10.4 诱导拓扑

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诱导拓扑与拓扑积

给定一个拓扑空间 $(X,\mathcal{O})$ 以及一个从任意集合 $Y$ 到 $X$ 的映射 $f:Y\to X$，我们可以问：在 $Y$ 上使该映射连续的最弱拓扑是什么——问最细的这种拓扑是没有意义的，因为如例 10.10 所示，$Y$ 上的离散拓扑总能达到这一目的。这称为由映射 $f$ 诱导的 诱导拓扑(induced topology) $Y$。设 ${\mathcal{O}}_f$ 为 $X$ 的开集的所有逆像构成的族，

$${\mathcal{O}}_f=\{f^{-1}(U)|U\in \mathcal{O}\}.$$

由于要求 $f$ 连续，该集合中的所有成员必须在诱导拓扑中为开集。此外，${\mathcal{O}}_f$ 是 $Y$ 上的一个拓扑，因为 (i) 性质 (Top1) 是平凡的，由于 $\varnothing =f^{-1}(\varnothing )$ 和 $Y=f^{-1}(X);$ (ii) 公理 (Top2) 和 (Top3) 可由

集合论恒等式

$$f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)\text{ and }\bigcup _{i\in I}{f}^{-1}(U_i)=f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}{U}_i\right).$$

因此，${\mathcal{O}}_f$ 是 $Y$ 上的一个拓扑，并且包含于任何使得映射 $f$ 连续的其他拓扑之中。它必定是由映射 $f$ 在 $Y$ 上诱导的拓扑，因为它是此类拓扑中最粗的。

例 10.12

设 $(X,\mathcal{O})$ 为任意拓扑空间，$A$ 为 $X$ 的任意子集。在由自然包含映射 $i_A:A\to X$ 所诱导的 $A$ 上的拓扑中，该映射由 $i_A(x)=x$ 对所有 $x\in A$ 定义，$A$ 的子集 $B$ 是开集当且仅当它是 $A$ 与 $X;$ 的某个开集的交集，即 $B=A\cap U$，其中 $U$ 在 $X$ 中为开集。这正是第 10.2 节中定义的 $A$ 上的相对拓扑。因此，相对拓扑是使包含映射连续的最粗拓扑，定义在 $A$ 上。

更一般地， 对于一族映射 $\{f_i:Y\to X_i|i\in I\}$，其中 $X_i$ 是拓扑空间， 在 $Y$ 上使得所有这些映射都连续的最弱拓扑，称为由这些映射诱导的拓扑。 为构造该拓扑，必须考虑开集的所有逆像所构成的集合 $\mathcal{U}=\{f_i^{-1}(U_i)|U_i\in {\mathcal{O}}_i\}$。 这一集合族本身一般并不是一个拓扑， 由这些集合生成的拓扑将是 $Y$ 上使得每个函数 $f_i$ 都连续的最粗拓扑。

给定两个拓扑空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 和 $(Y,{\mathcal{O}}_Y)$ )，设 ${\mathrm{pr}}_1:X\times Y\to X$ 和 ${\mathrm{pr}}_2:X\times Y\to Y$ 为由下式定义的自然投影映射

$${\mathrm{pr}}_1(x,y)=x\text{ and }{\mathrm{pr}}_2(x,y)=y.$$

集合 $X\times Y$ 上的 积拓扑(product topology) 定义为由这两个映射诱导的拓扑。带有积拓扑的空间 $X\times Y$ 称为 $X$ 与 $Y$ 的 拓扑积(topological product)。它是使得各投影映射连续的最粗拓扑。$X$ 中开集 $U$ 在 ${\mathrm{pr}}_1$ 下的原像是“竖直带”$U\times Y$，而 $Y$ 中开集 $V$ 在 ${\mathrm{pr}}_2$ 下的原像是“水平带”$X\times V$。任意一对这样的带的交集是形如 $U\times V$ 的集合，其中 $U$ 与 $V$ 分别是来自 $X$ 与 $Y$ 的开集（见图 10.4）。由于由竖直带与水平带生成的拓扑由所有这些交集的任意并组成，因此在积拓扑中，子集 $A\subset X\times Y$ 是开集，当且仅当对每一点 $(x,y)\in A$ 都存在开集 $U\in {\mathcal{O}}_X$ 与 $V\in {\mathcal{O}}_Y$，使得 $(x,y)\in U\times V\subseteq A$

图 10.4 两个拓扑空间的乘积

给定任意一族集合 $\{X_i\mid i\in I\}$ ，它们的笛卡尔积 $P={\prod }_{i\in I}{X}_i$ 定义为满足对每个 $i\in I$ 均有 $f(i)\in X_i$ 的映射 $f:I\to {\bigcup }_i{X}_i$ 的集合。对于有限个集合，取 $I=\{1,2,\dots ,n\}$ ，此概念与由 $X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$ 构成的 $n-$ 元组的集合相同。$P$ 上的积拓扑是由投影映射 ${\mathrm{pr}}_i:P\to X_i$ 诱导的拓扑，其中 ${\mathrm{pr}}_i(f)=f(i)$ 定义该投影映射。此拓扑比由所有形如 ${\Pi }_{i\in I}{U}_i$ 的集合生成的拓扑更粗，其中 $U_i$ 是 $X_i$ 的开子集。

例 10.13

设 $S^1$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 中由 $x^2+y^2=1$ 定义的单位圆，并赋予相对拓扑。乘积空间 $S^1\times S^1$ 同胚于 环面(torus) $T^2$，或称“甜甜圈”，其拓扑由它作为 ${\mathbb{R}}^3$ 的子集的嵌入诱导得到。这可以通过将 $S^1$ 嵌入 ${\mathbb{R}}^3$ 的 $z=0$ 平面，并在 $S^1$ 上的每一点处附着一个朝外的竖直单位圆来看出。当这些竖直圆沿水平圆“扫过”时，所得出的圆显然是一个环面。

以下是一个偶尔有用的定理。

定理 10.3 · 积空间中截面映射的连续性 (Continuity of slice inclusions into a product space)

若 $X$ 与 $Y$ 是拓扑空间，则对每个点 $x\in X$，由 ${\iota }_x(y)=(x,y)$ 定义的单射映射 ${\iota }_x:Y\to X\times Y$ 是连续的。类似地，由 ${\iota }_y^{\prime }(x)=(x,y)$ 定义的映射 ${\iota }_y^{\prime }:X\to X\times Y$ 也是连续的。

证明

设 $U$ 和 $V$ 分别为 $X$ 和 $Y$ 的开子集。那么

$$({\iota }_x{)}^{-1}(U\times V)=\{\begin{array}{ll}V& \text{ if }x\in U,\\ \varnothing & \text{ if }x\notin U.\end{array}$$

由于积拓扑中 $U\times V$ 的每个开子集都是形如 $U\times V,$ 的集合的并集，因此 $X\times Y$ 中每个开集在 ${\iota }_x$ 下的逆像都是 $Y$ 的开子集。因此映射 ${\iota }_x$ 是连续的。类似地，映射 ${\iota }_y^{\prime }$ 也是连续的。

通过粘合得到的拓扑

我们也可以反转上述情形。设 $(X,\mathcal{O})$ 为拓扑空间，而 $f:X\to Y$ 为从 $X$ 到任意集合 $Y$ 的满射。此时，由 $f$ 在 $Y$ 上诱导的拓扑定义为使 $f$ 连续的最细拓扑。该拓扑由所有子集 $U\subseteq Y$ 组成，使得 $f^{-1}(U)$ 在 $X;$ 中为开集，即 ${\mathcal{O}}_Y=\{f^{-1}(U)|U\in \mathcal{O}\}$

随文练习

证明 ${\mathcal{O}}_Y$ 是 $Y.$ 上的一个拓扑

随文练习

证明 ${\mathcal{O}}_Y$ 是使 $f$ 连续的最强拓扑。

图 10.5 通过将正方形的对边粘合构造环面

这种诱导拓扑的一个常见实例出现在拓扑空间 $X$ 上定义了一个等价关系 $E$ 的时候。设 $[x]=\{y\mid yEx\}$ 为包含点 $x\in X$ 的等价类。在商空间 $X/E=\{[x]|x\in X\}$ 中，定义从 $X$ 到 粘合拓扑(identification topology) 的拓扑为由自然映射 $i_E:X\to X/E$ 诱导的拓扑，该映射将每个点 $x\in X$ 对应于它所属于的等价类 $i_E(x)=[x]$。在此拓扑中，子集 $A$ 是开集当且仅当其逆像 $i_E^{-1}(A)=\{x\in X\mid [x]\in \begin{array}{r}A\}={\bigcup }_{[x]\in A}[x]\end{array}$ 是 $X$ 的开子集。也就是说，等价类的子集 $A=\{[x]\}$ 在 $X/E$ 上的粘合拓扑中是开集，当且仅当属于 $A$ 的集合 $[x]$ 的并集是 $X$ 的开子集。

随文练习

请直接由最后一条陈述验证：该拓扑在 $X/E$ 上满足公理 (Top1)–(Top3)。

例 10.14

如例 1.4 中那样，若平面 ${\mathbb{R}}^2$ 中两点 $(x,y)$ 与 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 的坐标相差整数，则称这两点等价，

$$(x,y)\equiv (x^{\prime }{y}^{\prime })\text{ iff }x-x^{\prime }=n,y-y^{\prime }=m(n,m\in \mathbb{Z}).$$

通过粘合得到的空间 ${\mathbb{R}}^2/\equiv$ 上的拓扑可以想象为单位正方形将相对边粘合在一起（见图 10.5）。要理解这是环面 $T^2$ 的一种表示，可考虑一块正方形橡胶片。将边 $AD$ 与 $BC$ 粘合，等价于把这两条边连接起来形成一个圆柱面。而将 $AB$ 与 $CD$ 粘合，此时则等价于把圆柱面顶部和底部的圆形边缘粘合起来。在三维中，这需要弯曲圆柱面，直到顶部和底部连接起来，形成轮胎的内胎——记住，对于拓扑变换而言，距离或度量性质不必保持不变。类似地，$n$-环面 $T^n$ 可以定义为由 $R^n$ 上相应的等价关系通过粘合得到的拓扑空间，其中若点的坐标相差整数，则这些点等价。

例 10.15

设 ${\dot{\mathbb{R}}}^3={\mathbb{R}}^3-\{0\}$ 为实数非零三元组之集合，并赋予其 ${\mathbb{R}}^3$ 中的相对拓扑。在 ${\dot{\mathbb{R}}}^3$ 上定义等价关系如下：$(x,y,z)\equiv (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ 当且仅当存在实数 $\lambda \ne 0$，使得 $x=\lambda x^{\prime },y=\lambda y^{\prime }$ 且 $z=\lambda z^{\prime }$。商空间 $P^2={\dot{\mathbb{R}}}^3/\equiv$ 称为 实射影平面(real projective plane)。

每个等价类 $[(x,y,z)]$ 都是一条过原点的直线，它与单位 2-球面 $S^2$ 交于两个对径点。在 $S^2$ 上定义等价关系，将对径点等同起来，$(x,y,z)\sim (-x,-y,-z)$ )，其中 $x^2+y^2+z^2=1$。由 ${\dot{\mathbb{R}}}^3$ 通过等同得到的 $P^2$ 上的拓扑，因此与将对径点等同后的 2-球面 $S^2$ 的拓扑相同。

推广地，我们定义 实射影空间(real projective space) $n$-空间 $P^n$ 为 ${\dot{\mathbb{R}}}^{n+1}/\equiv$，其中 $(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1})\equiv (x_1^{\prime },x_2^{\prime },\dots ,x_{n+1}^{\prime })$ 当且仅当存在 $\lambda \ne 0$ 使得 $x_1=\lambda x_1^{\prime }{x}_2=\lambda x_2^{\prime },...,x_{n+1}=\lambda x_{n+1}^{\prime }$。此空间可视为 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中所有过原点的直线的集合。$P^n$ 的拓扑与 $n$-球面 $S^n$ 将相对点等同后的拓扑同胚。

习题

习题 10.12

若 $f:X\to Y$ 是拓扑空间之间的连续映射，我们定义其图像为集合 $G=\{(x,f(x))|x\in X\}\subseteq X\times Y$。证明：若 $G$ 被赋予由拓扑积 $X\times Y$ 诱导的相对拓扑，则它与拓扑空间 $X.$ 同胚。

习题 10.13

设 $X$ 和 $Y$ 为拓扑空间，$f:X\times Y\to X$ 为连续映射。对每个固定的 $a\in X$，证明由 $f_a(y)=f(a,y)$ 定义的映射 $f_a:Y\to X$ 是连续的。