在第3章中我们看到，任意向量空间 都会产生其他向量空间，例如对偶空间 以及 上所有线性算符构成的空间 。在本章中，我们将考虑由向量空间 构造出的一类更一般的空间，称为张量空间，上述这些空间都是其特例。按照现代数学惯例，张量及其基本运算将以不变方式定义，但我们也会将其与“老式的”多分量表述联系起来，后者往往更适合物理学中的应用[1]。
关于张量理论有两种显著不同的方法。首先，第 7.1 节的方法将两个向量空间的张量积定义为自由向量空间的一个商空间 [2]。虽然这种方法在性质上有些抽象，但它本质上是一种构造性程序。特别地，它可以用来更深入地理解结合代数，并补充第 6 章的材料。此外，它适用于无限维向量空间。第二种方法将张量定义为多重线性映射 [3–5]。读者可能会发现第二种方法更容易理解，并且如果他们直接跳到 第 7.2 节，在理解上也不会有重大损失。对于有限维向量空间，这两种方法是等价的 [6]。
本章目录
概念索引
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7.1 自由向量空间与张量空间
- 自由向量空间free vector space
- 张量积空间tensor product space
- 张量积tensor product
- 张量tensor
- 逆变张量contravariant tensor
- 协变张量covariant tensor
- 自由结合代数free associative algebra
- 泛性质universal property
7.2 多重线性映射与张量
- 多重线性映射multilinear map
- 逆变次数contravariant degree
- 协变次数covariant degree
- 张量分量tensor components
- 度量张量metric tensor
- 逆度量张量inverse metric tensor
- 混合张量mixed tensor