实内积 / Real inner product

Szekeres · §5.1 实内积空间

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设 $V$ 是一个实有限维向量空间，且 $\dim$ $V=n$。向量空间 $V$ 上的一个 实内积(real inner product)，当不会引起混淆时通常简称为内积，是一个映射 $V\times V\to \mathbb{R}$，它对每一对向量 $u$、$v\in V$ 都指定一个实数 $u\cdot v\in \mathbb{R}$，并满足以下三个条件：

(RIP1) 该映射对两个自变量均对称，$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}.$

（RIP2）分配律成立，$u\cdot (av+bw)=au\cdot v+bu\cdot w.$

（RIP3）若对所有 $v\in V$ 均有 $u\cdot v=0$，则 $u=0.$

一个定义了内积的实向量空间 $V$ 称为 实内积空间(real inner product space)。内积对第一个变量也是分配的，因为根据条件 (RIP1) 和 (RIP2)，

$$(au+bv)\cdot w=w\cdot (au+bv)=aw\cdot u+bw\cdot v=au\cdot w+bv\cdot w.$$

我们常通过称内积是双线性(bilinear)来指代其在两个自变量中的线性。

由性质 (RIP3) 可知，该内积称为 非退化内积(non-singular inner product)，并常被称为 伪欧氏内积(pseudo-Euclidean inner product)。有时 (RIP3) 会被更强的条件所取代

(RIP3’) $u\cdot u>0$ 对所有向量 $u\ne 0.$

此时称该内积为正定(positive definite)或欧氏内积，而定义了这种内积的向量空间$V$称为欧氏向量空间(Euclidean vector space)。条件(RIP3’)蕴含条件(RIP3)，因为若存在非零向量$u$使得对所有$v\in V$都有$u\cdot v=0$，则$u\cdot u=0$（取$v=u)$，这违反(RIP3’)）。因此正定性是比非奇异性更强的要求。

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原文位置：§5.1；PDF 页 1、2；印刷页 126、127

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Woit · §4.4 Inner products

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定义（内积，实情形）。实向量空间 $V$ 上的一个内积是一个对称的 $((v,w)=(w,v))$ 映射

$$(\cdot ,\cdot ):V\times V\to \mathbf{R}$$

即非退化且对两个变量均为线性。

我们的实内积通常是正定的（$(v,v)\ge 0$ 且 $(v,v)=0⟹v=0$），而不定内积仅出现在狭义相对论的语境中，其中在四维时空上使用一个不定内积。

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来源版本：2025-10-20

原文位置：§4.4；PDF 页 55；印刷页 38

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