7.2 多重线性映射与张量

English

张量积的对偶表示给出了张量空间与张量积的一种替代定义。这一方法的关键在于 第 3.7 节中的观察：每个有限维向量空间 $V$ 都与 $V^{\ast \ast }$ 具有自然同构，其中向量 $v$ 通过该等同作为 $V^{\ast }$ 上的线性泛函起作用

$$v(\omega )=\omega (v)=⟨v,\omega ⟩=⟨\omega ,v⟩.$$

$(r,s)$ 型多重线性映射与张量空间

设 $V_1,V_2,\dots ,V_N$ 为域 $\mathbb{R}$ 上的向量空间。一个映射

$$T:V_1\times V_2\times \cdots \times V_N\to \mathbb{R}$$

若它关于每个自变量分别都是线性的，则称其为多重线性映射(multilinear map)，

$$\begin{array}{c}T(v_1,\dots ,v_{i-1},a{v}_i+b{v}_i^{\prime },\dots ,v_N)\\ =aT(v_1,\dots ,v_{i-1},v_i,\dots ,v_N)+bT(v_1,\dots ,v_{i-1},v_i^{\prime },\dots ,v_N).\end{array}$$

多重线性映射可以按通常方式相加并与标量相乘，

$$(aT+bS)(v_1,v_2,\dots ,v_s)=aT(v_1,v_2,\dots ,v_s)+bS(v_1,v_2,\dots ,v_s),$$

并且构成一个向量空间，记作

$$V_1^{\ast }\otimes V_2^{\ast }\otimes \cdots \otimes V_N^{\ast },$$

称为对偶空间的张量积 $V_1^{\ast },V_2^{\ast },\dots ,V_N^{\ast }$。当 $N=1$ 时，“多重线性”一词直接替换为“线性”一词，且记号与第 3.7 节中定义的对偶空间 $V^{\ast }$ 的概念一致，后者是 $V$ 上线性泛函的集合。若将每个向量空间 $V_i$ 与其二次对偶 $V_i^{\ast \ast }$ 等同，则向量空间 $V_1,V_2,\dots ,V_N$ 的张量积，记作 $V_1\otimes V_2\otimes \cdot \cdot \cdot \otimes V_N$，是从 $V_1^{\ast }\times V_2^{\ast }\times \cdots \times V_N^{\ast }$ 到 $\mathbb{R}$ 的多重线性映射的集合。

设 $V$ 是域 $\mathbb{R}$ 上维数为 $n$ 的向量空间。设定

$$V_1=V_2=\cdots =V_r=V^{\ast },V_{r+1}=V_{r+2}=\cdots =V_{r+s}=V,\text{ where }N=r+s,$$

我们称任何多重线性映射为

$$T:\underset{r}{\underbrace{V^{\ast }\times V^{\ast }\times \cdots \times V^{\ast }}}\times \underset{s}{\underbrace{V\times V\times \cdots \times V}}\to \mathbb{R}$$

作为 $V$ 上类型为 $(r,s)$ 的张量。 整数 $r\ge 0$ 称为 $T$ 的 逆变次数(contravariant degree)，而 $s\ge 0$ 则称为 协变次数(covariant degree)。 类型为 $(r,s)$ 的张量的向量空间是

记为

$$V^{(r,s)}=\underset{r}{\underbrace{V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}}\otimes \underset{s}{\underbrace{V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes \cdots \otimes V^{\ast }}}.$$

这个定义本质上等价于 第 7.1 节中定义的表示的对偶表示。两个定义都完全“自然”，因为它们都不需要在向量空间 $V$ 上选择基。

通常设定 $V^{(0,0)}=\mathbb{R}$ ；即，类型为 (0, 0) 的张量将被视为标量。类型为 (0, 1) 的张量是线性泛函（余向量）

$$V^{(0,1)}\equiv V^{\ast },$$

而 (1, 0) 型的张量可视为普通向量

$$V^{(1,0)}\equiv V^{\ast \ast }\equiv V.$$

2阶协变张量

(0, 2) 型张量是一个双线性映射 $T:V\times V\to \mathbb{R}$。按照 第 7.1 节的术语，这样的张量可以称为 $V$ 上的 2 阶协变张量。对每个变元的线性性可表述为

$$T(av+bw,u)=aT(v,u)+bT(w,u)\text{ and }T(v,au+bw)=aT(v,u)+bT(v,w).$$

若 $\omega$、$\rho \in V^{\ast }$ 是 $V$ 上的线性泛函，则其张量积 $\omega \otimes \rho$ 是由下式定义的 2 阶协变张量

$$\omega \otimes \rho (u,v)=\omega (u)\rho (v).$$

关于第一个参数的线性性可由

$$\begin{array}{l}\omega \otimes \rho (au+bv,w)=\omega (au+bv)\rho (w)\\ =(a\omega (u)+b\omega (v))\rho (w)\\ =a\omega (u)\rho (w)+b\omega (v)\rho (w)\\ =a\omega \otimes \rho (u,w)+b\omega \otimes \rho (v,w).\end{array}$$

类似的论证可证明在第二个自变量$v$中的线性性。

例 7.3

张量积不是可交换运算，因为一般地 $\omega \otimes \rho \ne$ $\rho \otimes \omega$ 。例如，设 $e_1,e_2$ 是二维向量空间 $V$, 的一组基，并设 ${\epsilon }^1{\epsilon }^2$ 是 $V^{\ast }$ 的对偶基。如果

$$\omega =3{\epsilon }^1+2{\epsilon }^2,\rho ={\epsilon }^1-{\epsilon }^2$$

那么

$$\begin{array}{c}\omega \otimes \rho (u,v)=\omega (u^1{e}_1+u^2{e}_2)\rho (v^1{e}_1+v^2{e}_2)\\ =(3u^1+2u^2)(v^1-v^2)\\ =3u^1{v}^1-3u^1{v}^2+2u^2{v}^1-2u^2{v}^2\end{array}$$

和

$$\begin{array}{l}\rho \otimes \omega (u,v)=(u^1-u^2)(3v^1+3v^2)\\ =3u^1{v}^1+2u^1{v}^2-3u^2{v}^1-2u^2{v}^2\\ \ne \omega \otimes \rho (u,v).\end{array}$$

更一般地，设 $e_1,\dots ,e_n$ 是向量空间 $V$ 的一组基，而 ${\epsilon }^1,\dots ,{\epsilon }^n$ 是它的对偶基，定义为

$${\epsilon }^i(e_j)=⟨{\epsilon }^i,e_j⟩={\delta }_j^i(i,j=1,\dots ,n).\text{\hspace{1em}(7.6)}$$

定理 7.1 · 二阶协变张量空间的基 (A basis of the space of covariant tensors of degree two)

张量积

$${\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j(i,j=1,\dots ,n)$$

构成向量空间 $V^{(0,2)}$ 的一个基，因此其维数为 $n^2$

证明

张量${\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j(i,j=1,...,n)$线性无关，因为如果

$$a_{ij}{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j\equiv \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j=0,$$

那么对于每个 $1\le k,l\le n$，

$$0=a_{ij}{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j(e_k,e_l)=a_{ij}{\delta }_k^i{\delta }_l^j=a_{kl}.$$

此外，如果 $T$ 是任意二阶协变张量，那么

$$T=T_{ij}{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j\text{ where }{T}_{ij}=T(e_i,e_j)\text{\hspace{1em}(7.7)}$$

因为对于 $V$ 中的任意一对向量 $u=u^i{e}_i,v=v^j{e}_j$，

$$\begin{array}{rl}(T-T_{ij}{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j)(u,v)& =T(u,v)-T_{ij}{\epsilon }^i(u){\epsilon }^j(v)\\ & =T(u^i{e}_i,v^j{e}_j)-T_{ij}{u}^i{v}^j\\ & =u^i{v}^j{T}_{e_i,e_j}-T_{ij}{u}^i{v}^j\\ & =u^i{v}^j{T}_{ij}-T_{ij}{u}^i{v}^j=0.\end{array}$$

因此，$n^2$ 个张量 ${\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j$ 线性无关并且张成 $V^{(0,2)}$。它们因此构成 $V^{(0,2)}$ 的一组基——

展开式 $T=T_{ij}{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j$ 中的系数 $T_{ij}$ 由式 (7.7) 右端的表达式唯一给出，因为若 $T=T_{ij}^{\prime }{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j$，则由 ${\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j$ 的线性无关性

$$(T_{ij}^{\prime }-T_{ij}){\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j=0⟹T_{ij}^{\prime }-T_{ij}=0⟹T_{ij}^{\prime }=T_{ij}.$$

它们被称为 $T$ 关于基 $\left\{{\mathbf{e}}_i\right\}$ 的 张量分量(tensor components)。对于任意向量 $\mathbf{u}=u^i{\mathbf{e}}_i,\mathbf{v}=v^j{\mathbf{e}}_j$

$$T(u,v)=T_{ij}{u}^i{v}^j.\text{\hspace{1em}(7.8)}$$

例 7.4

对于例7.3中给出的线性泛函$\omega$和$\rho$，我们可以写出

$$\begin{array}{rl}& \omega \otimes \rho =(3{\epsilon }^1+2{\epsilon }^2)\otimes ({\epsilon }^1-{\epsilon }^2)\\ & =3{\epsilon }^1\otimes {\epsilon }^1-3{\epsilon }^1\otimes {\epsilon }^2+2{\epsilon }^2\otimes {\epsilon }^1-2{\epsilon }^2\otimes {\epsilon }^2\end{array}$$

类似地

$$\rho \otimes \omega =3{\epsilon }^1\otimes {\epsilon }^1+2{\epsilon }^1\otimes {\epsilon }^2-3{\epsilon }^2\otimes {\epsilon }^1-2{\epsilon }^2\otimes {\epsilon }^2.$$

因此，张量积$\omega \otimes \rho$和$\rho \otimes \omega$关于基张量${\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j$的分量可以表示为数组，

$$[(\omega \otimes \rho {)}_{ij}]=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 2& -2\end{array}\right),[(\rho \otimes \omega {)}_{ij}]=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 3& -2\end{array}\right).$$

随文练习

利用前例中的分量 $(\omega \otimes \rho {)}_{12}$ 等，验证关于 $\omega \otimes \rho \left(u,v\right)$ 的公式 (7.8)。对 $\rho \otimes \omega \left(u,v\right)$ 做同样的事

一般地，若 $\omega =w_i{\epsilon }^i$ 且 $\rho =r_j{\epsilon }^j$，则

$$\omega \otimes \rho =(w_i{\epsilon }^i)\otimes (r_j{\epsilon }^j)=w_i{r}_j{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j,$$

而$\omega \otimes \rho$的分量为

$$(\omega \otimes \rho {)}_{ij}=w_i{r}_j.\text{\hspace{1em}(7.9)}$$

这个由分量组成的$n\times n$阵列，是通过取这两个线性泛函所有可能的分量逐分量乘积而形成的。

随文练习

通过计算 $(\omega \otimes \rho {)}_{ij}=(\omega \otimes \rho )(e_i,e_j)$ 证明式 (7.9)

例 7.5

设 $(V,\cdot )$ 为实内积空间，如 第 5.1 节所述。由下式定义的映射 $g:V\times V\to \mathbb{R}$

$$g(u,v)=u\cdot v$$

显然是双线性的，并且是一个2阶协变张量，称为内积的度量张量(metric tensor)。内积的分量$g_{ij}=e_i\cdot e_j=g(e_i,e_j)$是度量张量关于基$\{e_i\}$的分量

$$g=g_{ij}{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j,$$

而两个向量的内积是

$$u\cdot v=g(u,v)=g_{ij}{u}^i{v}^j.$$

度量张量是对称的，

$$g(u,v)=g(v,u).$$

随文练习

证明张量 $T$ 是对称的，当且仅当其分量构成对称数组，

$$T_{ij}=T_{ji}\text{ for all }i,j=1,\dots ,n.$$

例 7.6

设 $T$ 是一个2阶协变张量。定义映射 $\bar{T}:V\to V^{\ast }$ 为

$$⟨\bar{T}v,u⟩=T(u,v)\text{ for all }u,v\in V.\text{\hspace{1em}(7.10)}$$

这里 $\bar{T}(v)$ 已被更简单地记作 $\bar{T}\upsilon$。映射 $\bar{T}$ 显然是线性的，$\bar{T}(au+bv)=a$ $\bar{T}u+b\bar{T}v$，因为

$$⟨\bar{T}(au+bv),w⟩=T(w,au+bv)=aT(w,u)+bT(w,v)=⟨a\bar{T}u+b\bar{T}v,w⟩$$

对所有 $w\in V$ 成立。反之，给定线性映射 $\bar{T}:V\to V^{\ast }$，式 (7.10) 定义了一个张量 $T$，因为如此定义的 $T(u,v)$ 对 $u$ 和 $v$ 均为线性。因此，每个二阶协变张量都可等同于 $L(V,V^{\ast })$ 中的一个元素。

随文练习

在分量中，证明$(\bar{T}v{)}_i=T_{ij}{v}^j$

2阶逆变张量

$V$ 上的 2 阶逆变张量，或 $(2,0)$ 型张量，是 $V^{\ast }$ 上的双线性实值映射 $S$：

$$S:V^{\ast }\times V^{\ast }\to \mathbb{R}.$$

然后，对于所有 $a,b\in \mathbb{R}$ 和所有 $\omega ,\rho ,\theta \in V^{\ast }$

$$S(a\omega +b\rho ,\theta )=aS(\omega ,\theta )+bS(\rho ,\theta )\text{ and }S(\omega ,a\rho +b\theta )=aS(\omega ,\rho )+bS(\omega ,\theta ).$$

若 $u$ 与 $v$ 是 $V$ 中的任意两个向量，则它们的张量积 $u\otimes v$ 是由下式定义的二阶逆变张量

$$u\otimes v(\omega ,\rho )=u(\omega )v(\rho )=\omega (u)\rho (v).\text{\hspace{1em}(7.11)}$$

若 $e_1,\dots ,e_n$ 是向量空间 $V$ 的一组基，其对偶基为 $\{{\epsilon }^j\}$，则正如 $V^{(0,2)}$ 的情形一样，张量 ${\mathbf{e}}_i\otimes {\mathbf{e}}_j$ 构成空间 $V^{(2,0)}$ 的一组基，并且每个二阶逆变张量都有唯一的展开式

$$S=S^{ij}{e}_i\otimes e_j\text{ where }{S}^{ij}=S({\epsilon }^i,{\epsilon }^j).$$

标量$S^{ij}$称为张量$S$关于基$\{e_i\}$的分量

随文练习

给出这些命题的详细证明。

随文练习

证明两个向量的张量积的分量由下式给出

$$(u\otimes v{)}^{ij}=u^i{v}^j.$$

例 7.7

可以将2阶逆变张量与从$V^{\ast }$到$V$的线性映射等同起来。若$S$是(0, 2)型张量，则通过下式定义映射$\bar{S}:V^{\ast }\to V$：

$$(\bar{S}\rho )(\omega )\equiv \omega (\bar{S}\rho )=S(\omega ,\rho )\text{ for all }\omega ,\rho \in V^{\ast }.$$

这一对应是一一对应的证明与例7.6中给出的证明类似。

例 7.8

设 $(V,\cdot )$ 为实内积空间，其度量张量 $g$ 如例 7.5 所定义。设 $\bar{g}:V\to V^{\ast }$ 为由 $g$ 利用例 7.6 所定义的映射，

$$⟨\bar{g}v,u⟩=g(u,v)=u\cdot v\text{ for all }u,v\in V.\text{\hspace{1em}(7.12)}$$

由 第 5.1 节的非奇异性条件 (SP3)，该映射的核为 $\{0\}$，由此可知它是一对一的。此外，由于 $V$ 与 $V^{\ast }$ 的维数相同，$\bar{g}$ 是满射的，因此是可逆的。如例 7.7 所示，其逆 ${\bar{g}}^{-1}:V^{\ast }\to V$ 通过下式定义了一个类型为 (2, 0) 的张量 $g^{-1}$：

$$g^{-1}(\omega ,\rho )=⟨\omega ,{\bar{g}}^{-1}\rho ⟩.$$

由度量张量 $g$ 的对称性和恒等式

$$\bar{g}{\bar{g}}^{-1}={\mathrm{id}}_{V^{\ast }},{\bar{g}}^{-1}\bar{g}={\mathrm{id}}_V$$

由此可知，$g^{-1}$ 也是对称张量，$g^{-1}(\omega ,\rho )=g^{-1}(\rho ,\omega );$

$$\begin{array}{rl}& g^{-1}(\omega ,\rho )=⟨\omega ,{\bar{g}}^{-1}\rho ⟩\\ & =⟨\bar{g}{\bar{g}}^{-1}\omega ,{\bar{g}}^{-1}\rho ⟩\\ & =g({\bar{g}}^{-1}\rho ,{\bar{g}}^{-1}\omega )\\ & =g({\bar{g}}^{-1}\omega ,{\bar{g}}^{-1}\rho )\\ & =⟨\bar{g}{\bar{g}}^{-1}\rho ,{\bar{g}}^{-1}\omega ⟩\\ & =⟨\rho ,{\bar{g}}^{-1}\omega ⟩\\ & =g^{-1}(\rho ,\omega ).\end{array}$$

通常将 逆度量张量(inverse metric tensor) 关于任意基 $\left\{{\mathbf{e}}_i\right\}$ 的分量用符号 $g^{ij}$ 表示，因此

$$g^{-1}=g^{ij}{e}_i\otimes e_j\text{ where }{g}^{ij}=g^{-1}({\epsilon }_i,{\epsilon }_j)=g^{ji}.\text{\hspace{1em}(7.13)}$$

由例 7.6 可得

$$⟨\bar{g}{e}_i,e_j⟩=g(e_j,e_i)=g_{ji},$$

因此

$$\bar{g}(e_i)=g_{ji}{\epsilon }^j.$$

类似地，由例7.7

$$⟨{\bar{g}}^{-1}{\epsilon }^j,{\epsilon }^k⟩=g^{-1}({\epsilon }^k,{\epsilon }^j)=g^{kj}⟹{\bar{g}}^{-1}({\epsilon }^j)=g^{kj}{e}_k.$$

因此

$$e_i={\bar{g}}^{-1}\circ \bar{g}(e_i)={\bar{g}}^{-1}(g_{ji}{\epsilon }^j)=g_{ji}{g}^{kj}{e}_k.$$

由于$\{e_i\}$是$V$的基，或由式(7.6)，我们得出

$$g^{kj}{g}_{ji}={\delta }_i^k,\text{\hspace{1em}(7.14)}$$

而矩阵 $[g^{ij}]$ 与 $[g_{ij}]$ 互为逆。

混合张量

一个协变次数为 1、逆变次数为 1 的张量 $R$ 是一个双线性映射 $R:V^{\ast }\times V\to \mathbb{R}$：

$$\begin{array}{l}R(a\omega +b\rho ,u)=aR(\omega ,u)+bR(\rho ,u)\\ R(\omega ,au+bv)=aR(\omega ,u)+bR(\omega ,v),\end{array}$$

有时称为混合张量(mixed tensor)。此类张量属于(1, 1)型，属于向量空间$V^{(1,1)}$

对于向量 $v\in V$ 和余向量 $\omega \in V^{\ast }$ ，通过下式定义它们的张量积 $v\otimes \omega$ ：

$$v\otimes \omega (\rho ,u)=v(\rho )\omega (u).$$

如前例所示，可以直接证明 $e_i\otimes {\epsilon }^j$ 构成 $V^{(1,1)}$ 的一组基，并且每个混合张量 $R$ 都有唯一的分解

$$R=R_j^i{e}_i\otimes {\epsilon }^j\text{ where }{R}_j^i=R({\epsilon }^i,e_j).$$

例 7.9

每个类型为 (1, 1) 的张量 $R$ 都通过 $\bar{R}:V\to V$ 定义了一个映射

$$⟨\bar{R}u,\omega ⟩\equiv \omega (\bar{R}u)=R(\omega ,u).$$

这样的映射与 (1, 1) 型张量之间存在一一对应，其证明与例 7.6 和 7.7 中给出的证明类似。$V$ 上的算符与 (1, 1) 型张量可以认为本质上是相同的，$V^{(1,1)}\cong L(V,V)$

若$\{e_i\}$是$V$的一个基，则设定

$$\bar{R}{e}_i={\bar{R}}_i^j{e}_j$$

我们有

$$⟨\bar{R}{e}_j,{\epsilon }^i⟩=R({\epsilon }^i,e_j)=R_j^i$$

和

$$⟨\bar{R}{e}_j,{\epsilon }^i⟩=⟨{\bar{R}}_j^k{e}_k,{\epsilon }^i⟩={\bar{R}}_i^k{\delta }_k^i={\bar{R}}_i^j.$$

因此 $R_i^k={\bar{R}}_i^k$，并且由此可得

$$\bar{R}{e}_i=R_i^j{e}_j.$$

与式（3.6）比较可知，混合张量$R$的分量与$V$上关联算符的矩阵分量相同。

随文练习

证明一个类型为 (1, 1) 的张量 $R$ 定义了一个映射 $\tilde{R}:V^{\ast }\to V^{\ast }$

例 7.10

由下式定义映射 $\delta :V^{\ast }\times V\to \mathbb{R}$：

$$\delta (\omega ,v)=\omega (v)=v(\omega )=⟨\omega ,v⟩.$$

该映射对两个自变量显然都是线性的，因此构成一个 (1, 1) 型张量。若 $\mathrm{If}\left\{e_i\right\}$ 是 $V$ 的任意一组基，其对偶基为 $\{{\epsilon }^j\}$，则可以看

$$\delta =e_i\otimes {\epsilon }^i\equiv e_1\otimes {\epsilon }^1+e_2\otimes {\epsilon }^2+\cdots +e_n\otimes {\epsilon }^n$$

因为

$$e_i\otimes {\epsilon }^i(\omega ,v)=e_i(\omega ){\epsilon }^i(v)=w_i{v}^i=\omega (v).$$

$\delta$ 的另一种表达式是

$$\delta =e_i\otimes {\epsilon }^i={\delta }_j^i{e}_i\otimes {\epsilon }^j$$

由此，混合张量 $\delta$ 的分量恰好是克罗内克符号 ${\delta }^i{}_j$。由于本讨论中未对基作任何特定选择，张量 $\delta$ 的分量是“不变的”，即在基变换下不改变。

随文练习

证明：根据例7.9，对应于张量$\delta$的映射$\bar{\delta }:V\to V$是恒等映射。

$$\bar{\delta }={\mathrm{id}}_V.$$

习题

习题 7.7

设 $\bar{T}$ 为由 2 阶协变张量 $T$ 按例 7.6 所定义的线性映射。若 $\{e_i\}$ 是 $V$ 的一组基，而 $\{{\epsilon }^j\}$ 是对偶基，则定义 $\bar{T}$ 关于这些基的分量矩阵为 $[{\bar{T}}_{ji}]$，其中

$$\bar{T}(e_i)={\bar{T}}_{ji}{\epsilon }^j.$$

证明张量 $T$ 在该基下的分量与作为映射的分量 $T_{ij}={\bar{T}}_{ij}$ 相同

类似地，若 $S$ 是二阶逆变张量，而 $\bar{s}$ 是例 7.7 中定义的线性映射，则证明分量 ${\hat{S}}^{ij}$ 与张量分量 $S^{ij}$ 相同

习题 7.8

证明每个类型为 (1, 1) 的张量 $R$ 都通过 $\tilde{R}:V^{\ast }\to V^{\ast }$ 定义了一个映射

$$⟨\tilde{R}\omega ,u⟩=R(\omega ,u)$$

并证明，对于该映射的分量的一个自然定义，${\tilde{R}}_i^k=R_i^k$

习题 7.9

证明：在通过同构将两种张量概念联系起来之后，式 (7.11) 中给出的两个向量 $u\times v$ 的张量积定义与第 7.1 节中给出的定义一致。