向量空间 / Vector space

Szekeres · §3.2 向量空间

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原文定义摘录

A vector space $(V, K)$ consists of an additive abelian group $V$ whose elements $u$ , $v$ , … are called vectors together with a field $K$ whose elements are termed scalars. The law of composition $u + v$ defining the abelian group is called vector addition. There is also an operation $K \times V \to V$ called scalar multiplication, which assigns a vector $a u \in V$ to any pair $a \in K, u \in V$ . The identity element 0 for vector addition, satisfying $0 + u = u$ for all vectors $u$ , is termed the zero vector, and the inverse of any vector $u$ is denoted $- u$ . In principle there can be a minor confusion in the use of the same symbol $+$ for vector addition and scalar addition, and the same symbol 0 both for the zero vector and the zero scalar. It should, however, always be clear from the context which is being used. A similar remark applies to scalar multiplication $a u$ and field multiplication of scalars $ab .$ . The full list of axioms to be satisfied by a vector space is:

(VS1) For all $u, v, w \in V$ and $a, b, c \in K .$
$u + (v + w) u + v u + 0 u + (- u) = (u + v) + w = v + u = 0 + u = u = 0; a + (b + c) a + b a + 0 a + (- a) = (a + b) + c = b + a = 0 + a = a = 0; a (b c) ab a 1 a (b + c) = (ab) c = ba = 1 a = a = ab + a c .$
(VS2) $a (u + v) = a u + a v$ .

(VS3) $(a + b) u = a u + b u$ .

(VS4) $a (b v) = (ab) v$ .

(VS5) $1 v = v$ .

A vector space $(V, K)$ is often referred to as a vector space $V$ over a field $K$ or simply a vector space $V$ when the field of scalars is implied by some introductory phrase such as ‘let $V$ be a real vector space’, or ‘ $V$ is a complex vector space’.

Since $v = (1 + 0) v = v + 0 v$ it follows that $0 v = 0$ for any vector $v \in V$ . Furthermore, $(- 1) v$ is the additive inverse of $v$ since, by $(VS3), (- 1) v + v = (- 1 + 1) v = 0 v = 0.$ . It is also common to write $u - v$ in place of $u + (- v)$ , so that $u - u = 0$ . Vectors are often given distinctive notations such as $u$ , $v$ , … or $u, v, \dots .$ , etc. to distinguish them from scalars, but we will only adopt such notations in specific instances.

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正文：英文原文

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原文位置：§3.2；PDF 页 2、3；印刷页 60、61

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中文译文

译文摘录

一个向量空间(vector space) $(V, K)$ 由一个加法阿贝尔群 $V$ 组成，其元素 $u$ 、 $v$ 、……称为向量(vector)，并配有一个域 $K$ ，其元素称为标量(scalar)。定义该阿贝尔群的复合律 $u + v$ 称为向量加法(vector addition)。此外还有一种运算 $K \times V \to V$ 称为标量乘法(scalar multiplication)，它将一个向量 $a u \in V$ 对应于任意一对 $a \in K, u \in V$ 。向量加法的恒等元0，对所有向量 $u$ 满足 $0 + u = u$ ，称为零向量(zero vector)，而任意向量 $u$ 的逆元记为 $- u$ 。原则上，使用同一符号 $+$ 表示向量加法和标量加法，以及使用同一符号0既表示零向量又表示零标量，可能会引起轻微的混淆。然而，从上下文中应当总能清楚正在使用的是哪一个。类似的说明也适用于标量乘法 $a u$ 与标量的域乘法 $ab .$ 。向量空间需满足的全部公理列表如下：

(VS1) 对于所有 $u, v, w \in V$ 和 $a, b, c \in K .$
$u + (v + w) u + v u + 0 u + (- u) = (u + v) + w = v + u = 0 + u = u = 0; a + (b + c) a + b a + 0 a + (- a) = (a + b) + c = b + a = 0 + a = a = 0; a (b c) ab a 1 a (b + c) = (ab) c = ba = 1 a = a = ab + a c .$
(VS2) $a (u + v) = a u + a v$ 。

(VS3) $(a + b) u = a u + b u$ 。

(VS4) $a (b v) = (ab) v$ 。

(VS5) $1 v = v$ 。

向量空间 $(V, K)$ 常称为域 $K$ 上的向量空间 $V$ ，或简称为向量空间 $V$ ，当标量域由诸如“设 $V$ 为实向量空间”或“ $V$ 是复向量空间”之类的引言暗示时。

由 $v = (1 + 0) v = v + 0 v$ 可知，对任意向量 $v \in V$ 都有 $0 v = 0$ 。此外， $(- 1) v$ 是 $v$ 的加法逆元，因为由 $(VS3), (- 1) v + v = (- 1 + 1) v = 0 v = 0.$ 可得。也常将 $u + (- v)$ 写作 $u - v$ ，从而 $u - u = 0$ 。向量通常用 $u$ 、 $v$ 、…… 或 $u, v, \dots .$ 等独特记号表示，以区别于标量，但我们仅在特定情形下采用此类记号。

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Woit · §4.1 Vector spaces and linear maps

中文译文

译文摘录

向量空间 $V$ 在域 $k$ 上是一个集合，带有一种以 $k$ 中元素为系数取线性组合的一致方式。我们将只使用 $k = R$ 和 $k = C$ 的情形，因此这样的有限维 $V$ 将只是 $R^{n}$ 或 $C^{n}$ 。选择一组基（由 $n$ 个线性无关向量组成的集合） ${e_{j}}$ ，任意向量 $v \in V$ 可以写成
$v = v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2} + \dots + v_{n} e_{n}$
给出 $V$ 与实数或复数的 $n$ 元组 $v_{j}$ 的一个明确等同，我们通常将其写成列向量
$v = v_{1} v_{2} ⋮ v_{n}$

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来源版本：2025-10-20

原文位置：§4.1；PDF 页 51；印刷页 34

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