14.1 基本概念

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光子偏振实验

为了理解量子力学如何运作，我们考察若干涉及偏振光束的思想实验的结果。通常，单色平面波解或麦克斯韦方程组（见习题9.23）具有电场

$$\mathbf{E}\propto \mathrm{Re}\left(\alpha {\mathbf{e}}_x+\beta {\mathbf{e}}_y\right){\mathrm{e}}^{i(kz-\omega t)}$$

其中 ${\mathbf{e}}_x$ 和 ${\mathbf{e}}_y$ 分别是沿 $x$ 方向和 $y$ 方向的单位向量，而 $\alpha$ 和 $\beta$ 是复数，使得

$$|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1.$$

当$\alpha /\beta$为实数时，我们得到线偏振波，例如

$$\mathbf{E}\propto \frac{1}{\sqrt{2}}({\mathbf{e}}_x+{\mathbf{e}}_y){\mathrm{e}}^{i(kz-\omega t)}.$$

若$b=\pm ia=\pm i/\sqrt{2}$，则该波为圆偏振；该符号称为右旋圆偏振，而该符号称为左旋圆偏振。在所有其他情况下，则称其为椭圆偏振。若我们使一束偏振光通过偏振轴为${\mathbf{e}}_x$的偏振器，则光束强度按因子$|a{|}^2$减弱，出射光束为${\mathbf{e}}_x$偏振。因此，若将所得光束通过另一个${\mathbf{e}}_x$偏振器，它将100%透射，而若将其通过${\mathbf{e}}_y-\mathrm{polarizer}$，它将被完全吸收，不会有任何光通过。这就是经典情形。

正如普朗克和爱因斯坦在二十世纪之交所发现的，光束由称为光子(photon)的离散包组成，其能量为$E=h\nu =\hslash \omega$，其中$h\approx 6.625\times 10^{-27}\mathrm{g}{\mathrm{cm}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$是普朗克常数，$\hslash =h/2\pi$。如果我们一次一个光子地将光束发送通过偏振器，会发生什么？由于每个光子的频率不变，它出射时具有相同的能量，并且由于光束的强度与能量相关，这必然意味着光子数减少了。然而，最明显的结论——即光束由光子混合物组成，其中一部分$|\alpha {|}^2$偏振在${\mathbf{e}}_x$方向，$|\beta {|}^2$偏振在${\mathbf{e}}_{\nu }$方向——经不起仔细推敲。因为，如果将具有$\alpha =\beta =1/\sqrt{2}$的光束通过一个设计为仅透射在$({\mathbf{e}}_x+{\mathbf{e}}_y)/\sqrt{2}$方向上线偏振的波的偏振器，那么它应该100%被透射。然而，根据混合物假设，只有一半的${\mathbf{e}}_x$偏振光子应该通过，一半的${\mathbf{e}}_y-\mathsf{polarized}$光子，留下总共$\begin{array}{r}\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$的分数被透射。

在量子力学中，提出每个光子是两种偏振态${\mathbf{e}}_x$与${\mathbf{e}}_y$的“复叠加”$\alpha {\mathbf{e}}_x+\beta {\mathbf{e}}_y$。通过${\mathbf{e}}_x$偏振器的透射概率由$|\alpha {|}^2$给出，而通过${\mathbf{e}}_y$偏振器的透射概率为$|\beta {|}^2$。${\mathbf{e}}_x$偏振器的作用本质上是将光子“坍缩”为${\mathbf{e}}_x$偏振态。该偏振器既可视作测量装置，也可视作将光子制备于${\mathbf{e}}_x-\mathrm{polarized}$态的装置。若用作测量装置，则当光子透射时返回数值1，否则返回0——无论哪种情况，测量行为都改变了被测量光子的状态。

图 14.1 展示了一种有趣的安排，用以说明第二种观点。考虑一束光子入射到一个 ${\mathbf{e}}_x-\mathrm{polarizer},$ 上，随后再入射到一个 ${\mathbf{e}}_y$ 偏振器上；净结果是，没有光子从第二个偏振器出射。现在引入一个沿 $(1/\sqrt{2})({\mathbf{e}}_x+{\mathbf{e}}_y)$ 方向的偏振器——换言之，一个应当阻挡最初两个偏振器之间部分光子的装置。如果混合理论是正确的，那么这能够增加透射就是不可想象的。然而实际情况是，有一半光子从这个中间偏振器出射，其偏振为 $(1/\sqrt{2})({\mathbf{e}}_x+{\mathbf{e}}_y)$，而其中的又一半，即总共四分之一，现在被 ${\mathbf{e}}_y-\mathrm{polarizer}.$ 透射。

我们如何求一个偏振态 $A$ 相对于任意偏振方向 $B$ 的透射概率？以下论证旨在启发思考，而非严格推导。设 $\mathbf{A}=\alpha {\mathbf{e}}_x+\beta {\mathbf{e}}_y$，其中 $\alpha$ 与 $\beta$ 是满足 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$ 的复数。我们写出 $\alpha =⟨{\mathbf{e}}_x\mid \mathbf{A}⟩$，称为 ${\mathbf{e}}_x$ 透射的振幅，其中

图 14.1 光子偏振实验

$A$偏振光子。它是一个复数，本身没有明显的物理解释，但其模方$|\alpha {|}^2$是${\mathbf{e}}_x$偏振器的透射概率。类似地，$\beta =⟨{\mathbf{e}}_y\mid \mathbf{A}⟩$是${\mathbf{e}}_y$透射的振幅，而$|\beta {|}^2$是${\mathbf{e}}_y-\mathrm{polarizer}.$的透射概率。什么样的偏振$A^{\perp }$使得这种类型的偏振器不允许任何透射，即$⟨{\mathbf{A}}^{\perp }|\mathbf{A}⟩=0?$？对于$\alpha$和$\beta$均为实数的线偏振波，我们期望它在几何上正交，即${\mathbf{A}}^{\perp }=\beta {\mathbf{e}}_x-\alpha {\mathbf{e}}_y$。对于圆偏振波，正交的“方向”是相反的圆偏振旋向。因此

$$\frac{1}{\sqrt{2}}{\left({\mathbf{e}}_x\pm i{\mathbf{e}}_y\right)}^{\perp }=\frac{1}{\sqrt{2}}\left({\mathbf{e}}_x\mp i{\mathbf{e}}_y\right)\equiv \mp \frac{1}{\sqrt{2}}\left(i{\mathbf{e}}_x-{\mathbf{e}}_y\right)$$

因为诸如 $i$ 这样的相位因子是无关紧要的。在一般椭圆情形下，我们可能猜测 ${\mathbf{A}}^{\perp }=\overline{\beta }{\mathbf{e}}_x-\overline{\alpha }{\mathbf{e}}_y$，因为对于线偏振和圆偏振，它简化为正确的结果。求解 ${\mathbf{e}}_x$ 和 ${\mathbf{e}}_y$，我们有

$${\mathbf{e}}_x=\overline{\alpha }\mathbf{A}+\beta {\mathbf{A}}^{\perp },{\mathbf{e}}_y=\overline{\beta }\mathbf{A}-\alpha {\mathbf{A}}^{\perp }.$$

设 $\mathbf{B}=\gamma {\mathbf{e}}_x+\delta {\mathbf{e}}_y$ 为任意其他极化，则代入 ${\mathbf{e}}_x$ 和 ${\mathbf{e}}_y$ 可得

$$\mathbf{B}=(\gamma \overline{\alpha }+\delta \overline{\beta })\mathbf{A}+(\gamma \beta -\alpha \delta ){\mathbf{A}}^{\perp }.$$

令 $B=A$ 得到归一化条件 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$。因此，由于 $⟨\mathbf{A}|\mathbf{A}⟩=1$（透射概率为 1），

$$⟨\mathbf{B}|\mathbf{A}⟩=(\gamma \overline{\alpha }+\delta \overline{\beta })=\overline{⟨\mathbf{A}|\mathbf{B}⟩}.$$

其他系统，如斯特恩-格拉赫实验，其中磁矩为$\mu$的电子在磁场$H$中总是仅沿两个方向偏转，展现出完全类似的形式体系。结论是，系统的量子力学状态构成一个具有内积$⟨\varphi \mid \psi ⟩$的复向量空间，满足通常的

条件

$$⟨\varphi |\alpha {\psi }_1+\beta {\psi }_2⟩=\alpha ⟨\varphi |{\psi }_1⟩+\beta ⟨\varphi |{\psi }_2⟩\text{ and }⟨\varphi |\psi ⟩=\overline{⟨\psi |\varphi ⟩}.$$

在一次测量中得到对应于$\varphi$的值的概率为

$$P(\varphi ,\psi )=|⟨\varphi |\psi ⟩{|}^2.$$

正如将要看到的，态实际上被归一化为 $⟨\psi |\psi ⟩=1$，因此只允许满足 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$ 的线性组合 $\alpha {\psi }_1+\beta {\psi }_2$。

态希尔伯特空间

我们现在假定每个物理系统都对应一个可分的希尔伯特空间，表示该系统所有可能的状态。该希尔伯特空间可以是有限维的，例如光子或电子的偏振态，但通常是无限维的。系统的状态由非零向量 $\psi \in \mathcal{H}.$ 表示，但这种对应不是一一的，因为任意两个向量 $\psi$ 和 ${\psi }^{\prime }$ 若通过非零复因子成比例，即 ${\psi }^{\prime }=\lambda \psi$，其中 $\lambda \in \mathbb{C}$，都将被假定表示相同的状态。换言之，一个状态是向量 $[\psi ]$ 的一个等价类或 射线(ray)，这些向量之间均通过比例关系相联系。一个状态可以由该类中的任意向量表示，并且通常选取一个具有单位范数 $\Vert \psi \Vert =1$ 的代表元。即使这一限制也不能唯一确定一个向量来表示该状态，因为任何其他满足 $|\lambda |=1$ 的向量 ${\psi }^{\prime }=\lambda \psi$ 也将满足单位范数条件。角度自由度 $\lambda ={\mathrm{e}}^{ic}$ 有时被称为状态向量的 相位(phase)。相位仅在相对意义下才有意义；例如，$\psi +{\mathrm{e}}^{ic}\varphi$ 通常是与 $\psi +\varphi$ 不同的状态，但 ${\mathsf{e}}^{ic}(\psi +\varphi )$ 则不是。

在本章中，我们将采用狄拉克的左矢(bra)-右矢记号，这种记号虽然略显奇特，但已在物理学家中大体上成为首选约定。向量$\psi \in \mathcal{H}$写作右矢(ket) $|\psi ⟩$，并作出等同$|\lambda \psi ⟩=\lambda |\psi ⟩$。根据里斯表示定理13.10，对每个线性泛函$f:\mathcal{H}\to \mathbb{C}$，存在唯一向量$\varphi \equiv |\varphi ⟩\in \mathcal{H}$使得$f(\psi )=⟨\varphi |\psi ⟩$。在狄拉克的术语中，该线性泛函被称为左矢，写作$⟨\varphi |$。左矢与右矢之间的关系是反线性的，

$$⟨\lambda \psi +\varphi |=\overline{\lambda }⟨\psi |+⟨\varphi |.$$

在狄拉克记号中，通常认为线性算符$(A,D_A)$作用在右矢（向量）的左侧，而作用在左矢（线性泛函）的右侧：

$$A|\psi ⟩\equiv |A\psi ⟩,$$

而如果 $\varphi \in D_A$

$$⟨\varphi |A\equiv ⟨A^{\ast }\varphi |.$$

算符在两个向量之间的矩阵元的下列记号用法均等价：

$$⟨\varphi |A|\psi ⟩\equiv ⟨\varphi |A\psi ⟩=⟨A^{\ast }\varphi |\psi ⟩=\overline{⟨\psi |A^{\ast }\varphi ⟩}=\overline{⟨\psi |A^{\ast }|\varphi ⟩}.$$

$\mathrm{If}|e_i$ 是可分的希尔伯特空间中右矢的一组标准正交基，则我们可以写出

$$A|e_j⟩=\sum _i{a}_{ij}|e_i⟩\text{ where }{a}_{ij}=⟨e_i|A|e_j⟩.$$

可观测量

在经典力学中，物理可观测量(observable)指的是位置、动量、能量或角动量等量，它们是实数或实多分量对象。在量子力学中，可观测量由态希尔伯特空间上的自伴算符表示。我们首先考虑$A$是厄米算符（有界且连续）的情形。若相应的厄米算符$A$是完备的，使得存在由特征向量$|{\psi }_1⟩,|{\psi }_2⟩,...$构成的正交标准基，则称这样的可观测量为完备可观测量(complete observable)。使得

$$A|{\psi }_n⟩={\alpha }_n|{\psi }_n⟩\text{ where }⟨{\psi }_m|{\psi }_n⟩={\delta }_{mn}.\text{\hspace{1em}(14.1)}$$

测量完备可观测量的结果总是特征值 ${\alpha }_n$ 之一，而这些特征值为实数这一事实提供了与经典物理学的联系。根据定理 13.2，每个态 $|\psi ⟩$ 都可以唯一地写成如下形式

$$|\psi ⟩=\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n|{\psi }_n⟩\text{ where }{c}_n=⟨{\psi }_n|\psi ⟩,\text{\hspace{1em}(14.2)}$$

或者，由于向量$|\psi ⟩$是任意的，我们可以写出

$$I\equiv {\mathrm{id}}_{\mathcal{H}}=\sum _{n=1}^{\infty }|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_n|.\text{\hspace{1em}(14.3)}$$

随文练习

证明算符 $A$ 可以写成如下形式

$$A=\sum _{n=1}^{\infty }{\alpha }_n|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_n|.$$

单位算符在两个态$|\varphi ⟩$与$|\psi ⟩$之间的矩阵元为

$$⟨\varphi |\psi ⟩=⟨\varphi |I|\psi ⟩=\sum _{n=1}^{\infty }⟨\varphi |{\psi }_n⟩⟨{\psi }_n|\psi ⟩.$$

其物理解释是：当系统处于态 $|\varphi ⟩$ 时，$|⟨\varphi |\psi ⟩{|}^2$ 是测得态 $|\psi ⟩$ 的概率。由于两个态向量均为单位向量，柯西–施瓦茨不等式保证该概率小于一，

$$|⟨\varphi |\psi ⟩{|}^2\le \Vert \varphi {\Vert }^2\Vert \psi {\Vert }^2=1.$$

若 $A$ 是一个完备的厄米算符，其本征态 $|{\psi }_n$ 满足式 (14.1)，则根据这一假设，当系统处于态 $|\psi ⟩$ 时，本征态 $|{\psi }_n$ 被实现的概率由 $|c_n{|}^2=|⟨{\psi }_n|\psi ⟩{|}^2$ 给出，其中 $c_n$ 是展开式 (14.2) 中的系数。因此，$|c_n{|}^2$ 是当系统处于态 $|\psi ⟩$ 时测量可观测量 $A$ 得到值 ${\alpha }_n$ 的概率。由帕塞瓦尔恒等式 (13.7)，我们有

$$\sum _{n=1}^{\infty }|c_n{|}^2=\Vert \psi {\Vert }^2=1,$$

可观测量 $A$ 在给定态 $|\psi ⟩$ 中的期望值由下式给出

$$⟨A⟩\equiv ⟨A{⟩}_{\psi }=\sum _{n=1}^{\infty }|c_n{|}^2{\alpha }_n=⟨\psi |A|\psi ⟩.\text{\hspace{1em}(14.4)}$$

测量可观测量 $A$ 的行为将系统‘坍缩’到本征态 $|{\psi }_n$ 之一，其概率为 $|c_n{|}^2=|⟨{\psi }_n|\psi ⟩{|}^2$ 。量子力学的这一特征，即测量结果只能以概率的形式得知，并且系统在测量之后不再处于与测量之前相同的状态，是量子物理学与经典物理学之间的关键区别之一；在经典物理学中，测量总是进行得足够精细，以便尽可能小地扰动系统。量子力学断言，即使在原则上，这也是不可能的。

可观测量 $A$ 在态 $|\psi ⟩$ 中的均方根偏差 $\Delta A$ 定义为

$$\Delta A=\sqrt{⟨(A-⟨A⟩I{)}^2⟩}.$$

根号下的量为正，因为

$$⟨(A-⟨A⟩I{)}^2⟩=⟨\psi |(A-⟨A⟩I{)}^2\psi ⟩=\Vert (A-⟨A⟩I)\psi {\Vert }^2\ge 0$$

由于 $A$ 是厄米的，且 $⟨A⟩$ 是实的。均方根偏差的一个有用公式是

$$\begin{array}{c}(\Delta A{)}^2=⟨\psi |A^2-2A⟨A⟩+⟨A{⟩}^{2}I|\psi ⟩\\ =⟨A^2⟩-⟨A{⟩}^2.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.5)}$$

因此，$|\psi ⟩$ 是 $A$ 的本征态当且仅当它是无弥散的，$\Delta A=0$。因为，由式 (14.5)，若 $A|\psi ⟩=\alpha |\psi ⟩$，则 $⟨A⟩=\alpha$，且 $⟨A^2⟩={\alpha }^2$ 立即导致 $\Delta A=0$；反之，$\mathrm{if}\Delta A=0$，则 $\Vert (A-⟨A⟩I)\psi {\Vert }^2$，这仅当 $A|\psi ⟩=⟨A⟩|\psi ⟩$ 时才可能。无弥散态有时被称为关于可观测量 $A$ 的纯态。

定理 14.1 · 海森堡不确定性定理 (Heisenberg uncertainty theorem)

（海森堡）设 $A$ 和 $B$ 为两个厄米算符，则对任意态 $|\psi ⟩$

$$\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}|⟨[A,B]⟩|\text{\hspace{1em}(14.6)}$$

其中 $[A,B]=AB-BA$ 是两个算符的对易子

证明

设

$$|{\psi }_1⟩=(A-⟨A⟩I)|\psi ⟩,|{\psi }_2⟩=(B-⟨B⟩I)|\psi ⟩,$$

使得 $\Delta A=\Vert {\psi }_1\Vert$ 和 $\Delta B=\Vert {\psi }_2\Vert$。利用柯西–施瓦茨不等式，

$$\begin{array}{c}\Delta A\Delta B=\Vert {\psi }_1\Vert \Vert {\psi }_2\Vert \ge |⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩|\\ \ge |\mathrm{Im}⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩|\\ =\left|\frac{1}{2i}\right(⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩-⟨{\psi }_2|{\psi }_1⟩\left)\right|.\end{array}$$

现在

$$\begin{array}{c}⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩=⟨(A-⟨A⟩I)\psi |(B-⟨B⟩I)\psi ⟩\\ =⟨\psi |AB|\psi ⟩-⟨A⟩⟨B⟩.\end{array}$$

因此

$$\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}|⟨\psi |AB-BA|\psi ⟩|=\frac{1}{2}|⟨[A,B]⟩|.$$

随文练习

证明：对任意两个厄米算符 $A$ 和 $B$，算符 $i[A,B]$ 是厄米的。

随文练习

证明：对于任何为 $A$ 或 $B$ 的特征向量的态 $|\psi ⟩$，都有 $⟨[A,B]⟩=0$。

定理 14.1 的一个特别有趣的情形出现在 $A$ 与 $B$ 满足正则对易关系时，

$$[A,B]=i\hslash I,\text{\hspace{1em}(14.7)}$$

其中$\hslash =h/2\pi$是普朗克常数除以2$\pi$。这样的一对可观测量被称为互补可观测量(complementary observable)。在可容许定义域受到一定限制的情况下，它们对例13.19和例13.20中讨论的位置算符$Q=A_x$和动量算符$P=-i\hslash \mathbf{d}/\mathbf{d}x$成立。因为，设$f$是它们定义域交集中的一个函数，那么

$$[Q,P]=x\left(-i\hslash \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right)+i\hslash \frac{\mathrm{d}(xf)}{\mathrm{d}x}=i\hslash f,$$

因此

$$[Q,P]=i\hslash I.\text{\hspace{1em}(14.8)}$$

定理 14.1 得出经典的海森堡不确定性关系

$$\Delta Q\Delta P\ge \frac{\hslash }{2}.$$

有时人们声称，由于普朗克常数 $h$ 如此“小”$(h\approx 6.625\times 10^{-27}\mathrm{g}{\mathrm{cm}}^2{\mathrm{s}}^{-1})$，这一关系在宏观层面上没有影响。这种说法与事实相去甚远。我们之所以能被坚实的固体地球支撑，而不会向其中心坍缩，可以追溯到这一关系以及类似的关系。

随文练习

证明式（14.7）在有限维空间中不可能成立。[提示：对两边取迹。]

定理 14.2 · 相容可观测量与共同本征基 (Compatible observables and a common eigenbasis)

一对完备的厄米可观测量$A$与$B$对易，$[A,B]=0,$，当且仅当存在一组完备的共同特征向量。这样的可观测量称为相容可观测量(compatible observable)。

证明

如果存在一个由共同特征向量构成的基 $|{\psi }_1⟩,|{\psi }_2⟩,...$ ，使得

$$A|{\psi }_n⟩={\alpha }_n|{\psi }_n⟩,B|{\psi }_n⟩={\beta }_n|{\psi }_n⟩,$$

于是对每个 $n$ 有 $AB|{\psi }_n⟩={\alpha }_n{\beta }_n|{\psi }_n⟩=BA|{\psi }_n⟩$。因此，对任意向量 $\psi$，由式 (14.2) 可得

$$[A,B]|\psi ⟩=(AB-BA)\sum _n|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_n|\psi ⟩=0.$$

反之，假设 $A$ 与 $B$ 对易。设 $\alpha$ 为 $A$ 的一个特征值，其特征子空间为 $M_{\alpha }=\{|\psi ⟩|A|\psi ⟩=\alpha |\psi ⟩\}$，并令 $P_{\alpha }$ 为到该子空间的投影算符。若 $|\psi ⟩\in M_{\alpha }$，则 $B|\psi ⟩\in M_{\alpha }$，因为

$$AB|\psi ⟩=BA|\psi ⟩=B\alpha |\psi ⟩=\alpha B|\psi ⟩.$$

因此，对于任意 $|\varphi ⟩\in \mathcal{H}$，我们都有 $B{P}_{\alpha }|\varphi ⟩\in M_{\alpha }$。因此

$$P_{\alpha }B{P}_{\alpha }|\varphi ⟩=B{P}_{\alpha }|\varphi ⟩$$

并且由于$|\varphi ⟩$是任意向量，

$$P_{\alpha }B{P}_{\alpha }=B{P}_{\alpha }.$$

对该方程取伴随，并利用 $B^{\ast }=B,P_{\alpha }=P_{\alpha }^{\ast }$，得到

$$P_{\alpha }B{P}_{\alpha }=P_{\alpha }^{\ast }{B}^{\ast }{P}_{\alpha }^{\ast }=P_{\alpha }^{\ast }{B}^{\ast }=P_{\alpha }B$$

由此可得 $P_{\alpha }B=B{P}_{\alpha }$，算符 $B$ 与所有投影算符 $P_{\alpha }$ 对易。若 $\beta$ 是 $B$ 的任意特征值，其投影映射为 $P_{\beta }$，则由于 $P_{\alpha }$ 是与 $B$ 对易的厄米算符，上述论证表明它与 $P_{\beta }$ 对易。

$$P_{\alpha }{P}_{\beta }=P_{\beta }{P}_{\alpha }.$$

因此，算符 $P_{\alpha \beta }=P_{\alpha }{P}_{\beta }$ 是厄米的且幂等的，利用定理 13.14 可知它是一个投影算符。它所投影到的空间是 $M_{\alpha \beta }=M_{\alpha }\cap M_{\beta }$。两个这样的空间 $M_{\alpha \beta }$ 与 $M_{{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }}$ 显然是正交的，除非 $\alpha ={\alpha }^{\prime }$ 且 $\beta ={\beta }^{\prime }$。为每个 $M_{\alpha \beta }$ 选取一组正交归一基。这些向量的集合是一个完备正交归一集，且完全由 $A$ 与 $B$ 的公共特征向量组成。因为，若 $|\varphi ⟩\ne 0$ 是任意一个与所有 $M_{\alpha \beta }$ 正交的非零向量，则对所有 $\alpha$、$\beta$ 都有 $P_{\alpha }{P}_{\beta }|\varphi ⟩\ne 0$。由于 $A$ 是完备的，这意味着对 $B_{:}$ 的所有特征值 $\beta$ 都有 $P_{\beta }|\varphi ⟩=0$，并且由于 $B$ 是完备的，我们必须有 $|\varphi ⟩=0$——

例 14.1

考虑自旋为 $\frac{1}{2}$ 的电子处于用于测量 $z$ 方向自旋的施特恩–格拉赫装置中。设 ${\sigma }_z$ 为可观测量“$z$ 方向上的自旋”的算符。它只能取两个值——向上或向下。这导致两个特征值 $\pm 1$，而特征向量写作

$${\sigma }_z|+z⟩=|+z⟩,{\sigma }_z|-z⟩=-|-z⟩.$$

因此

$${\sigma }_z=|+z⟩⟨+z|-|-z⟩⟨-z|,I=|+z⟩⟨+z|+|-z⟩⟨-z|,$$

并令$|e_1⟩=|+z⟩,|e_2⟩=|-z⟩$，便得到矩阵分量

$$({\sigma }_z{)}_{ij}=⟨e_1|{\sigma }_z|e_j⟩=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(14.9)}$$

系统的每一个状态都可以写成

$$|\psi ⟩={\psi }_1|+z⟩+{\psi }_2|-z⟩\text{ where }{\psi }_i=⟨e_i|\psi ⟩.$$

表示任意方向上自旋的算符${\sigma }_{\mathbf{n}}$

$$\mathbf{n}=\cos \theta {\mathbf{e}}_z+\sin \theta \cos \varphi {\mathbf{e}}_x+\sin \theta \sin \varphi {\mathbf{e}}_y$$

在不同方向上具有由经典值给出的期望值

$$\begin{array}{l}⟨+z|{\sigma }_{\mathbf{n}}|+z⟩=\cos \theta ,\\ ⟨+x|{\sigma }_{\mathbf{n}}|+x⟩=\sin \theta \cos \varphi ,\\ ⟨+y|{\sigma }_{\mathbf{n}}|+y⟩=\sin \theta \sin \varphi ,\end{array}$$

其中 $|\pm x$ 指沿 $x$ 方向的纯态，${\sigma }_x|\pm x⟩=\pm |\pm x⟩$ 等。

由于 ${\sigma }_{\mathbf{n}}$ 是厄米的且特征值为 ${\lambda }_i=\pm 1$，它关于任意标准正交基的矩阵具有形式

$$({\sigma }_{\mathbf{n}}{)}_{ij}=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \overline{\beta }& \delta \end{array}\right)$$

其中

$$\alpha +\delta ={\lambda }_1+{\lambda }_2=0,\alpha \delta -\beta \overline{\beta }={\lambda }_1{\lambda }_2=-1.$$

因此 $\delta =-\alpha$ 且 ${\alpha }^2=1-|\beta {|}^2$。${\sigma }_{\mathbf{n}}$ 在 $|+z⟩$ 态中的期望值由下式给出

$$⟨+z|{\sigma }_{\mathbf{n}}|+z⟩=({\sigma }_{\mathbf{n}}{)}_{11}=\alpha =\cos \theta$$

使得 $\beta =\sin \theta {\mathrm{e}}^{-ic}$，其中 $c$ 为实数。对于 $\mathbf{n}={\mathbf{e}}_x$ 和 $\begin{array}{r}\mathbf{n}={\mathbf{e}}_y\end{array}$，我们有 $\cos$ $\theta =0$

$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& {\mathrm{e}}^{-ia}\\ {\mathrm{e}}^{ia}& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& {\mathrm{e}}^{-ib}\\ {\mathrm{e}}^{ib}& 0\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(14.10)}$$

态$x$与$y$是${\sigma }_x$与${\sigma }_y$的本征态，具有归一化分量

$$|\pm x⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathrm{e}}^{-ia}}{\pm 1}),|\pm y⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathrm{e}}^{-ib}}{\pm 1}\right)$$

而作为${\sigma }_x$在正交态$y$中的期望值消失

$$⟨+y|{\sigma }_x|+y⟩=\frac{1}{2}\left({\mathrm{e}}^{i(b-a)}+{\mathrm{e}}^{i(a-b)}\right)=\cos (b-a)=0.$$

因此 $b=a+\pi /2$。应用酉算符 $U$

$$U=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{ia}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

结果为$a=0.$，而自旋算符由泡利表示给出

$${\sigma }_x={\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y={\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z={\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(14.11)}$$

对于任意方向上的自旋算符，其期望值为 $⟨+x|{\sigma }_{\mathbf{n}}|+x⟩=$ $\sin$ $\theta$ $\cos$ ${\varphi }_{:}$ 等，由此可直接验证

$${\sigma }_{\mathbf{n}}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta {\mathrm{e}}^{-i\varphi }\\ \sin \theta {\mathrm{e}}^{i\varphi }& -\cos \theta \end{array}\right)=\sin \theta \cos \varphi {\sigma }_x+\sin \theta \sin \varphi {\sigma }_y+\cos \theta {\sigma }_z.$$

随文练习

求 ${\sigma }_{\mathbf{n}}$ 的本征态 $n$ 和 $n$。

量子力学中的无界算符

量子力学框架的一个重要组成部分是对应原理$ple$，它断言每一个经典动力学变量都对应一个量子力学可观测量。这充其量只是一种指导——例如，由于对于像$Q$和$P_5$这样一对非对易算符，没有定义一般函数$f(Q,P)$的自然方式，因此不清楚什么算符对应于经典正则坐标中的广义位置和动量。对于直角笛卡尔坐标$x$、$y$、$z$和动量$p_x=m\dot{x}$等，经验表明，对应于一个一维动力学系统的态希尔伯特空间是$\mathcal{H}=L^2(\mathbb{R})$，而位置和动量算符由下式给出

$$Q\psi (x)=x\psi (x)\text{ and }P\psi (x)=-i\hslash \frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}.$$

这些算符是无界算符，已在第 13 章的例 13.17、13.19 和 13.20 中讨论过。

由于这些算符并非在整个定义域上都有定义，因此最常见的做法是取定义域

$$\begin{array}{l}{D}_Q=\{\psi (x)\in L^2(\mathbb{R})|{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2|\psi (x){|}^2\mathrm{d}x<\infty \},\\ D_P=\{\psi (x)\in L^2(\mathbb{R})|\psi (x)\text{ is differentiable and }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\Vert \frac{\mathrm{d}\psi (x)}{\mathrm{d}x}\Vert }^2\mathrm{d}x<\infty \}.\end{array}$$

这些定义域在 $L^2(\mathbb{R})$ 中是稠密的，因为由例 13.7 中的厄米多项式构造的函数基 ${\varphi }_n(x)$（见式 (13.6)）属于这两个定义域。如例 13.19 所示，算符 $(Q,D_Q)$ 是自伴的，但 $(P,D_P)$ 是一个对称算符，却不是自伴的（见例 13.20）。要使其成为自伴的，必须将其延拓到绝对连续函数的定义域上。

例 14.2

位置算符 $Q$ 在 $L^2(\mathbb{R})$ 中没有特征值和特征函数（见例 13.14）。对于动量算符 $P$，特征值方程为

$$\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}=i\lambda \psi (x)⟹\psi (x)={\mathrm{e}}^{i\lambda x},$$

即使当$\lambda$是实数时，函数$\psi (x)$也不属于$D_P$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|{\mathrm{e}}^{i\lambda x}\right|}^2\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{\infty }1\mathrm{d}x=\infty .$$

对每个实数 $k$，令 ${\epsilon }_k(x)={\mathsf{e}}^{ikx}$，并且

$$⟨{\epsilon }_k|\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-ikx}\psi (x)\mathrm{d}x$$

是 $L^2(\mathbb{R})-$ 上的一个线性泛函；事实上，它是第 12.3 节的傅里叶变换。这个线性泛函可以看作急降试验函数空间 $D_P$ 上的一个缓增分布 ${\epsilon }_k|$。它是一个不对应任何右矢向量的左矢 $|{\epsilon }_k$（这并不违反 里斯 表示定理 13.10，因为定义域 $D_P$ 不是闭子空间 $o{L}^2(\mathbb{R}))$。在量子理论中，人们常常写出可以解释为

$$⟨{\epsilon }_k|P=k⟨{\epsilon }_k|,$$

它们在分布意义下成立，

$$⟨{\epsilon }_k|P|\psi ⟩=k⟨{\epsilon }_k|\psi ⟩\forall \psi \in D_P.$$

其积分形式在允许分部积分时成立，如同对于分布一样，

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-ikx}\left(-i\frac{\mathrm{d}\psi (x)}{\mathrm{d}x}\right)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{\infty }i\frac{{\mathrm{de}}^{-ikx}}{\mathrm{d}x}\psi (x)\mathrm{d}x=k{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-ikx}\psi (x)\mathrm{d}x.$$

类似地，对每个实数 $a$，通过 $⟨{\delta }_a|$ 定义线性泛函 $l\delta$

$$⟨{\delta }_a|\psi ⟩=\psi (a)$$

对于所有右矢 $|\psi ⟩\equiv \psi (x)\in D_{\mathcal{Q}}$。这些也可以视为在急减检验函数集合上的分布。它们表现为位置算符 $Q_i$ 的“本征左矢”

$$⟨{\delta }_a|Q=a⟨{\delta }_a|$$

因为

$$\begin{array}{c}⟨{\delta }_a|Q|\psi ⟩=⟨{\delta }_a|x\psi (x)⟩\\ =a\psi (a)=a⟨{\delta }_a|\psi ⟩\end{array}$$

对于所有 $|\psi ⟩\in D_Q$。虽然在 $L^2(\mathbb{R})$ 中不存在具有 $⟨{\delta }_a|$ 的函数 ${\delta }_a(x)$，但狄拉克狄拉克函数 ${\delta }_a(x)=\delta (x-a)$ 可以认为在分布意义下起到了这一作用（见第12章）。

对于自伴算符 $A$，我们可以应用定理 13.25。设 $E_{\lambda }$ 为由 $A$ 定义的递增投影算符谱族，使得

$$A={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda }\text{ and }I={\int }_{-\infty }^{\infty }\mathrm{d}{E}_{\lambda }.$$

后一个关系由

$$1=⟨\psi |\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }\mathrm{d}⟨\psi |E_{\lambda }\psi ⟩\text{\hspace{1em}(14.12)}$$

对于所有 $\psi \in D_A$

随文练习

证明式（14.12）。

若 $S$ 是 $R$ 的任意可测子集，则当系统处于状态 $|\psi ⟩$ 时，$A$ 的测量值落在 $S$ 中的概率由下式给出

$$P_S(A)={\int }_S\mathrm{d}⟨\psi |E_{\lambda }\psi ⟩.$$

期望值和均方根偏差由下式给出

$$⟨A⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda d⟨\psi |E_{\lambda }\psi ⟩$$

和

$$(\Delta A{)}^2={\int }_{-\infty }^{\infty }(\lambda -⟨A⟩{)}^2\mathrm{d}⟨\psi |E_{\lambda }\psi ⟩.$$

例 14.3

位置算符的谱族定义为“截断算符

$$(E_{\lambda }\psi )(x)=\{\begin{array}{ll}\psi (x)& \text{ if }x\le \lambda ,\\ 0& \text{ if }x>\lambda .\end{array}$$

首先，这些算符是投影算符，因为它们满足幂等性 $(E_{\lambda }^2=E_{\lambda })$ 且是厄米的：

$$⟨\varphi |E_{\lambda }\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\lambda }\overline{\varphi (x)}\psi (x)dx=⟨E_{\lambda }\varphi |\psi ⟩$$

对所有的 $\varphi ,\psi \in L^2(\mathbb{R})$。由于像空间显然递增，它们构成一个递增族，并且 ${\mathbb{E}}_{-\infty }=O,E_{\infty }=I$。函数 $\lambda \mapsto ⟨\varphi |E_{\lambda }\psi ⟩$ 是绝对连续的，因为

$$⟨\varphi |E_{\lambda }\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\lambda }\overline{\varphi (x)}\psi (x)dx$$

并具有关于$\lambda$的广义导数 由下式给出

$$⟨\varphi |E_{\lambda }\psi {⟩}^{\prime }=\overline{\varphi (\lambda )}\psi (\lambda ).$$

因此

$$⟨\varphi |Q\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{\varphi (\lambda )}\lambda \psi (\lambda )d\lambda ={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda d⟨\varphi |E_{\lambda }\psi ⟩,$$

这等价于所求的谱分解

$$Q={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda }.$$

随文练习

证明：对于上一例子中的谱族，对任意 $-\infty \le a<b\le \infty$

$${\int }_a^b\mathrm{d}⟨\psi |E_{\lambda }\psi ⟩={\int }_a^b|\psi (x){|}^2\mathrm{d}x.$$

习题

习题 14.1

对每个方向进行验证

$$\mathbf{n}=\sin \theta \cos \varphi {\mathbf{e}}_x+\sin \theta \sin \varphi {\mathbf{e}}_y+\cos \theta {\mathbf{e}}_z$$

自旋算符

$${\sigma }_{\mathbf{n}}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta {\mathrm{e}}^{-i\varphi }\\ \sin \theta {\mathrm{e}}^{i\varphi }& -\cos \theta \end{array}\right)$$

具有特征值 $\pm 1$。证明在相差一个相位的意义下，特征向量可表示为

$$|+\mathbf{n}⟩=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\cos \frac{1}{2}\theta {\mathrm{e}}^{-i\varphi }}{\sin \frac{1}{2}\theta }),|-\mathbf{n}⟩=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\sin \frac{1}{2}\theta {\mathrm{e}}^{-i\varphi }}{\cos \frac{1}{2}\theta }\right)$$

并计算自旋沿各坐标轴方向的期望值

$$⟨{\sigma }_i{⟩}_{\pm \mathbf{n}}=⟨\pm \mathbf{n}|{\sigma }_i|\pm \mathbf{n}⟩.$$

对于处于纯态 $n$ 的粒子束，证明在 $+x$ 方向测量自旋后，自旋处于该方向的概率为 $\frac{1}{2}(1+\sin \theta \cos \varphi )$

习题 14.2

若 $A$ 和 $B$ 是与泡利自旋矩阵对易的向量可观测量，$[{\sigma }_i,A_j]=[{\sigma }_i,B_j]=0(\mathrm{but}[A_i,B_j]\ne 0$ 一般情形下）证明

$$(\sigma \cdot \mathbf{A})(\sigma \cdot \mathbf{B})=\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}+i(\mathbf{A}\times \mathbf{B})\cdot \sigma$$

其中 $\mathbf{\sigma }=({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)$

习题 14.3

证明以下对易子恒等式：

$$\begin{array}{c}[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0(\text{Jacobi identity})\\ [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B\\ [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]\end{array}$$

习题 14.4

利用习题 14.3 中的恒等式证明以下恒等式：

$$[Q^n,P]=ni\hslash Q^{n-1},$$ $$[Q,P^m]=mi\hslash P^{m-1},$$ $$[Q^n,P^2]=2ni\hslash Q^{n-1}P+n(n-1){\hslash }^2{Q}^{n-2},$$ $$[L_m,Q_k]=i\hslash {ϵ}_{mkj}{Q}_j,[L_m,P_k]=i\hslash {ϵ}_{mkj}{P}_j,$$

其中 $L_m={ϵ}_{mij}{Q}_i{P}_j$ 是角动量算子。

习题 14.5

考虑一维波包

$$\psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{i(xp-p^{2}t/2m)/\hslash }\Psi (p)\mathrm{d}p$$

其中

$$\Psi (p)\propto {\mathrm{e}}^{-(p-p_0{)}^2/2(\Delta p{)}^2}.$$

证明 $|\psi (x,t){|}^2$ 是高斯正态分布，其峰值以速度 $p/m$ 移动，其展宽 $\Delta x$ 随时间增加，且始终满足 $\Delta x\Delta p\ge \hslash /\sqrt{2}$

若一个电子 $(m=9\times 10^{-28}:\mathrm{g})$ 最初处于原子半径 $\Delta x_0=10^{-8}$ $\mathrm{cm}$ 之内，则经过多长时间后 $\Delta x$ 会达到 $\left(\mathrm{a}\right)2\times 10^{-8}$ $\mathrm{cm}$，(b)太阳系的大小（约为 $10^{14}\mathrm{cm})?$