希尔伯特空间 / Hilbert space

Szekeres · §13.1 定义与例子

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译文摘录

令$V$是带有内积结构$⟨\cdot \mid \cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{C}$的复向量空间，满足5.2中的(IP1)-(IP3)，这样一个空间常被称为一个准希尔伯特空间(pre-Hilbert space)。5.11可以在其上定义范数

$$\Vert u\Vert =\sqrt{⟨u\mid u⟩}\text{\hspace{1em}(13.1)}$$

这样一个范数$\Vert \cdot \Vert$也满足10.9节的性质(Norm1)-(Norm3)。条件(Norm1)和(IP3)是等价的，(Norm2)是(IP1)和(IP2)的直接结果，因为

$$\Vert \lambda v\Vert =\sqrt{⟨\lambda v\mid \lambda v⟩}=\sqrt{\lambda \bar{\lambda }⟨v\mid v⟩}=|\lambda |\Vert v\Vert .$$

三角不等式是定理5.6的结果，这些性质在无穷维空间也保持，希尔伯特空间(Hilbert space)($\mathcal{H},⟨\cdot \mid \cdot ⟩$)是在这样内积空间的诱导范数下完备的空间。也就是说，($\mathcal{H},\Vert \cdot \Vert$)是巴拿赫空间。这章水平的希尔伯特空间介绍可以参看[1-6],而更进一步的主题在[7-11]中有讨论

平行四边形恒等式(parallelogram law)

$$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2\text{\hspace{1em}(13.2)}$$

对任意一对在内积空间$\mathcal{H}$中的向量$x,y$都保持。证明就是直接代入$\Vert x+y{\Vert }^2=⟨x+y\mid x+y⟩=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2+2\mathrm{Re}(⟨x\mid y⟩$，可以直接给出不等式

$$\Vert x+y{\Vert }^2\le 2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2\text{\hspace{1em}(13.3)}$$

(13.2)和(13.3)在复数情形下也成立

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正文：中文译文

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原文位置：§13.1；PDF 页 1；印刷页 330

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