乘法算符 (multiplication operator)

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来源短摘录与定位

§13.4 · zh-CN · translation · unreviewed

例 13.9

$\alpha$是测度空间$X$上的平方可积函数构成的希尔伯特空间$L^2(X)$上的有界可测函数，乘法算符(multiplication operator)$A_{\alpha }:L^2(X)\to L^2(X)$，定义成$A_{\alpha }(f)=\alpha f$是一个有界线性算符，因为$\alpha f$对于每个$f\in L^2(X)$，而且是平方可积的因为

$$|\alpha f{|}^2\le M^2|f{|}^2\text{ 其中 }M=\underset{x\in X}{\sup }|\alpha (x)|.$$

乘法算符在$L^2(X)$空间上是良定义的，因为$f$和$f^{\prime }$几乎处处相等，$f\sim f^{\prime }$于是$\alpha f\sim \alpha f^{\prime }$，于是我们用$A_{\alpha }f$来代替$A_{\alpha }[f]$并无歧义，线性性显然，而有界性源于

$${\Vert A_{\alpha }f\Vert }^2={\int }_X|\alpha f{|}^2\mathrm{d}\mu \le M^2{\int }_X|f{|}^2\mathrm{d}\mu =M^2\Vert f{\Vert }^2$$

§13.4 · en · original_transcription · unreviewed

Example 13.9

Let $\alpha$ be any bounded measurable function on the Hilbert space $L^2(X)$ of square integrable functions on a measure space $X$. The multiplication operator $A_{\alpha }:L^2(X)\to L^2(X)$ defined by $A_{\alpha }(f)=\alpha f$ is a bounded linear operator, for $\alpha f$ is measurable for every $f\in L^2(X)$ , and it is square integrable since

$$|\alpha f{|}^2\le M^2|f{|}^2\text{ where }M=\underset{x\in X}{\sup }|\alpha (x)|.$$

The multiplication operator is well-defined on $L^2(X)$ , for if $f$ and $f^{\prime }$ are equal almost everywhere, $f\sim f^{\prime }$ , then $\alpha f\sim \alpha f^{\prime }$ ; thus there is no ambiguity in writing $A_{\alpha }f$ for $A_{\alpha }[f]$ Linearity is trivial, while boundedness follows from

$$\Vert A_{\alpha }f{\Vert }^2={\int }_X|\alpha f{|}^2\mathrm{d}\mu \le M^2{\int }_X|f{|}^2\mathrm{d}\mu =M^2\Vert f{\Vert }^2.$$

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

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