博雷尔集 (Borel set)

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§11.1 · zh-CN · translation · unreviewed

例 11.1

给定任意集合 $X$，集合族 $\mathcal{M}=\{\varnothing ,X\}$ 显然是一个西格玛代数。这是可能的最小西格玛代数。相比之下，最大的西格玛代数是所有子集构成的集合 $2^X$。所有有趣的例子都介于这两个极端之间。

显然，任意两个西格玛代数 $\mathcal{M}\cap {\mathcal{M}}^{\prime }$ 的交集仍是西格玛代数——只需验证两个西格玛代数共有的集合满足性质 (Meas1)–(Meas3)。这一结论可推广到任意一族西格玛代数的交集 ${\cap }_{i\in I}{\mathcal{M}}_i$。因此，给定任意子集族 $\mathcal{A}\subset 2^X$，存在唯一的“最小”西格玛代数 $\mathcal{S}\supseteq \mathcal{A}$。它是所有包含 $\mathcal{A}.$ 的西格玛代数的交集。它称为由 $\mathcal{A}.$ 生成的 生成的西格玛代数(generated sigma-algebra)。对于拓扑空间 $X,$，由开集生成的西格玛代数称为 $X$ 上的 博雷尔集(Borel set)。它们包含所有开集和所有闭集，并且一般还包含许多既非开也非闭的集合。

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