基 / Basis

Szekeres · §3.5 向量空间的基

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向量空间的基

若一个向量集合 $A$ 满足：其每一个有限子集 $\{v_1,v_2,\dots ,v_k\}\subseteq A$ 都具有如下性质，则称该向量集合 $A$ 是线性无关(linearly independent)的，通常记作“l.i.”：

$$\sum _{i=1}^k{a}^i{v}_i=0⟹a^j=0\text{ for all }j=1,\dots ,k.$$

换言之，零向量 0 不能写成这些向量的非平凡线性组合。零向量永远不可能是一个线性无关集合的成员，因为对任意 $a\in \mathbb{K}$ 都有 $a0=0$。如果 $A$ 是向量的有限集，$A=\{v_1,v_2,...,v_n\}$，则只需在上述定义中令 $k=n$。向量空间 $V$ 的子集 $E$ 称为一个基(basis)，如果它线性无关并且张成整个 $V$。一个向量集合若线性无关不成立，则称为线性相关(linearly dependent)。

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原文位置：§3.5；PDF 页 15；印刷页 73

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Woit · §4.1 Vector spaces and linear maps

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向量空间 $V$ 在域 $k$ 上是一个集合，带有一种以 $k$ 中元素为系数取线性组合的一致方式。我们将只使用 $k=\mathbf{R}$ 和 $k=\mathbf{C}$ 的情形，因此这样的有限维 $V$ 将只是 ${\mathbf{R}}^n$ 或 ${\mathbf{C}}^n$。选择一组基（由 $n$ 个线性无关向量组成的集合）$\{{\mathbf{e}}_j\}$，任意向量 $v\in V$ 可以写成

$$v=v_1{\mathbf{e}}_1+v_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +v_n{\mathbf{e}}_n$$

给出$V$与实数或复数的$n$元组$v_j$的一个明确等同，我们通常将其写成列向量

$$v=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)$$

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来源版本：2025-10-20

原文位置：§4.1；PDF 页 51；印刷页 34

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