第十五章 · 微分几何

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对于物理学和数学的许多领域而言，拓扑学所提供的连续映射概念并不充分。通常需要的是空间之间可微映射或光滑映射的概念。为此，我们的空间需要一种类似于欧几里得空间 $R^{n}$ 中曲面的结构。关键要素是可微流形的概念，它可以被视为在每一点都“局部欧几里得”的拓扑空间。微分几何是处理这些结构的数学领域。在该主题的众多优秀书籍中，特别向读者推荐 [1–14]。

设想地球的表面。由于它是一个球面，因此它在度量上和拓扑上都不等同于欧几里得平面 $R^{2}$ 。一幅典型的世界图册由若干称为图表的独立页面组成，每一页表示地球的不同区域。这种表示在度量上并不正确，因为地球的弯曲表面必须被展平才能与一张纸相符，但它至少是光滑连续的。每个图表都有与其他图表相连接的区域 $^{- a}$ ——例如，法国的一部分可能出现在德国地图上——而图表之间在重叠区域中的对应关系应当是连续且光滑的。有些图表甚至可能完全位于其他图表之内；例如，意大利地图会重新出现在专门表示整个欧洲的单独一页上。理想情况下，地球的整个表面都应当由图册的不同图表所覆盖，尽管对于一幅真实图册而言，情况未必严格如此，因为北极和南极并不总是被某个图表适当地覆盖。我们在这里得到了可微流形的原型。

从现在起， $R^{n}$ 中的点通常用带上标的坐标 $X = (x^{1}, x^{2}, \dots, x^{n})$ 表示。在第 12 章中，我们将函数 $f : R^{n} \to R$ 定义为 $C^{r}$ ，如果它的所有偏导数

\frac{\partial ^{s} f ( x ^{1} , x ^{2} , \dots , x ^{n} )}{\partial x ^{i_{1}} \partial x ^{i_{2}} \dots \partial x ^{i_{s}}}

对 $s = 1, 2, \dots, r . A C^{0}$ 存在且连续的函数就是连续函数，而 $C^{\infty}$ 函数是对 $r = 0, 1, 2, \dots;$ 的所有值均为 $C^{r}$ 的函数；这样的函数通常简称为可微函数。可微函数不必是解析的（可在任意一点的邻域内展开为幂级数），如下列函数所示

f (x) = {0 e^{- 1/ x^{2}} if x \leq 0, if x > 0,

它在 $x = 0$ 处可微但非解析，因为其幂级数在 $x = 0$ 处的所有系数均为零

一个映射 $ϕ : R^{n} R^{m}$ 在坐标中表示时称为 $C^{r} if,$

y^{i} = ϕ_{i} (x^{1}, x^{2}, \dots, x^{n}) where ϕ_{i} = pr_{i} \circ ϕ (i = 1, 2, \dots, m),

每个实值函数 $ϕ_{i} : R^{n} \to R is C^{r}$ 。类似地，可微函数与解析函数的概念可以推广到任意维数的欧几里得空间之间的映射。

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第十五章 · 微分几何

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概念索引

15.1 可微流形

15.2 可微映射与曲线

15.3 切空间、余切空间与张量空间

15.4 切映射与子流形

15.5 对易子、流与李导数

15.6 分布与弗罗贝尼乌斯定理