13.1 定义与例子

English

令$V$是带有内积结构$⟨\cdot \mid \cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{C}$的复向量空间，满足5.2中的(IP1)-(IP3)，这样一个空间常被称为一个准希尔伯特空间(pre-Hilbert space)。5.11可以在其上定义范数

$$\Vert u\Vert =\sqrt{⟨u\mid u⟩}\text{\hspace{1em}(13.1)}$$

这样一个范数$\Vert \cdot \Vert$也满足10.9节的性质(Norm1)-(Norm3)。条件(Norm1)和(IP3)是等价的，(Norm2)是(IP1)和(IP2)的直接结果，因为

$$\Vert \lambda v\Vert =\sqrt{⟨\lambda v\mid \lambda v⟩}=\sqrt{\lambda \bar{\lambda }⟨v\mid v⟩}=|\lambda |\Vert v\Vert .$$

三角不等式是定理5.6的结果，这些性质在无穷维空间也保持，希尔伯特空间(Hilbert space)($\mathcal{H},⟨\cdot \mid \cdot ⟩$)是在这样内积空间的诱导范数下完备的空间。也就是说，($\mathcal{H},\Vert \cdot \Vert$)是巴拿赫空间。这章水平的希尔伯特空间介绍可以参看[1-6],而更进一步的主题在[7-11]中有讨论

平行四边形恒等式(parallelogram law)

$$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2\text{\hspace{1em}(13.2)}$$

对任意一对在内积空间$\mathcal{H}$中的向量$x,y$都保持。证明就是直接代入$\Vert x+y{\Vert }^2=⟨x+y\mid x+y⟩=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2+2\mathrm{Re}(⟨x\mid y⟩$，可以直接给出不等式

$$\Vert x+y{\Vert }^2\le 2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2\text{\hspace{1em}(13.3)}$$

(13.2)和(13.3)在复数情形下也成立

例 13.1

在例5.4中，${\mathbb{C}}^n$的一个典型内积定义成

$$⟨\left(u_1,\dots ,u_n\right)\mid \left(v_1,\dots ,v_n\right)⟩=\sum _{i=1}^n\overline{u_i}{v}_i$$

变成一个希尔伯特空间，范数是

$$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{{\left|v_1\right|}^2+{\left|v_2\right|}^2+\cdots +{\left|v_n\right|}^2}$$

这样的空间在例10.27中已经证明过了是完备的。在任意有限维内积空间中，施密特正交化过程可以产生一组取这样形式内积的正交标准基(见5.2节)，这样一来，每个有限维希尔伯特空间按照上面的内积定义都与${\mathbb{C}}^n$同构，于是唯一能区分不同有限维希尔伯特空间的就只剩它们的维度了。

例 13.2

令${\ell }^2$是全体复序列$u=(u_1,u_2,...)$的集合，其中$u_i\in \mathbb{C}$使得

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\left|u_i\right|}^2<\infty$$

这个空间是一个复向量空间，因为如果$u,v$是${\ell }^2$中任意一对序列，就有$u+v\in {\ell }^2$

因此，使用复数版本的不等式(13.3)

$$\sum _{=1}^{\infty }{\left|u_i+v_i\right|}^2\le 2\sum _{i=1}^{\infty }{\left|u_i\right|}^2+2\sum _{i=1}^{\infty }{\left|v_i\right|}^2<\infty$$

显而易见，如果有$u\in {\ell }^2$，那么对任意复数$\lambda$,$\lambda u\in {\ell }^2$

令内积定义成

$$⟨u\mid v⟩=\sum _{i=1}^{\infty }\overline{u_i}{v}_i$$

这对任意一对序列$u,v\in {\ell }^2$都是良定义的，理由是

$$\begin{array}{rl}\left|\sum _{i=1}^{\infty }\overline{u_i}{v}_i\right|& \le \sum _{i=1}^{\infty }\left|\overline{u_i}{v}_i\right|\\ & \le \frac{1}{2}\sum _{i=1}^{\infty }\left({\left|u_i\right|}^2+{\left|v_i\right|}^2\right)<\infty \end{array}$$

最后一步来源于

$$2|\bar{a}b{|}^2=2|a{|}^2|b{|}^2=|a{|}^2+|b{|}^2-(|a|-|b|{)}^2\le |a{|}^2+|b{|}^2$$

由内积定义的范数是

$$\Vert u\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^{\infty }{\left|u_i\right|}^2}\le \infty$$

设 $u^{(1)},u^{(2)},\dots$ 是 ${\ell }^2$ 中的柯西序列。由 $|u_i^{(n)}-u_i^{(m)}|\le \Vert u^{(n)}-u^{(m)}\Vert$，对每个 $i$，坐标序列都有极限 $u_i$。令 $u=(u_1,u_2,\dots )$。给定 $ϵ>0$，取 $N$ 使得 $n,m>N$ 时 $\Vert u^{(n)}-u^{(m)}\Vert <ϵ$。对于任意整数 $M$ 和 $n,m>N$

$$\sum _{i=1}^M{\left|u_i^{(m)}-u_i^{(n)}\right|}^2\le \sum _{i=1}^{\infty }{\left|u_i^{(m)}-u_i^{(n)}\right|}^2={\Vert u^{(m)}-u^{(n)}\Vert }^2<{ϵ}^2$$

取极限$n\to \infty$我们有

$$\sum _{i=1}^M{\left|u_i^{(m)}-u_i\right|}^2\le {ϵ}^2$$

在极限$M\to \infty$的时候

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\left|u_i^{(m)}-u_i\right|}^2\le {ϵ}^2$$

所以$u^{(m)}-u\in {\ell }^2$，因此$u=u^{(m)}-(u^{(m)}-u)$也属于${\ell }^2$，因为这是两个${\ell }^2$内向量的差，并且也是序列$u^{(m)}$的极限（对全体$m>N$，有$\Vert u^{(m)}-u\Vert <ϵ$），这表明，我们会发现，${\ell }^2$会同构于大部分我们感兴趣的希尔伯特空间——我们称之为可分希尔伯特空间

例 13.3

在$\mathcal{C}[0,1]$，也就是$[0,1]$区间上的连续复函数上，设置内积

$$⟨f\mid g⟩={\int }_0^1\overline{f}g\mathrm{d}x$$

也是准希尔伯特空间，但是不能是希尔伯特空间，因为连续函数也可能有一个不连续的极限

随文练习

找这么一个$\mathcal{C}[0,1]$中的函数序列，有一个不连续的阶梯函数作为其极限

例 13.4

令$X,\mathcal{M},\mu$是一个测度空间，而且${\mathcal{L}}^2(X)$是平方可积复值函数$f:X\to \mathbb{C}$,使得

$${\int }_X{\left|f\right|}^{2}d\mu <\infty$$

这空间也是复向量空间，因为如果$f$和$g$都平方可积，那么

$${\int }_X|f+\lambda g{|}^2\mathrm{d}\mu \le 2{\int }_X|f{|}^2\mathrm{d}\mu +2|\lambda {|}^2{\int }_X|g{|}^2\mathrm{d}\mu$$

把13.3应用在复数上

记$f\sim f^{\prime }$当且仅当在$X$上几乎处处$f(x)=f^{\prime }(x)$；这明显是$X$上的一个等价类，我们记$L^2(X)$是商空间${\mathcal{L}}^2(X)/\sim$。其元素是那些差别仅为零测集的函数等价类$\tilde{f}$，两个等价类的内积定义成

$$⟨\tilde{f}\mid \tilde{g}⟩={\int }_X\overline{f}g\mathrm{d}\mu$$

也是良定义的(见例5.6)，而且独立于$f,g$的选取，因为，如果$f^{\prime }\sim f,g^{\prime }\sim g$，然后令$A_f$和$A_g$是分别是$f(x)\ne f^{\prime }(x)$和$g(x)\ne g^{\prime }(x)$的集合，这些集合都有零测度，$\mu (A_f)=\mu (A_g)=0$。$\overline{f^{\prime }(x)}{g}^{\prime }(x)\ne \overline{f(x)}g(x)$的集合是$A_f\cup A_g$必须也要是零测，所以${\int }_X\overline{f}g\mathrm{d}\mu ={\int }_X\overline{f^{\prime }}{g}^{\prime }\mathrm{d}\mu$

内积公理(IP1)和(IP2)是显然的，并且(IP3)遵循形式

$$\Vert \tilde{f}\Vert =0⟹{\int }_X|f{|}^2\mathrm{d}\mu =0⟹f=0\text{ a.e. }$$

在不会搞混的情况下，一般都用简单地用等价类中的一个代表$f$来代替函数等价类$\tilde{f}\in {\mathcal{L}}^2(X)$

这表明内积空间${\mathcal{L}}^2(X)$事实上是一个希尔伯特空间，接下来的定理证明了其完备性

定理 13.1 · 里斯–费舍尔定理 (Riesz–Fischer theorem)

如果$f_1,f_2,...$是一个${\mathcal{L}}^2(X)$中函数的柯西序列，总存在函数$f\in {\mathcal{L}}^2(X)$使得当$n\to \infty$时$\Vert f-f_n\Vert \to 0$.

证明

柯西序列条件 $\Vert f_n-f_m\Vert \to 0$ 意味着，对于任意 $ϵ>0$，存在 $N$，使得

$${\int }_X{\left|f_n-f_m\right|}^2\mathrm{d}\mu <ϵ\text{ for all }m,n>N.$$

我们可以通过适当的重新标记，选取一个子序列，使得 $f_0=0$ 且

$$\Vert f_n-f_{n-1}\Vert <2^{-n}.$$

设置

$$h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }|f_n(x)-f_{n-1}(x)|$$

由(Norm3)，我们有

$$\Vert h\Vert \le \sum _{n=1}^{\infty }\Vert f_n-f_{n-1}\Vert <\sum _{n=1}^{\infty }{2}^{-n}=1.$$

因此，函数 $x\mapsto h^2(x)$ 是 $X,$ 上的正实值可积函数，而其定义序列发散的点集 $E=\{x\mid h(x)=\infty \}$ 是测度为零的集合，$\mu (E)=0.\mathrm{Let}{g}_n$ 为函数序列

$$g_n(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_n-f_{n-1}& \text{ if }x\notin E,\\ 0& \text{ if }x\in E.\end{array}$$

由于 $g_n=f_n-f_{n-1}a.e$，这些函数可测，且 $\Vert g_n\Vert =\Vert f_n-f_{n-1}\Vert <2^{-n}$ 函数

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{g}_n(x)$$

几乎处处有定义，因为该级数几乎处处绝对收敛到$h(x)$。此外，它属于${\mathcal{L}}^2(X)$，因为

$$|f(x){|}^2={\left|\sum g_n(x)\right|}^2\le {\left(\sum |g_n(x)|\right)}^2\le (h(x){)}^2.$$

由于

$$f_n=\sum _{k=1}^n(f_k-f_{k-1})=\sum _{k=1}^n{g}_k\text{ a.e. }$$

由此可得

$$\begin{array}{l}\Vert f-f_n\Vert =\Vert f-{\sum }_{k=1}^n{g}_k\Vert \\ =\Vert {\sum }_{k=n+1}^{\infty }{g}_k\Vert \\ \le {\sum }_{k=n+1}^{\infty }\Vert g_k\Vert \\ <{\sum }_{k=n+1}^{\infty }{2}^{-k}=2^{-n}.\end{array}$$

因此 $\Vert f-f_n\Vert \to 0\mathrm{as}n\to \infty$，结果得证。

习题

习题

习题 13.1

设 $E$ 为一个巴拿赫空间，其中范数满足平行四边形法则式 (13.2)。证明它是一个希尔伯特空间，其内积由下式给出

$$⟨x\mid y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2+i\Vert x-iy{\Vert }^2-i\Vert x+iy{\Vert }^2).$$

习题 13.2

在区间 $[a,b]$ 上的复连续可微函数构成的向量空间 ${\mathcal{F}}^1[a,b]$ 上，令

$$⟨f|g⟩={\int }_a^b\overline{f^{\prime }(x)}{g}^{\prime }(x)dx\text{ where }{f}^{\prime }=\frac{df}{dx},g^{\prime }=\frac{dg}{dx}.$$

证明这不是一个内积，但若限制在满足对某个固定的 $a\le c\le b$ 有 $f(c)=0$ 的函数 $f\in$ ${\mathcal{F}}^1[a,b]$ 构成的空间上，它就成为内积。它是希尔伯特空间吗？

对情形 $a=-\infty ,b=\infty$ 给出类似的分析，并将函数限制为具有紧支集的函数。

习题 13.3

在空间 $L^2([0,1])$ 中，下列函数序列中哪些 (i) 是柯西序列，(ii) 收敛到 0，(iii) 处处收敛到 0，(iv) 几乎处处收敛到 0，以及 (v) 几乎无处收敛到 $0?$

(a) $f_n(x)={\sin }^n(x),n=1,2,\dots$

$$\text{(b)}{f}_n(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{ for }x<1-\frac{1}{n},\\ nx+1-n& \text{ for }1-\frac{1}{n}\le x\le 1.\end{array}$$

(c) $f_n(x)={\sin }^n(nx)$

(d) $f_n(x)={\chi }_{U_n}(x)$，集合的特征函数

$$U_n=\left[\frac{k}{2^m},\frac{k+1}{2^m}\right]\text{ where }n=2^m+k,m=0,1,\dots \text{ and }k=0,\dots ,2^m-1.$$