7.3 张量的基表示

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我们现在从$V$的任意给定基$\left\{{\mathbf{e}}_i\right\}$及其对偶基$\{{\epsilon }^j\}$出发，构造$V^{(r,s)}$的一个基，并给出$(r,s)$型张量关于此基的表示。虽然由此产生的表达式作为多分量对象往往显得相当复杂，但这只是熟悉记号的问题。它仍然是物理学家最常使用的张量表示。

张量积

若 $T$ 是类型为 $(r,s)$ 的张量，且 $S$ 是类型为 $(p,q)$ 的张量，则定义 $T\otimes S$，称为它们的张量积，为类型 $(r+p,s+q)$ 的张量，其定义为

$$\begin{array}{c}(T\otimes S)({\omega }^1,\dots ,{\omega }^r,{\rho }^1,\dots ,{\rho }^p,u_1,\dots ,u_s,v_1,\dots ,v_q)\\ =T({\omega }^1,\dots ,{\omega }^r,u_1,\dots ,u_s)S({\rho }^1,\dots ,{\rho }^p,v_1,\dots ,v_q).\end{array}\text{\hspace{1em}(7.15)}$$

这个乘积推广了上一节中向量与余向量的张量积的定义。容易证明它是结合的

$$T\otimes (S\otimes R)=(T\otimes S)\otimes R,$$

因此在书写诸如$T\otimes S\otimes R$这样的表达式时不存在歧义

若 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的基，而 ${\epsilon }^1,\dots ,{\epsilon }^n$ 是 $V^{\ast }$ 的对偶基，则张量

$$e_{i_1}\otimes \cdots \otimes e_{i_r}\otimes {\epsilon }^{j_1}\otimes \cdots \otimes {\epsilon }^{j_s}(i_1,i_2,\dots ,j_1,\dots ,j_s=1,2,\dots ,n)$$

构成 $V^{(r,s)}$ 的基，因为每个类型为 $(r,s)$ 的张量 $T$ 都有唯一的展开

$$T=T_{j_1\dots j_s}^{i_1\dots i_r}{e}_{i_1}\otimes \cdots \otimes e_{i_r}\otimes {\epsilon }^{j_1}\otimes \cdots \otimes {\epsilon }^{j_s}\text{\hspace{1em}(7.16)}$$

其中

$$T_{j_1\dots j_s}^{i_1\dots i_r}=T({\epsilon }^{i_1},\dots ,{\epsilon }^{i_r},e_{j_1},\dots ,e_{j_s})\text{\hspace{1em}(7.17)}$$

称为张量 $T$ 关于 $V$. 的基 $\{e_i\}$ 的分量

随文练习

请完整详细地证明这些命题。尽管指标表面上复杂，但证明本质上与定理7.1中针对$V^{(0,2)}$情形所给出的证明相同。

两个同类型张量的线性组合的分量由下式给出

$$\begin{array}{rl}(T+aS{)}_{kl\dots }^{ij\dots }& =(T+aS)({\epsilon }^i,{\epsilon }^j,\dots ,e_k,e_l,\dots )\\ & =T({\epsilon }^i,{\epsilon }^j,\dots ,e_k,e_l,\dots )+aS({\epsilon }^i,{\epsilon }^j,\dots ,e_k,e_l,\dots )\\ & =T_{kl\dots }^{ij\dots }+a{S}_{kl\dots }^{ij\dots }.\end{array}$$

张量 $T$ 与 $S$ 的张量积的分量由下式给出

$$(T\otimes S{)}_{kl\dots mn\dots }^{ij\dots pq\dots }=T_{kl\dots }^{ij\dots }{S}_{mn\dots }^{pq\dots }$$

证明由式 (7.15) 令 ${\omega }^1={\epsilon }^i,{\omega }^2={\epsilon }^j,\dots ,{\rho }^1={\epsilon }^k,\dots ,u_1=e_p,u_2=e_q,\mathsf{etc}$. 得出。

随文练习

证明在分量形式下，多重线性映射 $T$ 具有表达式

$$T(\omega ,\rho ,\dots ,u,v,\dots )=T_{kl\dots }^{ij\dots }{w}_i{r}_j\dots u^k{v}^l\dots \text{\hspace{1em}(7.18)}$$

其中 $\omega =w_i{\epsilon }^i,\rho =r_j{\epsilon }^j,u=u^k{e}_k$, 等。

基变换

设 $\{e_i\}$ 和 $\{e_j^{\prime }\}$ 是 $V$ 的两个基，它们通过下式相联系

$$e_i=A_i^j{e}_j^{\prime },e_j^{\prime }=A_j^{\prime k}{e}_k\text{\hspace{1em}(7.19)}$$

其中矩阵$[A^i{}_j]$与$[{{\mathbf{A}}^{\prime }}^i{}_j]$互为逆矩阵，

$$A_j^{\prime k}{A}_i^j=A_j^k{A}_i^{\prime j}={\delta }_i^k.\text{\hspace{1em}(7.20)}$$

如第3章所示，对偶基按式(3.32)变换，

$${\epsilon }^{\prime j}=A_k^j{\epsilon }^k\text{\hspace{1em}(7.21)}$$

而在变换律下，向量 $v=v^i{e}_i$ 的分量与余向量 $\omega =w_j{\epsilon }^j$ 的分量分别为

$$v^{\prime j}=A_i^j{v}^i,w_i^{\prime }=A_i^{\prime j}{w}_j.\text{\hspace{1em}(7.22)}$$

第 3 章中使用的术语“逆变变换律”和“协变变换律”的动机在于：向量和余向量分别是逆变次数为 1 和协变次数为 1 的张量。

若 $\mathcal{T}={\mathcal{T}}^{ij}{e}_i\otimes e_j$ 是 (2, 0) 型张量，则

$$\begin{array}{rl}& T=T^{ij}{e}_i\otimes e_j\\ & =T^{ij}{A}_i^k{e}_k^{\prime }\otimes A_j^l{e}_l^{\prime }\\ & =T^{\prime kl}{e}_k^{\prime }\otimes e_l^{\prime }\end{array}$$

其中

$$T^{\prime kl}=T^{ij}{A}_i^k{A}_j^l.\text{\hspace{1em}(7.23)}$$

随文练习

或者，从式（7.21）和

$$T^{\prime kl}=T({\epsilon }^{\prime k},{\epsilon }^{\prime l}).$$

类似地，一个2阶协变张量$T=T_{ij}{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j$的分量变换为

$$T_{kl}^{\prime }=T_{ij}{A}_k^{\prime i}{A}_l^{\prime j}.\text{\hspace{1em}(7.24)}$$

随文练习

通过使用式 (7.21) 对 ${\epsilon }^i$ 进行变换来证明式 (7.24) (i)，以及 (ii) 从 $T_{ij}^{\prime }=T(e_i,e_j)$ 出发使用式 (7.19) 来证明。

同样地，可以证明混合张量 $T=T_j^i{e}_i\otimes {\epsilon }^j$ 的分量具有变换律

$$T_l^{\prime k}=T_j^i{A}_i^k{A}_l^{\prime j}.\text{\hspace{1em}(7.25)}$$

随文练习

证明式（7.25）。

在给出一般张量分量的变换律之前，先建立一种称为 核心指标记法(kernel index notation) 的约定是有益的。在这种记法中，我们用带撇的指标表示变换后的基和对偶基上的指标，即 $\{e_{i^{\prime }}^{\prime }|i^{\prime }=1,\dots ,n\}$ 和 $\{{\epsilon }^{\prime j^{\prime }}|j^{\prime }=1,\dots ,n\}$。在“核”字母 $e$ 和 $\epsilon$ 上加撇本质上是多余的，去掉它们几乎不会损失什么含义，只需将变换后的基写作 $e_{i^{\prime }}$ 和 ${\epsilon }^{j^{\prime }}$。该约定甚至可以更进一步，要求带撇的指标在一个自然数的指标集 $i^{\prime }=1^{\prime },\dots ,n^{\prime }$ 上取值。这些做法可能显得有些古怪，也可能造成混淆。因此，我们只采用一种“半成熟”的核心指标记法，其关键要求是对变换后的量使用带撇的指标。核心指标记法的主要优点是使张量的变换律更容易记忆。

现在，我们将基变换写为如下形式，而不是式（7.19）

$$e_i=A_i^{i^{\prime }}{e}_{i^{\prime }}^{\prime },e_{j^{\prime }}^{\prime }=A_{j^{\prime }}^j{e}_j\text{\hspace{1em}(7.26)}$$

其中矩阵阵列 $\mathsf{A}=[A_i^{j^{\prime }}]$ 总是将带撇指标写在右上标位置，而其逆 ${\mathsf{A}}^{-1}=[A^{\prime k}{}_{j^{\prime }}]$ 则将带撇指标作为下标。它们之间的这些关系式，即式 (7.20)，现在写为

$$A_{j^{\prime }}^{\prime k}{A}_i^{j^{\prime }}={\delta }_i^k,A_k^{j^{\prime }}{A}_{i^{\prime }}^{\prime k}={\delta }_{i^{\prime }}^{j^{\prime }},\text{\hspace{1em}(7.27)}$$

它们代替了式（7.20）。

对偶基满足

$${\epsilon }^{\prime i^{\prime }}(e_{j^{\prime }}^{\prime })={\delta }_{j^{\prime }}^{i^{\prime }}$$

并与原基通过式（7.21）相联系，该式读作

$${\epsilon }^i=A_{j^{\prime }}^{\prime i}{\epsilon }^{\prime j^{\prime }},{\epsilon }^{\prime i^{\prime }}=A_j^{i^{\prime }}{\epsilon }^j.\text{\hspace{1em}(7.28)}$$

向量与余向量的变换律式 (7.22) 被替换为

$$v^{\prime i^{\prime }}=A_j^{i^{\prime }}{v}^j,w_{j^{\prime }}^{\prime }=A_{j^{\prime }}^{\prime i}{w}_i.\text{\hspace{1em}(7.29)}$$

随文练习

若$e_1=e_1^{\prime }+e_2^{\prime },e_2=e_2^{\prime }$是二维向量空间$V$,上的一个基变换，写出矩阵$[A_j^{i^{\prime }}]$和$[A^{\prime i}]$，以及逆变向量$v^i$和协变向量$w_j$的分量的变换方程。

张量变换律式 (7.23)、式 (7.24) 和 (7.25) 可替换为

$$\begin{array}{r}{T}^{\prime i^{\prime }{j}^{\prime }}=A_i^{i^{\prime }}{A}_j^{j^{\prime }}{T}^{ij},\\ T_{i^{\prime }{j}^{\prime }}^{\prime }=A_{i^{\prime }}^{\prime i}{A}_{j^{\prime }}^{\prime j}{T}_{ij},\\ T_{k^{\prime }}^{\prime i^{\prime }}=A_i^{i^{\prime }}{A}_{k^{\prime }}^{\prime k}{T}_k^i.\end{array}$$

当变换律用这种记法表示时，指标的位置立即决定了应当使用 $A_i^{i^{\prime }}$ 还是 ${{\mathbf{A}}^{\prime }}_{j^{\prime }}^j$，因为只有其中之一才会给出遵循求和约定与核心指标记法惯例的公式。

随文练习

证明张量 $\delta$ 的分量在所有基中都相同，通过

(a) 证明 $e_i\otimes {\epsilon }^i=e_{i^{\prime }}^{\prime }\otimes {\epsilon }^{\prime i^{\prime }}$，并且

(b) 使用变换定律式 (7.25)。

现在令 $T$ 为类型 $(r,s)$ 的一般张量

$$T=T_{j_1\dots j_s}^{i_1\dots i_r}{e}_{i_1}\otimes \cdots \otimes e_{i_r}\otimes {\epsilon }^{j_1}\otimes \cdots \otimes {\epsilon }^{j_s}$$

其中

$$T_{j_1\dots j_s}^{i_1\dots i_r}=T({\epsilon }^{i_1},\dots ,{\epsilon }^{i_r},e_{j_1},\dots e_{j_s}).$$

逆变指标与协变指标之间在间距上的分隔并非严格必要，但这样做部分是为了视觉展示，同时也是为了预示一种进一步的操作，称为“指标的升降”，这在内积空间中是可用的。$T$的分量的变换由下式给出

$$\begin{array}{rl}& T_{j_1^{\prime },\dots ,j_s^{\prime }}^{\prime i_1^{\prime },\dots ,i_r^{\prime }}=T({\epsilon }^{\prime i_1^{\prime }},\dots ,{\epsilon }^{\prime i_r^{\prime }},e_{j_1^{\prime }}^{\prime },\dots ,e_{j_s^{\prime }}^{\prime })\\ & =T(A_{i_1}^{i_i^{\prime }}{\epsilon }^{i_1},\dots ,A_{i_r}^{i_r^{\prime }}{\epsilon }^{i_r},A_{j_1^{\prime }}^{\prime j_1},\dots ,A_{j_s^{\prime }}^{\prime j_s}{e}_{j_s})\\ & =A_{i_1}^{i_1^{\prime }}\dots A_{i_r}^{i_r^{\prime }}{A}_{j_1^{\prime }}^{\prime j_1}\dots A_{j_s^{\prime }}^{\prime j_s}{T}_{j_1\dots j_s}^{i_1\dots i_r}.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.30)}$$

分量的一般张量变换律只是将式 (7.29) 中给出的逆变变换律和协变变换律分别对每个逆变指标和协变指标重复一次。最终公式 (7.30) 紧凑地表示了一个多重求和，即使在相当简单的情形下，它也能表示数量极其庞大的项。例如在四维情形下，一个 (3, 2) 型张量有 $4^{3+2}=1024$ 个分量。因此其变换律由 1024 个独立的公式组成，其中每个公式都含有一个 1024 项的求和，而这些项本身又是六个带指标对象的乘积。若把所有指标以及指标上的撇号都计入，所用符号的总数将相当于约 20 本典型书籍中出现的符号数。

习题

习题 7.10

设 $e_1,e_2$ 与 $e_3$ 为向量空间 $V$ 的一个基，而 $e_{i^{\prime }}^{\prime }$ 是由下式给出的第二个基

$$\begin{array}{l}{e}_1^{\prime }=e_1-e_2,\\ e_2^{\prime }=e_3,\\ e_3^{\prime }=e_1+e_2.\end{array}$$

(a) 展示变换矩阵 ${\mathsf{A}}^{\prime }=[A_{i^{\prime }}^{\prime i}]$

(b) 用 $e_{i^{\prime }}^{\prime }$ 表示原基 $e_i$，并写出变换矩阵 $\mathsf{A}=[A_j^{j^{\prime }}]$

(c) 用新的对偶基 ${\epsilon }^{\prime }{i}^{\prime }$ 表示旧的对偶基 ${\epsilon }^i$，并反之。

(d) 张量 $T=e_1\otimes e_2+e_2\otimes e_1+e_3\otimes e_3$ 和 $S=e_1\otimes {\epsilon }^1+3e_1\otimes {\epsilon }^3-2e_2\otimes {\epsilon }^3-e_3\otimes {\epsilon }^1+4e_3\otimes {\epsilon }^2$ 在基 $e_i$ 及其对偶基下的分量是什么？

(e) 这些张量在基 $e_{i^{\prime }}^{\prime }$ 及其对偶基下的分量是什么？

习题 7.11

设 $V$ 是一个维数为 3 的向量空间，基为 $e_1,e_2,e_3$。设 $T$ 是秩为 2 的逆变张量，它在该基下的分量为 $T^{ij}={\delta }^{ij}$；并设 $S$ 是秩为 2 的协变张量，它在该基下的分量由 $S_{ij}={\delta }_{ij}$ 给出。在由下式定义的新基 $e_1^{\prime },e_2^{\prime },e_3^{\prime }$ 中

$$\begin{array}{l}{e}_1^{\prime }=e_1+e_3\\ e_2^{\prime }=2e_1+e_2\\ e_3^{\prime }=3e_2+e_3\end{array}$$

计算分量$T^{\prime i^{\prime }{j}^{\prime }}$和$S_{i^{\prime }{j}^{\prime }}^{\prime }$

习题 7.12

设 $T:V\to V$ 是向量空间 $V$. 上的线性算符。证明由式 (3.6) 给出的其分量 $T_j^i$ 是由下式定义的张量 $\hat{T}$ 的分量：

$$\hat{T}(\omega ,v)=⟨\omega ,Tv⟩.$$

证明它们也是由 $T^{\ast }:V^{\ast }\to V^{\ast }$ 定义的线性算符关于对偶基的分量

$$⟨T^{\ast }\omega ,v⟩=⟨\omega ,Tv⟩.$$

证明类型为 $(r,s)$ 的张量与从 $V^{(s,0)}$ 到 $V^{(r,0)}$ 的线性映射一一对应，或等价地，与从 $V^{(0,r)}$ 到 $V^{(0,s)}$ 的线性映射一一对应

习题 7.13

设 $T:V\to V$ 是向量空间 $V$ 上的一个线性算符。证明通过式 (3.6) 定义的其分量 $T_j^i$ 在任意基变换下按照 (1,1) 阶张量的分量方式变换。

习题 7.14

直接由式 (7.14) 和分量 $g_{ij}$ 的变换律证明

$$g_{j^{\prime }{k}^{\prime }}^{\prime }=g_{jk}{A}_{j^{\prime }}^{\prime j}{A}_{k^{\prime }}^{\prime k},$$

逆度量张量$g^{ij}$的分量按2阶逆变张量变换，

$$g^{\prime i^{\prime }{k}^{\prime }}=A_l^{i^{\prime }}{g}^{lk}{A}_k^{k^{\prime }}.$$