7.1 自由向量空间与张量空间

English

自由向量空间

若$S$是任意集合，则域$\mathbb{K}$上关于$S$的自由向量空间这一概念，可以直观地理解为所有“形式有限和”的集合

$$a^1{s}_1+a^2{s}_2+\cdots +a^n{s}_n\text{ where }n=0,1,2,\dots ;a^i\in \mathbb{K},s_i\in S.$$

“形式”一词意味着，如果 $S$ 是一个代数结构，且其上已经定义了加法或标量乘法的概念，那么形式和中出现的标量积与求和与这些概念没有任何关系。

更严格地说，集合 $S$ 上的 自由向量空间(free vector space) $F(S)$ 定义为所有函数 $f:S\to \mathbb{K}$ 的集合，这些函数在 $S$ 的除有限个元素外的所有元素处取值为零。显然，$F(S)$ 在通常的定义下是一个向量空间，

$$(f+g)(s)=f(s)+g(s),(af)(s)=af(s).$$

它由特征函数${\chi }_t\equiv {\chi }_{\{t\}}$张成（见例1.7）

$${\chi }_t(s)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }s=t,\\ 0& \text{ if }s\ne t,\end{array}$$

由于任何仅在有限个位置 $s_1,s_2,\dots s_n$ 处取非零值的函数都可以唯一地写成

$$f=f(s_1){\chi }_{s_1}+f(s_2){\chi }_{s_2}+\cdots +f(s_n){\chi }_{s_n}.$$

显然，$F(S)$ 的元素与上文提及的“形式有限和”一一对应。

例 7.1

例3.10中定义的向量空间${\hat{\mathbb{R}}}^{\infty }$与任意可数无限集$\mathcal{S}=\{s_1,s_2,s_3,...\}$上的自由向量空间同构，因为由下式定义的映射$\sigma :{\hat{\mathbb{R}}}^{\infty }\to F(S)$

$$\sigma \left(a^1,a^2,\dots ,a^n,0,0,\dots \right)=\sum _{i=1}^n{a}^i{\chi }_{s_i}$$

是线性的、一一的且到上的。

张量积 $V\otimes W$

设 $V$ 与 $W$ 是域 $\mathbb{K}$ 上的两个向量空间。想象在这两个向量空间的元素之间构造一个乘积 $v\otimes w$，称为它们的“张量积”，并满足以下规则

$$(av+b{v}^{\prime })\otimes w=av\otimes w+b{v}^{\prime }\otimes w,v\otimes (aw+b{w}^{\prime })=av\otimes w+bv\otimes w^{\prime }.$$

这个简单想法的主要困难在于，我们不知道$v\otimes w$属于什么空间。自由向量空间的概念可以用来为这个乘积给出一个恰当的定义。

设 $F(V\times W)$ 为 $V\times W$ 上的自由向量空间。在某种意义上，这个向量空间过于“大”，因为诸如 $a(v,w)$ 与 $(av,w)$，或 $(\mathbf{v}+{\mathbf{v}}^{\prime },\mathbf{w})$ 与 $(v,w)+(v^{\prime },w)$ 这样的对在 $F(V\times W)$ 中完全无关。为了将向量空间缩减到合理的规模，我们定义 $U$ 为 $F(V\times W)$ 的向量子空间，由所有如下形式的元素生成

$$(av+b{v}^{\prime },w)-a(v,w)-b\left(v^{\prime },w\right)\text{ and }(v,aw+b{w}^{\prime })-a(v,w)-b\left(v,w^{\prime }\right)$$

为记号简便起见，此处我们不对有序对$(v,w)$与其特征函数${\chi }_{(v,w)}\in F(V\times W)$加以区分。子空间$U$本质上包含所有将被等同于零元素的向量组合。$V$与$W$的张量积空间(tensor product space)定义为该商空间

$$V\otimes W=F(V\times W)/U.$$

一对向量$v\in V$与$w\in W$的张量积(tensor product) $v\otimes w$定义为$V\otimes W$中$(v,w)$所属的等价类或陪集，

$$v\otimes w=[(v,w)]=(v,w)+U.$$

该乘积是双线性的，

$$(av+b{v}^{\prime })\otimes w=av\otimes w+b{v}^{\prime }\otimes w,$$ $$v\otimes (aw+b{w}^{\prime })=av\otimes w+bv\otimes w^{\prime }.$$

为证明第一个恒等式，

$$\begin{array}{l}(av+b{v}^{\prime })\otimes w=(av+b{v}^{\prime },w)+U\\ =(av+b{v}^{\prime },w)-((av+b{v}^{\prime },w)-a(v,w)-b(v^{\prime },w))+U\\ =a(v,w)+b(v^{\prime },w)+U\\ =av\otimes w+b{v}^{\prime }\otimes w,\end{array}$$

而第二个恒等式是类似的。

若 $V$ 与 $W$ 均为有限维，设 $\{e_i|i=1,\dots ,n\}$ 为 $V$, 的一组基，$\{f_a|a=1,\dots ,m\}$ 为 $W$ 的一组基。每个张量积 $v\otimes w$ 都可以通过双线性性写成

$$v\otimes w=(v^i{e}_i)\otimes (w^a{f}_a)=v^i{w}^a(e_i\otimes f_a).\text{\hspace{1em}(7.1)}$$

我们将使用术语 张量(tensor) 来描述 $V\otimes W$ 的一般元素。由于每个张量 $A$ 都是形如 $v\otimes w$ 的元素的有限和，因此代入式 (7.1) 后，它可以表示为以下形式

$$A=A^{ia}{e}_i\otimes f_a.\text{\hspace{1em}(7.2)}$$

因此，张量积空间$V\otimes W$由$nm$个张量$\{e_i\otimes f_a|i=1,\dots ,n,a=1,\dots ,m\}$张成。

此外，这些张量构成 $V\otimes W$ 的一组基，因为它们是线性无关的。为证明这一命题，设 $(\rho ,\phi )$ 为任意一对线性泛函 $\rho \in V^{\ast },\phi \in W^{\ast }$。这样的有序对通过设定以下内容定义了 $F(V\times W)$ 上的一个线性泛函

$$(\rho ,\phi )(v,w)=\rho (v)\phi (w),$$

并通过线性延拓至整个$F(V\times W)$，

$$(\rho ,\phi )\left[\sum _r{a}^r\left(v_r,w_r\right)\right]=\sum _r{a}^r\rho \left(v_r\right)\phi \left(w_r\right).$$

该线性泛函在子空间 $U$ 上为零，因此通过设定而“过渡到”张量积空间 $V\otimes W$

$$(\rho ,\phi )[\sum _r{a}^r{v}_r\otimes w_r]=\sum _r{a}^r(\rho ,\phi )((v_r,w_r)).$$

设${\epsilon }^k,{\phi }^b$分别为$V^{\ast }$与$W^{\ast }$中的对偶基；于是我们有

$$\begin{array}{rl}{A}^{ia}{e}_i\otimes f_a=0& ⟹({\epsilon }^j,{\phi }^b)(A^{ia}{e}_i\otimes f_a)=0\\ & ⟹A^{ia}{\delta }_i^j{\delta }_a^b=0\\ & ⟹A^{jb}=0.\end{array}$$

因此，张量 $e_i\otimes f_a$ 线性无关，并构成 $V\otimes W$ 的一组基。$V\otimes W$ 的维数由下式给出

$$\dim (V\otimes W)=\dim V\dim W.$$

令 $V=W$，则 $V\otimes V$ 的元素称为 $V$ 上的 2 次 逆变张量(contravariant tensor)。若 $\{e_i\}$ 是 $V$ 的基，则每个 2 次逆变张量都有唯一的展开式

$$T=T^{ij}{e}_i\otimes e_j,$$

而实数 $T^{ij}$ 称为该张量关于此基的分量。类似地，$V^{\ast }\otimes V^{\ast }$ 的每个元素 $S$ 称为 $V$ 上的 2 次 协变张量(covariant tensor)，并且关于对偶基 ${\epsilon }^i$ 有唯一展开。

$$S=S_{ij}{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j.$$

张量积的对偶表示

给定域 $\mathbb{K}$ 上的一对向量空间 $V_1$ 与 $V_2$，若映射 $T:V_1\times V_2\to \mathbb{K}$ 满足以下条件，则称其为双线性的：

$$\begin{array}{c}T(a{v}_1+b{v}_1^{\prime },v_2)=aT(v_1,v_2)+bT(v_1^{\prime },v_2),\\ T(v_1,a{v}_2+b{v}_2^{\prime },)=aT(v_1,v_2)+bT(v_1,v_2^{\prime }),\end{array}$$

对所有的 $v_1,v_1^{\prime }\in V_1,v_2,v_2^{\prime }\in V_2$ 以及 $a,b\in \mathbb{K}$，双线性映射可以按照与 第 3.7 节中给出的线性泛函类似的方式相加并与标量相乘，并构成一个向量空间，记作 $(V_1,V_2{)}^{\ast }$

每一对向量 $(v,w)$，其中 $v\in V,w\in W$，通过设定定义了一个双线性映射 $V^{\ast }\times W^{\ast }\to \mathbb{K}$.

$$(v,w):(\rho ,\phi )\mapsto \rho (v)\phi (w).$$

我们可以通过设定以下内容，以显然的方式将此对应关系扩展到整个$F(V\times W)$

$$\sum _r{a}^r\left(v_r,w_r\right):(\rho ,\phi )\mapsto \sum _r{a}^r\rho \left(v_r\right)\phi \left(w_r\right),$$

并且由于子空间 $U$, 的任意生成元，例如 $(av+b{v}^{\prime },w)-a(v,w)-b(v^{\prime },w)$，在 $V^{\ast }\times W^{\ast }$ 上的作用显然为零，该对应关系以唯一的方式传递到张量积空间 $V\otimes W=F(V,W)/U$。也就是说，每个张量 $\begin{array}{r}A={\sum }_r{a}^r{v}_r\otimes w_r\end{array}$ 通过设定定义了一个双线性映射 $V^{\ast }\times W^{\ast }\to \mathbb{K}$，

$$A(\rho ,\phi )=\sum _r{a}^r\rho (v_r)\phi (w_r).$$

这个从 $V\otimes W$ 到 $V^{\ast }\times W^{\ast }$ 上双线性映射空间的线性映射，在有限维向量空间的情形下也是一一映射。因为，假设对所有 $\rho \in V^{\ast },\phi \in W^{\ast }$ 都有 $A(\rho ,\phi )=B(\rho ,\phi )$。设 $e_i,f_a$ 分别是 $V$ 和 $W$ 的基，而 ${\epsilon }^j,{\phi }^a$ 是对偶基。写出 $A=A^{ia}{e}_i\otimes f_a=0,B=B^{ia}{e}_i\otimes f_a=0$，我们有

$$A^{ia}\rho (e_i)\phi (f_a)=B^{ia}\rho (e_i)\phi (f_a)$$

对于所有线性泛函 $\rho \in V^{\ast },\phi \in W^{\ast }$。若令 $\rho ={\epsilon }^j,\phi ={\phi }^b$，则

$$A^{ia}{\delta }_i^j{\delta }_a^b=B^{ia}{\delta }_i^j{\delta }_a^b,$$

于是得到 $A^{jb}=B^{jb}$ 。因此 $A=B$ ，并且对于有限维向量空间 $V$ 和 $W$ ，我们已经证明 $V\otimes W$ 与 $(V^{\ast },W^{\ast }{)}^{\ast }$ 之间的线性对应是一一对应，

$$V\otimes W\cong (V^{\ast },W^{\ast }{)}^{\ast }.\text{\hspace{1em}(7.3)}$$

该同构对无限维空间不成立。

一个冗长但直接的论证给出了三个向量的张量积的结合律

$$u\otimes (v\otimes w)=(u\otimes v)\otimes w.$$

因此，三个或更多向量空间的张量积以唯一的方式定义，

$$U\otimes V\otimes W=U\otimes (V\otimes W)=(U\otimes V)\otimes W.$$

对于有限维空间，可以证明它与在每个自变量上分别线性的映射空间 $A:U^{\ast }\times V^{\ast }\times W^{\ast }\to \mathbb{K}$ 同构。

自由结合代数

设$\mathcal{F}(V)$为向量空间的无限直和

$$\mathcal{F}(V)=V^{(0)}\oplus V^{(1)}\oplus V^{(2)}\oplus V^{(3)}\oplus \dots$$

其中 $\mathbb{K}=V^{(0)},V=V^{(1)}$ 且

$$V^{(r)}=\underset{r}{\underbrace{V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}}.$$

此无限直和的典型元素可写成来自张量空间 $V^{(r)}$ 的张量的有限形式和

$$a+u+A_2+\cdots +A_r.$$

为在$\mathcal{F}(V)$集合上定义乘积法则

$$\underset{\in V^{(r)}}{\underbrace{u_1\otimes u_2\otimes \cdots \otimes u_r}}\underset{\in V^{(s)}}{\underbrace{v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_s}}=\underset{\in V^{(r+s)}}{\underbrace{u_1\otimes \cdots \otimes u_r\otimes v_1\otimes \cdots \otimes v_s}}$$

并通过线性性延拓到整个 $\mathcal{F}(V)$。分配律 (6.1) 自动得到满足，使得带有此乘积结构的 $\mathcal{F}(V)$ 成为一个结合代数。代数 $\mathcal{F}(V)$ 本质上没有对其施加任何“额外规则”，除了来自 $V$ 的元素的简单并置以及标量乘法。因此它被称为 $V$ 上的 自由结合代数(free associative algebra)。所有结合代数都可以构造为向量空间上自由结合代数的商代数。下面的例子说明了这一点。

例 7.2

若 $V$ 是实数域上以单元素集 $S=\{x\}$ 为基的一维自由向量空间，则 $\mathcal{F}(V)$ 上的自由结合代数与实多项式代数 $\mathcal{P}$ 一一对应，见例 6.3，通过令

$$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n\equiv a_0+a_{1}x+a_{2}x\otimes x+\cdots +a_n\underset{n}{\underbrace{x\otimes x\otimes \cdots \otimes x}}.$$

这种对应是一个代数同构，因为通过上述步骤在 $\mathcal{F}(V)$ 上定义的乘积将与多项式的乘法相同。例如，

$$\begin{array}{c}(ax+bx\otimes x\otimes x)(c+dx\otimes x)=acx+(ad+bc)x\otimes x\otimes x+bdx\otimes x\otimes x\otimes x\otimes x\\ \equiv acx+(ad+bc)x^3+bd{x}^5\\ =(ax+b{x}^3)(c+d{x}^2),\text{etc.}\end{array}$$

令 $\mathcal{C}$ 为 $\mathcal{P}$ 中由 $x^2+1$ 生成的理想，由所有形如 $f(x)(x^2+1)g(x)$ 的多项式组成。将 $i$ 与多项式类 $[x]=x+\mathcal{C}$ 等同，并将实数与常数多项式的类 $a\to [a]$ 等同，则复数代数与商代数 $\mathcal{P}/\mathcal{C}$, 同构，因为

$$i^2\equiv [x{]}^2=[x^2]=[x^2-(x^2+1)]=[-1]\equiv -1.$$

作为自由代数的商代数的格拉斯曼代数

第 6.4 节中给出的格拉斯曼代数定义在两个关键方面不能令人满意。首先，在外积的定义中，规则 (EP1)–(EP3) 在 $\Lambda (V)$ 上产生一个良定义且唯一的乘积，这一点绝非显然。其次，基向量 $e_{i_1{i}_2\dots i_r}(i_1<i_2<\cdot \cdot \cdot <i_r)$ 的线性无关性必须在 第 6.4 节中单独作为公设。以下讨论为格拉斯曼代数提供了更严格的基础，并应澄清这些问题。

设 $\mathcal{F}(V)$ 为实向量空间 $V$ 上的自由结合代数，并设 $\mathcal{S}$ 为由 $\mathcal{F}(V)$ 中所有形如 $u\otimes T\otimes v+v\otimes T\otimes u$ 的元素生成的理想，其中 $u,v\in V$ 且 $T\in \mathcal{F}(V)$。$\mathcal{S}$ 的一般元素为

$$S\otimes u\otimes T\otimes v\otimes U+S\otimes v\otimes T\otimes u\otimes U$$

其中 $u,v\in V$ 且 $S$、$T$、$U\in \mathcal{F}(V)$。理想 $\mathcal{S}$ 本质上刻画了 $\mathcal{F}(V)$ 中那些当张量积 $\otimes$ 被楔积 $\wedge$ 取代时将消失的元素。

随文练习

证明理想 $\mathcal{S}$ 由所有形如 $w\otimes T\otimes w$ 的元素生成，其中 $w\in V$ 且 $T\in \mathcal{F}(V)$ 。[提示：令 $w=u+v$。]

定义格拉斯曼代数 $\Lambda (V)$ 为商代数

$$\Lambda (V)=\mathcal{F}(V)/\mathcal{S},\text{\hspace{1em}(7.4)}$$

并将诱导的结合乘积记为$\wedge$，

$$[A]\wedge [B]=[A\otimes B]\text{\hspace{1em}(7.5)}$$

其中 $[A]\equiv A+\mathcal{S},[B]\equiv B+\mathcal{S}$ 。如同 第 6.4 节，因子代数中的元素 [$A$] 称为多重向量。省略方括号不会引起歧义，

$A\equiv [A]$，并将 $A\wedge B$ 写作 $[A]\wedge [B]$。代数 $\Lambda (V)$ 是相应于次数为 $r$ 的张量的子空间的直和，

$$\Lambda (V)={\Lambda }^0(V)\oplus {\Lambda }^1(V)\oplus {\Lambda }^2(V)\oplus \dots ,$$

其中

$${\Lambda }^r(V)=[V^{(r)}]=\{A+\mathcal{S}\mid A\in V^{(r)}\}$$

其元素称为$r$-向量。若$A$是一个$r$-向量，且$B$是一个$s$-向量，则$A\wedge B$是一个$(r+s)$-向量。

由于按定义 $\mathbf{u}\otimes \mathbf{v}+\mathbf{v}\otimes \mathbf{u}$ 是 $\mathcal{S}$ 的元素，我们有

$$u\wedge v=[u\otimes v]=[-v\otimes u]=-v\wedge u,$$

对于所有 $u,v\in V$。因此，对于所有 $u\in V$，$u\wedge u=0$

随文练习

证明：若 $A$、$B$ 与 $C$ 是任意多重向量，则对所有 $u$、$v\in V$

$$A\wedge u\wedge B\wedge v\wedge C+A\wedge v\wedge B\wedge u\wedge C=0,$$

并且 $A\wedge u\wedge B\wedge u\wedge C=0$

随文练习

由张量积的相应规则证明外积是结合的且可分配的。

由结合律

$$\left(u_1\wedge u_2\wedge \cdots \wedge u_r\right)\wedge \left(v_1\wedge v_2,\wedge \cdots \wedge v_s\right)=u_1\wedge \cdots \wedge u_r\wedge v_1\wedge \cdots \wedge v_s,$$

与第 6.4 节的(EP2)一致。这为任意有限维向量空间$V$上的外积提供了一个与基无关的定义，并具有所期望的性质(EP1)–(EP3)。由于每个$r$-向量都是简单$r$-向量的和，$r$-向量空间${\Lambda }^r(V)$由

$$E_r=\{e_{i_1{i}_2\dots i_r}\mid i_1<i_2<\cdots <i_r\},$$

其中

$$e_{i_1{i}_2\dots i_r}=e_{i_1}\wedge e_{i_2}\cdots \wedge e_{i_r},$$

如 第 6.4 节所示。作为练习，可以证明集合 $E_r$ 确实构成 $r$-向量空间的一组基（见习题 7.6）。因此，正如 第 6.4 节所预期的那样，$r$-向量空间的维数为

$$\dim {\Lambda }^r(V)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!},$$

而格拉斯曼代数 $\Lambda (V)$ 的维数是 $2^n$。

习题

习题 7.1

证明两个向量空间的直和 $V\oplus W$ 可由自由向量空间定义为 $F(V\times W)/U$，其中 $U$ 是由所有形如下的线性组合生成的子空间

$$(av+b{v}^{\prime },aw+b{w}^{\prime })-a(v,w)-b\left(v^{\prime },w^{\prime }\right).$$

习题 7.2

证明自由向量空间的所谓泛性质(universal property)。设$\phi :S\to F(S)$为将任意元素$s\in S$映到其特征函数${\chi }_s\in F(S)$的映射。若$V$为任意向量空间，且$\alpha :S\to V$为从$S$到$V$的任意映射，则存在唯一的线性映射$T:F(S)\to V$使得$\alpha =T\circ \phi$，如交换图所示

自由向量空间泛性质的交换图（习题 7.2）。

证明该过程是可逆的，并可用于将 $S$ 上的自由向量空间定义为使得上述交换图成立的唯一向量空间 $F(S)$。

习题 7.3

设 $\mathcal{F}(V)$ 为向量空间 $V$. 上的自由结合代数

(a) 证明存在一个线性映射 $I:V\to \mathcal{F}(V)$，使得若 $\mathcal{A}$ 是同一域 $\mathbb{K}$ 上的任意结合代数，且 $S:V\to \mathcal{A}$ 是一个线性映射，则存在唯一的代数同态 $\alpha :\mathcal{F}(V)\to \mathcal{A}$，使得 $S=\alpha \circ I$

(b) 用交换图表示这一性质。

(c) 证明逆命题：任意代数 $\mathcal{F}$，若存在映射 $I:V\to \mathcal{F}$，使得对于任意线性映射 $S$ 交换图成立，则该代数同构于 $V$ 上的自由结合代数。

习题 7.4

给出四元数作为三维向量空间上自由代数的商代数的一个定义。

习题 7.5

与内积空间 $V$（其标量积为 $g(u,v)\equiv u\cdot v$）相伴的克利福德代数 ${\mathcal{C}}_g$ 可按如下方式定义。设 $\mathcal{F}(V)$ 为 $V$ 上的自由结合代数，而由所有形如

$$A\otimes (u\otimes v+v\otimes u-2g(u,v)1)\otimes B(A,B\in \mathcal{F}(V)).$$

所讨论的克利福德代数现在定义为商空间 $\mathcal{F}(V)/\mathcal{C}$ 。验证该代数 $i$ 与第 6.3 节中定义的克利福德代数同构，并且可以作为与实内积空间相关联的克利福德代数的一个不依赖于基的定义。

习题 7.6

证明 $E_2$ 是 ${\Lambda }^2(V)$ 的一组基。概要如下：通过下式定义映射 ${\epsilon }^{kl}:V^2\to \mathbb{R}$ ：

$${\epsilon }^{kl}(u,v)={\epsilon }^k(u){\epsilon }^l(v)-{\epsilon }^l(u){\epsilon }^k(v)=u^k{v}^l-u^l{v}^k.$$

通过线性性延拓到张量空间 $V^{(2,0)}$，并证明存在到商空间的自然过渡，${\hat{\epsilon }}^{kl}:{\Lambda }^2(\dot{V})=V^{(2,0)}/S^2\to \mathbb{R}$。如果来自 $E_2$ 的一个线性组合消失，

$$\sum _{i<j}{A}^{ij}{e}_i\wedge e_j=0,$$

将映射${\hat{\epsilon }}^{kl}$作用于该方程，以表明所有系数$A^{ij}$必须分别消失。

说明如何将该论证加以推广，以证明若 $r\le n=\dim V$，则 $E_r$ 是 ${\Lambda }^r(V)$ 的一组基