5 当引力微弱时

爱因斯坦场方程的优雅性使它在许多物理学家心中占据着特殊的地位。然而，如果你试图求解这些方程，你对它们的任何喜爱之情都将受到严峻的考验。爱因斯坦方程由十个耦合的偏微分方程组成。虽然人们已经知道若干具有高度对称性的重要解，但通解仍然是一个艰巨的挑战。

我们可以通过考虑度规几乎平坦的情形来取得进展。我们取 $\Lambda =0$，并考虑在所谓的近似惯性坐标 $x^{\mu }$ 下具有如下形式的度规

$$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

这里 ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)$ 是闵可夫斯基度规。分量 $h_{\mu \nu }$ 被假定为该度规的小扰动：$h_{\mu \nu }\ll 1$

我们的策略是把爱因斯坦方程展开到小微扰 $h_{\mu \nu }$ 的线性阶。在这一阶上，我们可以把引力看作是在平坦的闵可夫斯基空间 ${\eta }_{\mu \nu }.$ 中传播的对称的“自旋 $2^{\mathfrak{g}}$ 场” $h_{\mu \nu }$。为此，从现在起所有指标都将用 ${\eta }_{\mu \nu }$ 而不是 $g_{\mu \nu }$ 来升降。例如，我们有

$$h^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }^{\nu \sigma }{h}_{\rho \sigma }$$

我们的理论将具有洛伦兹不变性，在该变换下，$x^{\mu }\to {\Lambda }^{\mu }{}_{\nu }{x}^{\nu }$ 以及引力场的变换方式为

$$h^{\mu \nu }(x)\to {\Lambda }_{\rho }^{\mu }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }{h}^{\rho \sigma }({\Lambda }^{-1}x)$$

这样，我们就构造出了一个以平直空间为基础的理论，它开始看起来与我们在物理学中遇到的其他场论非常相似。

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