13.4 有界线性算符

English

令$V$是任意赋范向量空间。线性算符$A:V\to V$如果满足对某常数$K\ge 0$和全体$u\in V$有

$$\Vert Au\Vert \le K\Vert u\Vert$$

则称为有界的(bounded)

定理 13.11 · 线性算符的有界性与连续性 (Boundedness and continuity of linear operators)

一个赋范向量空间上的线性算子是有界的当且仅当其依范数拓扑连续

证明

如果$A$是有界的那么也是连续的，因为对$ϵ>0$，任意一对向量$u,v$使得$\Vert u-v\Vert <ϵ/K$

$$\Vert Au-Av\Vert =\Vert A(u-v)\Vert \le K\Vert u-v\Vert <ϵ.$$

反过来，令$A$是$V$上的连续算符，如果$A$不是有界的，那么对每个$N>0$存在$u_N$使得$\Vert A{u}_N\Vert \ge N\Vert u_N\Vert$，设

$$w_N=\frac{u_N}{N\Vert u_N\Vert }$$

于是

$$\Vert w_N\Vert =\frac{1}{N}\to 0$$

因此$w_N\to 0$,但是$\Vert A{w}_N\Vert \ge 1$，所以$A{w}_N$肯定不趋于$0$，和原假设矛盾，于是$A$连续

有界算符的算符范数(operator norm)定义成

$$\Vert A\Vert =\sup \{\Vert Au\Vert \mid \Vert u\Vert \le 1\}$$

由定理13.11可知，$A$在$x=0$点连续，因此存在$ϵ>0$使得$\Vert Ax\Vert \le 1$，对全体$\Vert x\Vert \le ϵ$，对任意$\Vert u\Vert \le 1$令$v=ϵu$使得$\Vert v\Vert \le ϵ$且

$$\Vert Au\Vert =\frac{1}{ϵ}\Vert Av\Vert \le \frac{1}{ϵ}$$

这表明总对一个有界算子而言$\Vert A\Vert$总存在。

例 13.8

在${\ell }^2$上的定义两个平移算符 $S$和$S^{\prime }$

$$S\left(\left(x_1,x_2,x_3,\dots \right)\right)=\left(0,x_1,x_2,\dots \right)$$

和

$$S^{\prime }\left(\left(x_1,x_2,x_3,\dots \right)\right)=\left(x_2,x_3,\dots \right)$$

这些算子显然线性，而且满足

$$\Vert Sx\Vert =\Vert x\Vert \text{和}\Vert S^{\prime }x\Vert \le \Vert x\Vert$$

所以$S$的范数是$1$，而$S^{\prime }$的范数也是$1$，因为$x_1=0$时等式依然成立。

例 13.9

$\alpha$是测度空间$X$上的平方可积函数构成的希尔伯特空间$L^2(X)$上的有界可测函数，乘法算符(multiplication operator)$A_{\alpha }:L^2(X)\to L^2(X)$，定义成$A_{\alpha }(f)=\alpha f$是一个有界线性算符，因为$\alpha f$对于每个$f\in L^2(X)$，而且是平方可积的因为

$$|\alpha f{|}^2\le M^2|f{|}^2\text{ 其中 }M=\underset{x\in X}{\sup }|\alpha (x)|.$$

乘法算符在$L^2(X)$空间上是良定义的，因为$f$和$f^{\prime }$几乎处处相等，$f\sim f^{\prime }$于是$\alpha f\sim \alpha f^{\prime }$，于是我们用$A_{\alpha }f$来代替$A_{\alpha }[f]$并无歧义，线性性显然，而有界性源于

$${\Vert A_{\alpha }f\Vert }^2={\int }_X|\alpha f{|}^2\mathrm{d}\mu \le M^2{\int }_X|f{|}^2\mathrm{d}\mu =M^2\Vert f{\Vert }^2$$

随文练习

如果$A,B$都是赋范空间上的有界线性算符，证明$A+\lambda B$和$AB$也是有界的。

对一个有界算符$A:V\to V$而言，如果存在$A^{-1}:V\to V$，使得$A{A}^{-1}=A^{-1}A={\mathrm{id}}_V$，那么$A$称为可逆的(invertible)，$A^{-1}$称为$A$的逆(inverse)，显而易见是唯一的，因为如果$BA=CA$，那么$B=BI=BA{A}^{-1}=CA{A}^{-1}=C$。我们需要指明的是，$A^{-1}$既是一个左逆又是一个右逆。例如在${\ell }^2$中，在例13.8中的平移算符$S$就只有左逆$S^{\prime }$，因为$S^{\prime }S=I$，但是这不是其右逆因为$S{S}^{\prime }(x_1,x_2,x_3,\dots )=(0,x_2,x_3,\dots )$，那么$S$就不是一个可逆算符，尽管它是一个等距的单射，$\Vert Sx\Vert =\Vert x\Vert$，对于有限维空间这已经足够保证可逆性了。

定理 13.12 · 诺伊曼级数与算符求逆 (Neumann series and operator inversion)

$A$是巴拿赫空间$V$上的有界算符，$\Vert A\Vert <1$，那么算符$I-A$可逆，而且有

$$(I-A{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{A}^n$$

证明

设 $x$ 为 $V$ 中的任意向量。由于 $\Vert A^{k}x\Vert \le \Vert A\Vert (A^{k-1}x)$，通过简单归纳可知 $A^k$ 有界且范数为 $\Vert A^k\Vert \le (\Vert A\Vert {)}^k$。向量 $u_n=(I+A+$ $A^2+\cdots +A^n)x$ 构成柯西序列，因为

$$\begin{array}{l}\Vert u_n-u_m\Vert =\Vert (A^{m+1}+\cdots +A^n)x\Vert \\ \le (\Vert A{\Vert }^{m+1}+\cdots +\Vert A{\Vert }^n)\Vert x\Vert \\ \le \frac{\Vert A{\Vert }^{m+1}}{1-\Vert A\Vert }\Vert x\Vert \\ \to 0\text{ as }m\to \infty .\end{array}$$

由于 $V$ 是巴拿赫空间，对某个 $u\in V$ 有 $u_m\to u$，因此存在线性算符 $T:V\to V$ 使得 $u=Tx$。此外，由于 $T-(I+A+\cdot \cdot \cdot +A^n)$ 是有界线性算符，可知 $T$ 有界。记 $T={\sum }_{k=1}^{\infty }{A}^k$，其意义是

$$\underset{m\to \infty }{\lim }\left(T-\sum _{k=1}^m{A}^k\right)x=0,$$

容易验证 $(I-A)Tx=T(I-A)x=x$，这表明 $T=$ $(I-A{)}^{-1}$ -

伴随算符

$A:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$是希尔伯特空间$\mathcal{H}$上的有界线性算符，我们定义其伴随(adjoint)是算符$A^{\ast }:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$，而且有性质

$$⟨u\mid Av⟩=⟨A^{\ast }u\mid v⟩\text{对全体}u,v\in \mathcal{H}\text{\hspace{1em}(13.9)}$$

证明

对于固定的 $u$，利用引理 13.3 可知，映射 ${\phi }_u:v\mapsto ⟨u\mid Av⟩$ 显然是线性且连续的。因此 ${\phi }_u$ 是线性泛函，并且由 里斯表示定理，存在唯一元素 $A\ast u\in \mathcal{H}$，使得

$$⟨A^{\ast }u\mid v⟩={\phi }_u(v)=⟨u\mid Av⟩.$$

映射 $u\mapsto A\ast u$ 是线性的，因为对于任意向量 $v$

$$\begin{array}{rl}⟨A^{\ast }(u+\lambda w)|v⟩& =⟨u+\lambda w|Av⟩\\ & =⟨u|Av⟩+\overline{\lambda }⟨w|Av⟩\\ & =⟨A^{\ast }u+\lambda A^{\ast }w|v⟩.\end{array}$$

为证明线性算符$A^{\ast }$是有界的，设$u$为任意向量，

$$\begin{array}{rl}& \Vert A^{\ast }u{\Vert }^2=|⟨A^{\ast }u|A^{\ast }u⟩|\\ & =|⟨u|A{A}^{\ast }u⟩|\\ & \le \Vert u\Vert \Vert A{A}^{\ast }u\Vert \\ & \le \Vert A\Vert \Vert u\Vert \Vert A^{\ast }u\Vert .\end{array}$$

因此，或者 $A^{\ast }u=0$，或者 $\Vert A^{\ast }u\Vert \le \Vert A\Vert \Vert u\Vert$。无论哪种情形，都有 $\Vert A^{\ast }u\Vert \le \Vert A\Vert \Vert u\Vert$

这个算符是良定义、线性且有界的。

定理 13.13 · 伴随算符的代数性质 (Algebraic properties of adjoint operators)

伴随算符满足下列性质

• $(A+B{)}^{\ast }=A^{\ast }+B^{\ast }$,

• $(\lambda A{)}^{\ast }=\bar{\lambda }{A}^{\ast }$,

• $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$,

• $A^{\ast \ast }=A$,

• 若 $A$ 是可逆的 ${\left(A^{-1}\right)}^{\ast }={\left(A^{\ast }\right)}^{-1}$.

证明

我们给出(i)和(ii)的证明，将其余的留作练习。

(i) 对任意的 $u,v\in \mathcal{H}$

$$\begin{array}{c}⟨(A+B{)}^{\ast }u|v⟩=⟨u|(A+B)v⟩=⟨u|Av+Bv⟩\\ =⟨u|Av⟩+⟨u|Bv⟩=⟨A^{\ast }u|v⟩+⟨B^{\ast }u|v⟩=⟨A^{\ast }u+B^{\ast }u|v⟩.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.10)}$$

$\mathrm{As}⟨w\mid v⟩=⟨w^{\prime }\mid v⟩$ 对所有 $v\in \mathcal{H}$ 成立蕴含 $w=w^{\prime },$，我们有

$$(A+B{)}^{\ast }u=A^{\ast }u+B^{\ast }u.$$

(ii) 对于任意一对向量 $u$、$v\in \mathcal{H}$

$$\begin{array}{c}⟨(\lambda A{)}^{\ast }u|v⟩=⟨u|\lambda Av⟩=\lambda ⟨u|Av⟩\\ =\lambda ⟨A^{\ast }u|v⟩=⟨\overline{\lambda }{A}^{\ast }u|v⟩.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.11)}$$

(iii)–(v)的证明思路类似。

例 13.10

${\ell }^2$上的右平移算符$S$诱导出内积

$$⟨x\mid Sy⟩=\overline{x_1}\cdot 0+\overline{x_2}{y}_1+\overline{x_3}{y}_2+\cdots =⟨S^{\prime }x\mid y⟩,$$

其中$S^{\prime }$是左平移，因此，$S^{\ast }=S^{\prime }$，同样$S^{{}^{\prime }\ast }=S$,因为

$$⟨x\mid S^{\prime }y⟩=\overline{x_1}{y}_2+\overline{x_2}{y}_3+\cdots =⟨Sx\mid y⟩,$$

例 13.11

$\alpha$是测度空间$X$上的平方可积函数构成的希尔伯特空间$L^2(X)$上的有界可测函数，乘法算符$A_{\alpha }:L^2(X)\to L^2(X)$，定义成13.9那样。 对任意一对在$X$上平方可积的函数$f,g$而言 , 方程$⟨A_{\alpha }^{\ast }f\mid g⟩=⟨f\mid A_{\alpha }g⟩$ 写成

$${\int }_X\overline{A_{\alpha }^{\ast }f}g\mathrm{d}\mu ={\int }_X\bar{f}{A}_{\alpha }g\mathrm{d}\mu ={\int }_X\bar{f}\alpha g\mathrm{d}\mu$$

因为$g$是${\mathcal{L}}^2(X)$中的任意函数，我们有 $\overline{A_{\alpha }^{\ast }f}=\alpha \bar{f}$ a.e.， $L^2(X)$ 中的每一项等价类函数的伴随算符写成

$$A_{\alpha }^{\ast }[f]=[\bar{\alpha }f].$$

所以函数的乘法算符的伴随算符是其复共轭函数的乘法算符。

我们定义$\mathcal{H}$中向量$v$和$u$之间的算符$A$的矩阵元是$⟨u\mid Av⟩$，如果希尔伯特空间可分而且$e_i$是一组正交标准基，由定理13.2，我们可以写

$$A{e}_j=\sum _i{a}_{ij}{e}_i\text{ 其中 }{a}_{ij}=⟨e_i\mid A{e}_j⟩.$$

因此，基向量之间的算子的矩阵元素与该算子的矩阵关于该基的分量相同, $\mathrm{A}=\left[a_{ij}\right]$. 伴随算符有分解

$$A^{\ast }{e}_j=\sum _i{a}_{ij}^{\ast }{e}_i\text{ 其中 }{a}_{ij}^{\ast }=⟨e_i\mid A^{\ast }{e}_j⟩.$$

矩阵元素 $\left[a_{ij}^{\ast }\right]$ 和$\left[a_{ij}\right]$ 之间的关系由

$$a_{ij}^{\ast }=⟨e_i\mid A^{\ast }{e}_j⟩=⟨A{e}_i\mid e_j⟩=\overline{⟨e_j\mid A{e}_i⟩}=\overline{a_{ji}},$$

所决定，或用矩阵符号

$${\mathrm{A}}^{\ast }\equiv \left[a_{ij}^{\ast }\right]=\left[\overline{a_{ji}}\right]=\overline{{\mathrm{A}}^T}={\mathrm{A}}^{†}$$

在量子力学中，伴随算子通常使用共轭转置记号 $A^{†}$ , 但是这种与复伴随矩阵的等价性只有在正交基的情形下才适用。

随文练习

证明在一组正交标准基下 $Au={\sum }_i{u}_i^{\prime }{e}_i$其中 $u={\sum }_i{u}_i{e}_i$ 和 $u_i^{\prime }={\sum }_j{a}_{ij}{u}_j$

厄米算符

若算符$A$满足$A=A^{\ast }$，则称为厄米的(hermitian)， 于是

$$⟨u\mid Av⟩=⟨A^{\ast }u\mid v⟩=\overline{⟨v\mid A^{\ast }u⟩}=⟨Au\mid v⟩.$$

如果$\mathcal{H}$ 是可分的而且 $e_1,e_2,\dots$ 是一个完备正交标准集， 那么在这组基下的矩阵元$a_{ij}=⟨e_i\mid A{e}_j⟩$，具有厄米性

$$a_{ij}=\overline{a_{ji}}.$$

换句话说，一个算符$A$是厄米的当且仅当其按照任何正交标准基展开是厄米的

$$A=\left[a_{ij}\right]=\overline{A^T}=A^{†}$$

这些算符有时也称为自伴的，但根据现代的用法，我们将使用这个术语“自伴”来表示第13.6节中定义的更一般的概念。

令$M$ 是$\mathcal{H}$ 的一个闭子空间，则由定理13.8, 任意$u\in \mathcal{H}$ 有唯一分解

$$u=u^{\prime }+u^{\prime \prime }\text{ 其中 }{u}^{\prime }\in M,u^{\prime \prime }\in M^{\perp }.$$

我们定义投影算符(projection operator) $P_M:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 为 $P_M(u)=u^{\prime }$，它把 $\mathcal{H}$ 中的每个向量映到子空间 $M$ 中的正交投影。

定理 13.14 · 正交投影与幂等厄米算符 (Orthogonal projections and idempotent Hermitian operators)

对每个子空间$M$，投影算符$P_M(u)$是有界厄米算符而且满足$P_M^2=P_M$（称为幂等算符(idempotent operator)）；反过来任意幂等厄米算符 $P$可以与某子空间上的投影算符对应。

证明

1. $P_M$ 是厄米的。对于来自 $u,v\in \mathcal{H}$ 的任意两个向量

$$⟨u|P_{M}v⟩=⟨u|v^{\prime }⟩=⟨u^{\prime }+u^{\prime \prime }|v^{\prime }⟩=⟨u^{\prime }|v^{\prime }⟩$$

因为$⟨u^{\prime \prime }|{\mathbf{v}}^{\prime }⟩=0$。类似地，

$$⟨P_{M}u|v⟩=⟨u^{\prime }|v⟩=⟨u^{\prime }|v^{\prime }+v^{\prime \prime }⟩=⟨u^{\prime }|v^{\prime }⟩.$$

因此 $P_M=P_M^{\ast }$

2. $P_M$ 有界，因为 $\Vert P_{M}u{\Vert }^2\le \Vert u{\Vert }^2$

$$\Vert u{\Vert }^2=⟨u|u⟩=⟨u^{\prime }+u^{\prime \prime }|u^{\prime }+u^{\prime \prime }⟩=⟨u^{\prime }|u^{\prime }⟩+⟨u^{\prime \prime }|u^{\prime \prime }⟩\ge \Vert u^{\prime }{\Vert }^2.$$

3. $P_M$ 是幂等的，因为 $u^{\prime }\in M$，所以 $P_M^{2}u=P_M{u}^{\prime }=u^{\prime }$。因此 $P_M^2=P_M$

4. 设 $P$ 是厄米且幂等的，$P^2=P$ 。算符 $P$ 有界，因而连续，因为由柯西–施瓦茨不等式（5.13），

$$\Vert Pu{\Vert }^2=|⟨Pu|Pu⟩|=|⟨u|P^{2}u⟩|=|⟨u|Pu⟩|\le \Vert u\Vert \Vert Pu\Vert .$$

因此，要么 $\Vert Pu\Vert =0\mathrm{or}\Vert Pu\Vert \le \Vert u\Vert$

令 $M=\{u:|:u=Pu\}$。这显然是 $\mathcal{H}$ 的一个向量子空间。它由 $P$ 的连续性而封闭，因为若 $u_n\to u$ 且 $P{u}_n=u_n$，则 $P{u}_n\to Pu={\lim }_{n\to \infty }{u}_n=u$。因此 $M$ 是 $\mathcal{H}$ 的子空间。对任意向量 $v\in \mathcal{H}$，令 ${\mathbf{v}}^{\prime }=P\mathbf{v}$ 和 $v^{\prime \prime }=(I-P)v=v-v^{\prime }$。则 $\mathbf{v}={\mathbf{v}}^{\prime }+{\mathbf{v}}^{\prime \prime }$ 且 $v^{\prime }\in M,v^{\prime \prime }\in M^{\perp }$，因为

$$P{v}^{\prime }=P(Pv)=P^{2}v=Pv=v^{\prime },$$

且对于所有 $w\in M$

$$⟨v^{\prime \prime }|w⟩=⟨(I-P)v|w⟩=⟨v|w⟩-⟨Pv|w⟩=⟨v|w⟩-⟨v|Pw⟩=⟨v|w⟩-⟨v|w⟩=0.$$

酉算符

算符$U:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 若满足

$$⟨Uu\mid Uv⟩=⟨u\mid v⟩\text{ 对全体}u,v\in \mathcal{H}.$$

则称为酉的(unitary) 因为这暗示着 $⟨U^{\ast }Uu\mid v⟩=⟨u\mid v⟩$, 算符$U$ 是酉的当且仅当 $U^{-1}=U^{\ast }$. 每个酉算符都是等距的(isometric), $\Vert Uu\Vert =\Vert u\Vert$，对于所有 $u\in \mathcal{H}$-它保证两个向量间的距离 $d(u,v)=\Vert u-v\Vert$ 不变。反过来，每个等距算符都是酉的, 因为若$U$等距则

$$⟨U(u+v)\mid U(u+v)⟩-i⟨U(u+iv)\mid U(u+iv)⟩=⟨u+v\mid u+v⟩-i⟨u+iv\mid u+iv⟩.$$

两边展开，用$⟨Uu\mid Uu⟩=⟨u\mid u⟩$ 和$⟨Uv\mid Uv⟩=⟨v\mid v⟩$代入，得

$$2⟨Uu\mid Uv⟩=2⟨u\mid v⟩.$$

如果$\left\{e_1,e_2,\dots \right\}$ 是一组正交标准基那么

$$e_1^{\prime }=U{e}_1,e_2^{\prime }=U{e}_2,\dots$$

也是，因为

$$⟨e_i^{\prime }\mid e_j^{\prime }⟩=⟨U{e}_i\mid U{e}_j⟩=⟨U^{\ast }U{e}_i\mid e_j⟩=⟨e_i\mid e_j⟩={\delta }_{ij}$$

反过来，对于任意一对完备正交标准集$\left\{e_1,e_2,\dots \right\}$ 和$\left\{e_1^{\prime },e_2^{\prime },\dots \right\}$而言， 算符 $U{e}_i=e_i^{\prime }$ 是酉的，因为若$u$ 是任意矢量 ,由定理13.2,

$$u=\sum _i{u}_i{e}_i\text{其中}{u}_i=⟨e_i\mid u⟩$$

因此

$$Uu=\sum _i{u}_{i}U{e}_i=\sum _i{u}_i{e}_i^{\prime }$$

给出

$$u_i=⟨e_i\mid u⟩=⟨e_i^{\prime }\mid Uu⟩$$

帕塞瓦尔恒等式( 13.7) 可以应用在原基上,

$$\begin{array}{rl}⟨Uu\mid Uv⟩& =\sum _i⟨Uu\mid e_i^{\prime }⟩⟨e_i^{\prime }\mid Uv⟩\\ & =\sum _i\overline{u_i}{v}_i\\ & =\sum _i⟨u\mid e_i⟩⟨e_i\mid v⟩\\ & =⟨u\mid v⟩\end{array}$$

这就证明了 $U$ 是酉算符。

随文练习

证明酉算符$U$满足$\Vert U\Vert =1$

随文练习

证明$L^2(X)$上的乘法算符$A_{\alpha }$是酉的当且仅当对所有$x\in X$有$|\alpha (x)|=1$

习题

习题 13.14

有界线性算符 $\varphi :\mathcal{H}\to \mathbb{C}$ 的范数 $\Vert \varphi \Vert$ 定义为所有 $M$ 的最大下界，使得对所有 $u\in \mathcal{H}.\mathrm{If}\varphi (u)=⟨v|u⟩$ 都有 $|\varphi (u)|\le M\Vert u\Vert$，证明 $\Vert \varphi \Vert =\Vert v\Vert$。由此证明有界线性泛函的范数满足平行四边形法则。

$$\Vert \varphi +\psi {\Vert }^2+\Vert \varphi -\psi {\Vert }^2=2\Vert \varphi {\Vert }^2+2\Vert \psi {\Vert }^2.$$

习题 13.15

$\mathrm{If}\{e_n\}$ 是希尔伯特空间中的完全正交归一集合，而 ${\alpha }_n$ 是有界标量序列，证明存在唯一的有界算符 $A$ 使得 $A{e}_n={\alpha }_n{e}_n$。求 $A$ 的范数。

习题 13.16

对于赋范向量空间 $V$ 上的有界线性算符 $A$、$B$，证明

$$\Vert \lambda A\Vert =|\lambda |\Vert A\Vert ,\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert ,\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert .$$

因此证明 $A$ 是 $V$ 上有界线性算符集合上的真正范数。

习题 13.17

证明定理 13.13 的性质 (iii)–(v)。证明 $\Vert A^{\ast }\Vert =\Vert A\Vert$

习题 13.18

设 $A$ 是希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的一个有界算符，且其值域为一维。

(a) 证明存在向量 $u$、$v$，使得对于所有 $x\in \mathcal{H}$，都有 $Ax=⟨v|x⟩u$

(b) 证明对于某个标量 $\lambda$，有 $A^2=\lambda A$，并且 $\Vert A\Vert =\Vert u\Vert \Vert v\Vert$

(c) 证明：$A$ 是厄米的，$A^{\ast }=A$，当且仅当存在一个实数 $a$，使得 $v=au$

习题 13.19

对于希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的每个有界算符 $A$，证明指数算符

$${\mathrm{e}}^A=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{A^n}{n!}$$

在$\mathcal{H}$上定义良好且有界。证明

(a) ${\mathrm{e}}^0=I$

(b) 对所有正整数 $n$，$({\mathbf{e}}^{\mathbf{A}}{)}^n={\mathbf{e}}^{n\mathbf{A}}$

(c) 对于所有有界算符 $A$，${\mathrm{e}}^A$ 都是可逆的（即使 $A$ 不可逆），并且 ${\mathfrak{e}}^{-A}=({\mathfrak{e}}^A{)}^{-1}$

(d) 若 $A$ 与 $B$ 为可交换算符，则 ${\mathbf{e}}^{\mathbf{A}+\mathbf{B}}={\mathbf{e}}^{\mathbf{A}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{B}}$

(e) 若 $A$ 是厄米的，则 ${\mathrm{e}}^{iA}$ 是酉的。

习题 13.20

证明：两个投影算符之和 $P_M+P_N$ 是投影算符，当且仅当 $P_M{P}_N=0$ 。证明此条件等价于 $M\perp N$

习题 13.21

验证三维希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的算符，其在标准正交基中具有矩阵表示

$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& \frac{i}{2}\\ 0& 1& 0\\ -\frac{i}{2}& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$

是一个投影算符，并求它所投影到的子空间的一个基。

习题 13.22

设 $\omega ={\mathrm{e}}^{2\pi i/3}$。证明 $1+\omega +{\omega }^2=0$

(a) 在三维希尔伯特空间中，设 $V$ 是由向量 $(1,\omega ,{\omega }^2)$ 与 $(1,{\omega }^2,\omega )$ 张成的子空间。求该子空间中最接近向量 $u=(1,-1,1)$ 的向量 $u_0$

(b) 验证 $\mathbf{u}-{\mathbf{u}}_0$ 与 $V$ 正交。

(c) 求表示到子空间 $V$ 的投影算符 $P_V$ 的矩阵。

习题 13.23

一个算符 $A$ 若是有界的且与其伴随矩阵可交换，即 $A^{\ast }A=A{A}^{\ast }$ ，则称为正规的。证明该算符

$$A\psi (x)=c\psi (x)+i{\int }_a^{b}K(x,y)\psi (y)\mathrm{d}y$$

在 $L^2([a,b])$ 上，其中 $c$ 是实数且 $K(x,y)=\overline{K(y,x)}$，是正规的。

(a) 证明算符 $A$ 是正规的，当且仅当对所有向量 $u\in \mathcal{H}$ 都有 $\Vert Au\Vert =\Vert A^{\ast }u\Vert$

(b) 证明：若 $A$ 与 $B$ 为交换的正常算符，则 $AB$ 与 $A+\lambda B$ 对所有 $\lambda \in \mathbb{C}$ 均为正常算符