某些代数结构具有不止一种复合律。这些复合律必须通过某种分配律相互联系，否则这些彼此独立的复合律就只是同一集合上的独立结构。这类代数结构中最基本的是环与域，而通过将域与阿贝尔群相结合，我们便构造出向量空间 [1–7]。
在本书的剩余部分，向量空间将始终相伴左右。例如，希尔伯特空间是结构化的向量空间，构成了量子力学的基础。即使在经典力学和广义相对论等非线性理论中，每一点处也存在称为切空间的局部向量空间，它们是建立动力学方程所必需的。很难想象有哪个物理学分支在其表述的某个方面不使用向量空间。
本章目录
概念索引
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3.1 环与域
3.2 向量空间
3.3 向量空间同态
- 线性映射linear map
- 向量空间同态vector space homomorphism
- 向量空间同构vector space isomorphism
- 线性算符linear operator
- 线性变换linear transformation
- 一般线性群general linear group
3.4 向量子空间与商空间
- 向量子空间vector subspace
- 互补complementary subspaces
- 直和direct sum
- 外直和external direct sum
- 陪集coset
- 商空间quotient space
- 像image
- 核kernel
- 幂等算符idempotent operator
3.5 向量空间的基
- 张成或生成的子空间span
- 有限维finite dimensional
- 无限维infinite dimensional
- 维数dimension
- 线性无关linearly independent
- 基basis
- 线性相关linearly dependent
- 分量component
- 余维codimension
3.6 求和约定与基变换
- 求和约定summation convention
- 哑指标dummy index
- 束缚指标bound index
- 自由指标free index
- 克罗内克符号Kronecker delta
- 逆变变换律contravariant
- 被动passive transformation
- 主动active transformation
- 相似变换similarity transformation