内积空间的自伴条件（练习） (self-adjoint condition in an inner product space)

§5.2 exercise states the inner-product identity; no unbounded-operator domain equality is asserted by this index.

别名：self-adjoint operator；自伴算符

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来源短摘录与定位

§5.2 · zh-CN · translation · unreviewed

习题 5.12

若 $V$ 是内积空间， 一个算符$K:V\to V$称为自伴算符(self-adjoint operator)，如果

$$⟨u|Kv⟩=⟨Ku|v⟩$$

对任意一对向量 $u$、$v\in V$。设 $\{e_i\}$ 为任意基，具有 $⟨e_i\mid e_j⟩=h_{ij}$，并令 $K{e}_k=$ $K_k^j{e}_j$。证明：若 $\mathsf{H}=[h_{ij}]$ 且 $\mathsf{K}=[K_j^k]$，则

$$\mathsf{HK}={\mathsf{K}}^{†}\mathsf{H}=(\mathsf{HK}{)}^{†}.$$

若 $\left\{e_i\right\}$ 是一组标准正交基，证明 $K$ 是埃尔米特矩阵。

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• href=“#problem-5-12”

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