4.1 爱因斯坦-希尔伯特作用量

我们所有的物理学基本理论都由作用量原理来描述。引力也不例外。此外，微分几何的严格约束极大地限制了我们所能写下的作用量的形式。这些限制保证了作用量是度规本身所固有的东西，而不依赖于我们对坐标的选取。

时空是一个流形 M，其上配备了一个具有洛伦兹号差的度规。作用量是 M 上的一个积分。由2.4.4 节我们知道，要在流形上积分就需要一个体积形式。幸运的是，正如我们已经看到的，度规提供了一个典范的体积形式，我们可以用它乘以任意一个标量函数。既然我们手头只有度规可用，那么最简单的这种（非平凡的）函数就是里奇标量 R。这促使我们考虑下面这个极其简洁的作用量

$$S=\int d^{4}x\sqrt{-g}R\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

这就是爱因斯坦-希尔伯特作用量(Einstein-Hilbert action)。注意，根号下的负号来自我们处于洛伦兹时空这一事实：度规有一个负的本征值，因此它的行列式 $g=\det g_{\mu \nu },$ 为负。

作为一个快速的合理性检验，回想一下里奇张量具有示意性的形式 (3.39) $R\sim \partial \Gamma +\Gamma \Gamma$，而列维-奇维塔联络本身则是 $\Gamma \sim \partial g$。这意味着爱因斯坦-希尔伯特作用量在导数上是二阶的，就像我们在物理学中考虑的绝大多数其他作用量一样。

对爱因斯坦-希尔伯特作用量作变分

我们希望确定由作用量(4.1)导出的欧拉–拉格朗日方程。做法与通常一样：先取某个固定的度规张量$g_{\mu \nu }(x)$，然后考察当我们作如下平移时作用量如何变化

$$g_{\mu \nu }(x)\to g_{\mu \nu }(x)+\delta g_{\mu \nu }(x)$$

把里奇标量写成$R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }.$，爱因斯坦-希尔伯特作用量的变化显然为

$$\delta S=\int d^{4}x\left((\delta \sqrt{-g})g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }+\sqrt{-g}(\delta g^{\mu \nu })R_{\mu \nu }+\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\right)\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

事实证明，用逆度规张量$\delta g^{\mu \nu }$来表示变分会稍微容易一些。这与度规$\delta g_{\mu \nu };$的变分是等价的，二者由下式相联系

$$g_{\rho \mu }{g}^{\mu \nu }={\delta }_{\rho }^{\nu }\Rightarrow (\delta g_{\rho \mu })g^{\mu \nu }+g_{\rho \mu }\delta g^{\mu \nu }=0\Rightarrow \delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \rho }{g}^{\nu \sigma }\delta g_{\rho \sigma }$$

(4.2)中的中间一项已经正比于$\delta g^{\mu \nu }$。下面我们依次处理第一项和第三项。我们将需要下面这个结果：

命题

$\sqrt{-g}$ 的变分由下式给出

$$\delta \sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}{g}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }$$

证明

我们利用这样一个事实：任何可对角化矩阵 A 都满足恒等式

$$\log \det A=\mathrm{tr}\log A$$

这对对角矩阵显然成立。（特征值之积即行列式，而特征值之和即迹。）又因为行列式和迹都在矩阵的相似变换下不变，所以该恒等式对可对角化矩阵也成立。利用这一点，我们有

$$\frac{1}{\det A}\delta (\det A)=\mathrm{tr}(A^{-1}\delta A)$$

把它应用于度规张量，便得到

$$\delta \sqrt{-g}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{-g}}(-g)g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }=\frac{1}{2}\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }$$

再利用 $g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }=-g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }$ 即可得到结果。

至此，我们已经把作用量 (4.2) 的变分写成

$$\delta S=\int d^{4}x\sqrt{-g}\left(R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }\right)\delta g^{\mu \nu }+\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }$$

现在只需处理最后一项。为此，我们利用：

命题

断言：里奇张量的变分是一个全导数

$$\delta R_{\mu \nu }={\nabla }_{\rho }\delta {\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }-{\nabla }_{\nu }\delta {\Gamma }_{\mu \rho }^{\rho }$$

其中

$$\delta {\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }=\frac{1}{2}{g}^{\rho \sigma }\left({\nabla }_{\mu }\delta g_{\sigma \nu }+{\nabla }_{\nu }\delta g_{\sigma \mu }-{\nabla }_{\sigma }\delta g_{\mu \nu }\right)$$

证明

我们先考察克里斯托费尔符号的变分，即 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }.$。首先注意到，尽管克里斯托费尔符号本身不是张量，但变分 $\delta {\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }$ 却是张量。这是因为它是两个克里斯托费尔符号之差：一个用 $g_{\mu \nu }$ 算出，另一个用 $g_{\mu \nu }+\delta g_{\mu \nu }$ 算出。而 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }$ 的变换中多出的那一项导数与度规无关，因此在取差时相互抵消，剩下的对象便如张量一样良好地变换。

这是一个有用的观察。在任意一点 $p\in M$ 处，我们都可以选取正规坐标，使得 ${\partial }_{\rho }{g}_{\mu \nu }=0$，从而相应地有 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }=0$。于是，在变分的线性阶下，克里斯托费尔符号在 $p$ 处的改变量为

$$\begin{array}{rl}& \delta {\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }=\frac{1}{2}{g}^{\rho \sigma }({\partial }_{\mu }\delta g_{\sigma \nu }+{\partial }_{\nu }\delta g_{\sigma \mu }-{\partial }_{\sigma }\delta g_{\mu \nu })\\ & =\frac{1}{2}{g}^{\rho \sigma }({\nabla }_{\mu }\delta g_{\sigma \nu }+{\nabla }_{\nu }\delta g_{\sigma \mu }-{\nabla }_{\sigma }\delta g_{\mu \nu })\end{array}$$

这里我们可以随意把偏导数换成协变导数，因为二者之差只涉及克里斯托费尔符号 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }$，而它在正规坐标下于 $p.$ 处为零。然而，此式的左右两边都是张量，这意味着尽管我们是在正规坐标下导出这一表达式的，它必定在任何坐标系中都成立。此外，点 p 是任意的，因此最终的表达式普遍成立。

接下来我们考察黎曼张量的变分。在正规坐标下，表达式 (3.39) 变为

$$R_{\rho \mu \nu }^{\sigma }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \rho }^{\sigma }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \rho }^{\sigma }$$

其变分为

$$\delta R_{\rho \mu \nu }^{\sigma }={\partial }_{\mu }\delta {\Gamma }_{\nu \rho }^{\sigma }-{\partial }_{\nu }\delta {\Gamma }_{\mu \rho }^{\sigma }={\nabla }_{\mu }\delta {\Gamma }_{\nu \rho }^{\sigma }-{\nabla }_{\nu }\delta {\Gamma }_{\mu \rho }^{\sigma }$$

这里与前面一样，由于我们在克里斯托费尔符号为零的正规坐标下工作，所以把偏导数换成了协变导数。同样，我们最终的表达式联系着两个张量，因此必定在任何坐标系中都成立。对指标作缩并（并保留到领头阶），我们得到

$$\delta R_{\rho \nu }={\nabla }_{\mu }\delta {\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }-{\nabla }_{\nu }\delta {\Gamma }_{\rho \mu }^{\mu }$$

此即所断言的结果。

$\square$

这些计算的结果表明

$$g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }={\nabla }_{\mu }{X}^{\mu }\mathrm{with}{X}^{\mu }=g^{\rho \nu }\delta {\Gamma }_{\rho \nu }^{\mu }-g^{\mu \nu }\delta {\Gamma }_{\nu \rho }^{\rho }$$

于是，作用量 (4.2) 的变分可以写成

$$\delta S=\int d^{4}x\sqrt{-g}\left[\left(R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }\right)\delta g^{\mu \nu }+{\nabla }_{\mu }{X}^{\mu }\right]\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

最后一项是一个全导数，由 3.2.4 节 的散度定理，我们将其忽略。要求作用量取极值，即 $\delta S=0$，便得到运动方程

$$G_{\mu \nu }:=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=0\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

其中 $G_{\mu \nu }$ 是 3.4.1 节 中定义的爱因斯坦张量(Einstein tensor)。这就是无任何物质存在时的爱因斯坦场方程(Einstein field equation)。事实上它们还可以稍作简化：若用 $g^{\mu \nu }$ 缩并 (4.4)，我们会发现必须有 $R=0$。将其代回，真空爱因斯坦方程(vacuum Einstein equation)就只是要求度规是里奇平坦的，

$$R_{\mu \nu }=0\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

这些看似简单的方程蕴含着无穷的惊喜。在后面的内容中我们会遇到其中一些解，特别是 5.2 节 中的引力波以及第 6 章中的黑洞。

在继续之前，先作一点小评论。我们很痛快地丢掉了 (4.3) 中的边界项，这是每当运用变分原理时的标准做法。但事实证明，在广义相对论中有一些情形，我们不该如此漫不经心。在这些情形下，可以更谨慎地引入所谓的吉本斯-霍金边界项。

4.1.1 关于量纲分析的一点插话

就目前的形式来看，(4.1) 中的作用量有点不太对劲：它的量纲不对。这倒不是什么大问题，因为作用量中只有一项，而把作用量乘以一个常数并不会改变经典运动方程。尽管如此，在这一阶段把它弄对还是会有用的。

如果我们取坐标 $x^{\mu }$ 具有长度的量纲，那么度规 $g_{\mu \nu }$ 就必然是无量纲的。里奇标量含有两个空间导数，因此量纲为 $[R]=L^{-2}$。再加上积分测度，作用量 (4.1) 的量纲就是 $[S]=L^2$。然而，作用量应当具有能量 × 时间的量纲（这与 $\hslash )$ 的量纲相同，也就是 $[S]=M{L}^2{T}^{-1}$）。这意味着爱因斯坦-希尔伯特作用量应当乘上一个具有相应量纲的常数。我们取

$$S=\frac{c^3}{16\pi G}\int d^{4}x\sqrt{-g}R$$

其中 c 是光速，G 是牛顿常数，

$$G\approx 6.67\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{kg}}^{-1}{s}^{-2}$$

这个因子不会改变真空中的运动方程，但我们将在4.5 节中看到，它决定了引力场与物质之间耦合的强度，正如我们所预期的那样。

在所有方程里都拖着一大堆基本常数实在麻烦。因此，我们常常采用“自然单位”(natural units)，即把各种常数取为 1。从现在起，我们取 $c=1$。（任何其他 $c,$ 的取值，包括 $3\times 10^8$ 2，都纯属愚蠢。）这意味着长度与时间的单位被等同起来。

不过，对于 $G.$ 的处理，不同领域的学者有不同的约定。相对论学者通常取 $G=1$。既然我们已经取了 $c=1$，就有 $[G]=L{M}^{-1}$。此时再取 $G=1$，就把质量与长度等同起来。在讨论引力现象时这很有用，因为在那里质量往往与长度直接相关。例如，黑洞的施瓦西半径为 $R_s=2GM/c^2$，一旦取 $G=c=1$，它就简化为 $R_s=2M$。

然而，如果你关心的不是引力而是其他现象，那么取 $G=1$ 并不比取费米耦合 $G_F=1$ 更合理（即弱核力的耦合常数）。此时更有用的是选择 $\hslash =1$ 这一约定，它把能量与时间的倒数（也就是频率）等同起来。在这一约定下，牛顿常数的量纲为 $[G]=M^{-2}$。相应的能标被称为（约化）普朗克质量，它由下式给出

$$M_{\mathrm{pl}}^2=\frac{\hslash c}{8\pi G}$$

它约为 $10^{18}\mathrm{GeV}$。这是一个非常高的能标，远远超出我们在实验中探测过的任何范围。这可以归因于引力的微弱。在 $c=\hslash =1$ 下，我们同样可以把爱因斯坦-希尔伯特作用量写成

$$S=\frac{1}{2}{M}_{\mathrm{pl}}^2\int d^{4}x\sqrt{-g}R$$

你也许会忍不住取 $c=\hslash =G=1$。这样一来，我们就没有任何剩余的有量纲量了。这通常是个坏主意，尤其是因为量纲分析是一种强有力的工具，而我们并不想失去它。在这些讲义中，我们只关注引力物理。尽管如此，我们仍会在所有方程中保留 G。

4.1.2 宇宙学常数

我们当初把爱因斯坦-希尔伯特作用量作为能写下的最简单的一项来引入。诚然，它是能给出引力场有趣动力学的最简单的一项，但实际上还有一个更简单的项可以加到作用量中。它来自用体积形式乘以一个常数。所得的作用量为

$$S=\frac{1}{16\pi G}\int d^{4}x\sqrt{-g}(R-2\Lambda )$$

这里 Λ 称为宇宙学常数(cosmological constant)，其量纲为 $[\Lambda ]=L^{-2}$。作用量中的负号来自把拉格朗日量看作 ${}^{66}T-V^{\prime }$：宇宙学常数就相当于势能 V。

像之前那样对作用量变分，现在得到爱因斯坦方程，

$$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=-\Lambda g_{\mu \nu }$$

这一次，如果我们用 $g^{\mu \nu }$ 作缩并，就得到 $R=4\Lambda$。把它代回，存在宇宙学常数时的真空爱因斯坦方程就变为

$$R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }$$

我们将在4.2 节中很快求解这些方程。

高阶导数项

（带宇宙学常数的）爱因斯坦-希尔伯特作用量是我们能写下的最简单的东西，但它并不是唯一可能的选择——至少在我们允许高阶导数项时是如此。例如，含有度规四阶导数的项共有三个，

$$S_{4-\mathrm{deriv}}=\int d^{4}x\sqrt{-g}\left(c_1{R}^2+c_2{R}_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }+c_3{R}_{\mu \nu \rho \sigma }{R}^{\mu \nu \rho \sigma }\right)$$

其中 $c_1,c_2$ 与 $c_3$ 是无量纲常数。对这些常数作一般的选择，会得到更高阶的运动方程，它们没有良定义的初值问题。尽管如此，人们发现可以找到这些项的某些组合，它们恰好能使运动方程保持为二阶。这被称为洛弗洛克定理。在 $d=4$ 维时，这一组合具有相当特殊的拓扑性质：高斯-博内定理的一个推广指出

$$\frac{1}{8{\pi }^2}{\int }_M{d}^{4}x\sqrt{g}\left(R^2-4R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }+R_{\mu \nu \rho \sigma }{R}^{\mu \nu \rho \sigma }\right)=\chi (M)$$

其中 $\chi (M)\in \mathbf{Z}$ 是 M 的欧拉示性数，我们此前已在 (2.35) 中定义过。在洛伦兹号差下，这一曲率项的组合也是一个全导数，不影响经典运动方程。

与任何场论一样，高阶导数项只有在场变化很快时才变得重要。在广义相对论中，对于一切已观测到的物理现象，它们都无关紧要，因此本课程不再进一步讨论它们。

4.1.3 再论微分同胚

这里有一个简单的问题：度规张量 $g_{\mu \nu }?$ 有多少个自由度？由于它是一个对称的 $4\times 4$ 矩阵，我们首先猜是 $\frac{1}{2}\times 4\times 5=10$。

然而，度规张量 $g_{\mu \nu }$ 的分量并非都是物理的。由坐标变换 $x^{\mu }\to {\tilde{x}}^{\mu }(x)$ 相联系的两个度规描述的是同一个物理时空。这意味着，度规的任何一种给定表示中都存在冗余，这种冗余恰好去掉 10 个自由度中的 4 个，只剩下 6 个。

在数学上，这种冗余由微分同胚实现。（我们在2.1.3 节中定义了微分同胚。）给定一个微分同胚 $\varphi :M\to M$，我们就可以用它把 M 上的所有场（包括度规）映为 M 上的一组新场。最终结果与出发点在物理上无法区分：它描述的是同一个系统，只是用了不同的坐标。这类微分同胚类似于麦克斯韦理论与杨-米尔斯理论中熟悉的规范“对称性”。

下面我们更仔细地考察这些微分同胚对路径积分意味着什么。我们考虑一个微分同胚，它把坐标为 $x^{\mu }$ 的点映到一个邻近的点，其坐标为

$$x^{\mu }\to {\tilde{x}}^{\mu }(x)=x^{\mu }+\delta x^{\mu }$$

我们可以把这件事看成一种主动变换：坐标为 $x^{\mu }$ 的点被映到另一个坐标为 $x^{\mu }+\delta x^{\mu }$ 的点；也可以把它看成一种“被动”变换：我们用两套不同的坐标卡来标记同一个点。归根结底，这两种看法殊途同归。这里我们采用被动的视角，原因很简单：我们对改变坐标有丰富的经验。稍后我们会回到主动的图像。

我们可以把这一坐标变换看作是由一个无穷小向量场 $X$ 生成的

$$\delta x^{\mu }=-X^{\mu }(x)$$

度规张量的变换为

$$g_{\mu \nu }(x)\to {\tilde{g}}_{\mu \nu }(\tilde{x})=\frac{\partial x^{\rho }}{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}{g}_{\rho \sigma }(x)$$

对于我们的坐标变换 ${\tilde{x}}^{\mu }=x^{\mu }-X^{\mu }(x)$，其中 $X^{\mu }$ 为无穷小量，我们可以把雅可比矩阵求逆，得到

$$\frac{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}{\partial x^{\rho }}={\delta }_{\rho }^{\mu }-{\partial }_{\rho }{X}^{\mu }\Rightarrow \frac{\partial x^{\rho }}{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}={\delta }_{\mu }^{\rho }+{\partial }_{\mu }{X}^{\rho }$$

其中逆式在变分 X 的领头阶成立。继续在无穷小的意义下计算，我们便得到

$$\begin{array}{rl}& {\tilde{g}}_{\mu \nu }(\tilde{x})=({\delta }_{\mu }^{\rho }+{\partial }_{\mu }{X}^{\rho })({\delta }_{\nu }^{\sigma }+{\partial }_{\nu }{X}^{\sigma })g_{\rho \sigma }(x)\\ & =g_{\mu \nu }(x)+g_{\mu \rho }(x){\partial }_{\nu }{X}^{\rho }+g_{\nu \rho }(x){\partial }_{\mu }{X}^{\rho }\end{array}$$

与此同时，我们可以对等式左边作泰勒展开

$${\tilde{g}}_{\mu \nu }(\tilde{x})={\tilde{g}}_{\mu \nu }(x+\delta x)={\tilde{g}}_{\mu \nu }(x)-X^{\lambda }{\partial }_{\lambda }{\tilde{g}}_{\mu \nu }(x)$$

比较同一点 $x,$ 处的这两个不同的度规，我们发现度规经历了如下的无穷小改变

$$\delta g_{\mu \nu }(x)={\tilde{g}}_{\mu \nu }(x)-g_{\mu \nu }(x)=X^{\lambda }{\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \nu }+g_{\mu \rho }{\partial }_{\nu }{X}^{\rho }+g_{\nu \rho }{\partial }_{\mu }{X}^{\rho }\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

但这正是我们此前见过的东西：它就是度规的李导数。换言之，若沿 $X$ 作用一个无穷小微分同胚，则度规的变化为

$$\delta g_{\mu \nu }=({\mathcal{L}}_{X}g{)}_{\mu \nu }$$

这是合理的：它就像是沿 X 作泰勒展开时的领头项。

事实上，我们还可以把 (4.6) 整理成略有不同的形式。我们把最后两个 $\partial X^{\rho }$ 项中 $X^{\rho }$ 的指标降下来，办法是把度规移入导数之内。这样会多出两项，其中导数作用在度规上，而这两项必须被抵消掉。于是我们剩下

$$\delta g_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{X}_{\nu }+{\partial }_{\nu }{X}_{\mu }+X^{\rho }\left({\partial }_{\rho }{g}_{\mu \nu }-{\partial }_{\mu }{g}_{\rho \nu }-{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \rho }\right)$$

而括号中的这些项正是克里斯托费尔符号，即 $2g_{\rho \sigma }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\sigma }$。由此可知，度规的无穷小改变可以写成

$$\delta g_{\mu \nu }={\nabla }_{\mu }{X}_{\nu }+{\nabla }_{\nu }{X}_{\mu }\text{\hspace{1em}(4.7)}$$

现在我们来看看这对路径积分意味着什么。在度规的一般改变下，爱因斯坦-希尔伯特作用量的变化如(4.3)所示

$$\delta S=\int d^{4}x\sqrt{-g}{G}^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }$$

其中我们已丢弃了边界项。要求对任意变分 $\delta g_{\mu \nu }$ 都有 $\delta S=0$，就给出运动方程 $G^{\mu \nu }=0$。相反，作用量的对称性指的是这样的变分 $\delta g_{\mu \nu }$：对任意度规选择都有 $\delta S=0$。由于微分同胚是（规范）对称性，我们知道作用量在形如(4.7)的改变下不变。利用 $G_{\mu \nu }$ 是对称的这一事实，我们必须有

$$\delta S=2\int d^{4}x\sqrt{-g}{G}^{\mu \nu }{\nabla }_{\mu }{X}_{\nu }=0\mathrm{forall}{X}_{\mu }(x)$$

分部积分之后，我们发现这给出一个熟悉的结果：比安基恒等式

$${\nabla }_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0$$

我们在3.4 节的工作中已经知道比安基恒等式成立，但那里的推导略显繁琐。这里我们将看到，从路径积分的角度看，比安基恒等式是微分同胚不变性的结果。

事实上，这两者相互关联是合理的。粗略地说，爱因斯坦方程$G_{\mu \nu }=0$包含十个独立的方程。但正如我们已经看到的，微分同胚不变性意味着度规张量并没有十个独立的分量，因此人们也许会担心爱因斯坦方程是超定的。所幸，微分同胚也保证了并非所有爱因斯坦方程都相互独立；它们由四个比安基约束相联系。我们看到，事实上，爱因斯坦方程只对度规的六个独立自由度给出六个独立的条件。

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