可微映射 / Differentiable map

Woit · §2.1 Some representation theory

原文中文译文对照

中文译文

Woit §2.1 提及其表示是可微映射；这不是流形之间映射的一般定义。Szekeres §15.2 前文的实值函数定义属于另一情形。

译文摘录

我们主要感兴趣的是$G$为李群的情形，此时$G$是某个维数的可微流形。在这种情况下，我们将只关注由可微映射$\pi$给出的表示。作为空间，$GL(n,\mathbf{C})$是所有$n$乘$n$复矩阵构成的空间${\mathbf{C}}^{n^2}$，并去掉不可逆（行列式为零）元素构成的轨迹。在$G,\pi$上选取局部坐标将由$G,$上的$2n^2$个实函数给出，而$G$是可微流形这一条件意味着$\pi$的导数被一致地定义。我们的重点不是一般情形，而是研究量子力学中具有核心意义的某些特定李群和表示$\pi$。对于这些表示，人们将能够容易地看出映射$\pi$是可微的。

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正文：中文译文

来源版本：2025-10-20

原文位置：§2.1；PDF 页 31；印刷页 14

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Szekeres · §15.2 可微映射与曲线

原文中文译文对照

中文译文

此范围通过坐标表示 ψ∘α∘φ⁻¹ 定义流形之间的映射 M→N；它不包含前面的实值函数 f:M→R 定义，也不包含后面的参数曲线定义。

译文摘录

若 $M$ 与 $N$ 均为可微流形，维数分别为 $m$ 与 $n$，则映射 $\alpha :M\to N$ 在 $p\in M$ 处可微，如果对于分别覆盖 $p$ 与 $\alpha (p)$ 的任意一对坐标卡 $(U,\varphi ;x^i)$ ) 与 $(V,\psi ;y^a)$ ，其坐标表示

$$\hat{\alpha }=\psi \circ \alpha \circ {\varphi }^{-1}:\varphi (U)\to \psi (V)$$

在$\varphi (p)$处可微。对于可微实值函数，此定义与图卡的选择无关。映射$\hat{\alpha }$由$n$个可微实值函数表示

$$y^a={\alpha }^a(x^1,x^2,\dots ,x^m)(a=1,2,\dots ,n),$$

其中 ${\alpha }^a={\mathbf{pr}}_a\circ \hat{\alpha }$

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正文：中文译文

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原文位置：§15.2；PDF 页 7；印刷页 416

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