拓扑积 (topological product)

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来源短摘录与定位

§10.4 · zh-CN · translation · unreviewed

集合 $X\times Y$ 上的 积拓扑(product topology) 定义为由这两个映射诱导的拓扑。带有积拓扑的空间 $X\times Y$ 称为 $X$ 与 $Y$ 的 拓扑积(topological product)。它是使得各投影映射连续的最粗拓扑。$X$ 中开集 $U$ 在 ${\mathrm{pr}}_1$ 下的原像是“竖直带”$U\times Y$，而 $Y$ 中开集 $V$ 在 ${\mathrm{pr}}_2$ 下的原像是“水平带”$X\times V$。任意一对这样的带的交集是形如 $U\times V$ 的集合，其中 $U$ 与 $V$ 分别是来自 $X$ 与 $Y$ 的开集（见图 10.4）。由于由竖直带与水平带生成的拓扑由所有这些交集的任意并组成，因此在积拓扑中，子集 $A\subset X\times Y$ 是开集，当且仅当对每一点 $(x,y)\in A$ 都存在开集 $U\in {\mathcal{O}}_X$ 与 $V\in {\mathcal{O}}_Y$，使得 $(x,y)\in U\times V\subseteq A$

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