关于测度可积的函数 (integrable function)

§11.3: integrability of positive and negative parts with respect to a measure.

别名：integrable；可积

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证明

若 $f(x)=0a.e.$ ，则令 $\begin{array}{r}h={\sum }_i{a}_i{\chi }_{A_i}\ge 0\end{array}$ 为一简单函数，使得 $h\le f$ 每个集合 $A_i$ 的测度必为零，否则 $f(x)>0$ 在一个正测度集合上。因此 $\int f\mathrm{d}\mu =\sup \int h\mathrm{d}\mu =0.$

反之，假设 $\int f\mathrm{d}\mu =0$ 。令 $E_n=\{x\mid f(x)\ge 1/n\}$ 。这些构成一列递增的可测集， $E_{n+1}\supset E_n$ ，且

$$f\ge \frac{1}{n}{\chi }_{A_n}.$$

因此

$$\int \frac{1}{n}{\chi }_{A_n}\mathrm{d}\mu =\frac{1}{n}\mu (A_n)\le \int f\mathrm{d}\mu =0,$$

这只有在 $\mu (A_n)=0$ 时才可能。由定理 11.3 可得

$$\mu (\{x\mid f(x)>0\})=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mu \left(A_n\right)=0.$$

因此 $f(x)=0$ 几乎处处成立。

积分可推广到取正值或负值的实值函数。若可测函数 $f$ 的正部与负部 $f^{+}$ 与 $f^{-}$ 均关于测度 $\mu$ 可积，则称该函数关于该测度 可积(integrable)。此时 $f$ 的积分定义为

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• href=“02-measure-spaces#theorem-11-3”

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