vert$ 和 $\Delta B=\Vert {\psi }_2\Vert$。利用柯西–施瓦茨不等式，

$$\begin{array}{rl}\Delta A\Delta B& =\Vert {\psi }_1\Vert \Vert {\psi }_2\Vert \ge |⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩|\\ & \ge |\mathrm{Im}⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩|\\ & =\left|\frac{1}{2i}\right(⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩-⟨{\psi }_2|{\psi }_1⟩\left)\right|.\end{array}$$

现在

$$\begin{array}{rl}⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩& =⟨(A-⟨A⟩I)\psi |(B-⟨B⟩I)\psi ⟩\\ & =⟨\psi |AB|\psi ⟩-⟨A⟩⟨B⟩.\end{array}$$

因此

$$\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}|⟨\psi |AB-BA|\psi ⟩|=\frac{1}{2}|⟨[A,B]⟩|.$$

§14.1 · en · original_transcription · unreviewed

Theorem 14.1 · Heisenberg uncertainty theorem

(Heisenberg) Let $A$ and $B$ be two hermitian operators, thenfor any state $|\psi ⟩$

$$\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}|⟨[A,B]⟩|\text{\hspace{1em}(14.6)}$$

where $[A,B]=AB-BA$ is the commutator of the two operators

Proof

Let

$$|{\psi }_1⟩=(A-⟨A⟩I)|\psi ⟩,|{\psi }_2⟩=(B-⟨B⟩I)|\psi ⟩,$$

so that $\Delta A=\Vert {\psi }_1\Vert$ and $\Delta B=\Vert {\psi }_2\Vert$ . Using the Cauchy–Schwarz inequality,

$$\begin{array}{rl}\Delta A\Delta B& =\Vert {\psi }_1\Vert \Vert {\psi }_2\Vert \ge |⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩|\\ & \ge |\mathrm{Im}⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩|\\ & =\left|\frac{1}{2i}\right(⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩-⟨{\psi }_2|{\psi }_1⟩\left)\right|.\end{array}$$

Now

$$\begin{array}{rl}⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩& =⟨(A-⟨A⟩I)\psi |(B-⟨B⟩I)\psi ⟩\\ & =⟨\psi |AB|\psi ⟩-⟨A⟩⟨B⟩.\end{array}$$

Hence

$$\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}|⟨\psi |AB-BA|\psi ⟩|=\frac{1}{2}|⟨[A,B]⟩|.$$

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