3.1 度规

在第 1 节中，我们曾非正式地把度规引入为一种测量点与点之间距离的方式。它确实能起到这个作用，但这并不是它最初的目的。实际上，度规是每个向量空间 $T_p(M)$ 上的一个内积。

定义 度规

度规(metric) g 是一个 (0, 2) 张量场，它满足：

• 对称性：$g(X,Y)=g(Y,X)$

• 非退化性：若对任意 $p\in M,g(X,Y){|}_p=0$，对所有 $Y\in T_p(M)$ 都有 $X_p=0$。选定坐标后，我们可以把度规写成

$$g=g_{\mu \nu }(x)d{x}^{\mu }\otimes d{x}^{\nu }$$

对象 $g$ 常被写成线元 $d{s}^2$ 的形式，而这个表达式简写为

$$d{s}^2=g_{\mu \nu }(x)d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$$

这正是我们之前在 (1.4) 中见过的形式。度规分量可以通过把度规作用在一对基元素上求得，

$$g_{\mu \nu }(x)=g\left(\frac{\partial }{\partial x^{\mu }},\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}\right)$$

度规 $g_{\mu \nu }$ 是一个对称矩阵。我们总可以为每个 $T_p(M)$ 选取一组基 $e_{\mu }$，使这个矩阵成为对角矩阵。上面的非退化条件保证这些对角元素中没有一个是零。其中一些为正，一些为负。西尔维斯特惯性定律是代数中的一个定理，它断言正元素与负元素的个数与基的选取无关。（这个定理与惯性毫无关系。不过西尔维斯特认为，既然牛顿可以有一条惯性定律，他也没有理由不能有。）负元素的个数称为度规的符号差。

3.1.1 黎曼流形

在微分几何的大多数应用中，我们关心的是度规张量的所有对角元都为正的流形。配备这种度规的流形称为黎曼流形(Riemannian manifold)。最简单的例子是欧几里得空间 ${\mathbf{R}}^n$，在笛卡尔坐标下，它配备的度规为

$$g=d{x}^1\otimes d{x}^1+\dots +d{x}^n\otimes d{x}^n$$

这个度规的分量就是 $g_{\mu \nu }={\delta }_{\mu \nu }$

一般的黎曼度规使我们能够度量每一点处向量 $X$ 的长度，

$$|X|=\sqrt{g(X,X)}$$

它也使我们能够利用下式度量每一点处任意两个向量 X 与 $Y$ 之间的夹角：

$$g(X,Y)=|X||Y|\cos \theta$$

度规还使我们能够度量 $M.$ 中沿一条曲线从点 p 到点 q 的距离。该曲线由 $\sigma :[a,b]\to M$ 参数化，其中 $\sigma (a)=p$，$\sigma (b)=q$。于是距离为

$$\mathrm{distance}={\int }_a^{b}dt\sqrt{g(X,X){|}_{\sigma (t)}}$$

其中 X 是与该曲线相切的向量场。若曲线的坐标为 $x^{\mu }(t)$，则切向量为 $X^{\mu }=d{x}^{\mu }/dt$，而距离为

$$\mathrm{distance}={\int }_a^{b}dt\sqrt{g_{\mu \nu }(x)\frac{d{x}^{\mu }}{dt}\frac{d{x}^{\nu }}{dt}}$$

重要的是，这一距离并不依赖于曲线的参数化选择；这本质上与我们在1.2 节中证明粒子作用量的重参数化不变性时所做的计算相同。

3.1.2 洛伦兹流形

就广义相对论而言，我们将要处理的流形，其度规张量的对角元中有一个为负。赋有这种度规张量的流形称为洛伦兹的(Lorentzian)。

最简单的洛伦兹度规例子是闵可夫斯基空间。它就是赋有以下度规的 ${\mathbf{R}}^n$

$$\eta =-d{x}^0\otimes d{x}^0+d{x}^1\otimes d{x}^1+\cdots +d{x}^{n-1}\otimes d{x}^{n-1}$$

闵可夫斯基度规的分量为 ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(-1,+1,...,+1)$。正如这个例子所示，在洛伦兹流形上，我们通常让坐标指标 $x^{\mu }$ 从 $0,1,\dots ,n-1$ 取值。

在一般洛伦兹流形上的任意一点 $p$ 处，总可以找到 $T_p(M)$ 的一组标准正交基 $\{e_{\mu }\}$，使得度规张量局部地看起来就像闵可夫斯基度规

$${g_{\mu \nu }|}_p={\eta }_{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

这一事实与等效原理密切相关；我们将在3.3.2 节中描述使我们能够做到这一点的坐标。

事实上，如果我们找到了一组坐标，使得度规张量在 $p,$ 处看起来像闵可夫斯基度规，那么再给出其他坐标也很简单。考虑另一组向量场基，它们之间由下式相联系

$${\tilde{e}}_{\mu }={\Lambda }_{\mu }^{\nu }{e}_{\nu }$$

那么，在这组基下，度规张量的分量为

$${\tilde{g}}_{\mu \nu }={\Lambda }_{\mu }^{\rho }{\Lambda }_{\nu }^{\sigma }{g}_{\rho \sigma }$$

当满足下式时，度规张量在 p 处就保持闵可夫斯基形式

$${\eta }_{\mu \nu }={\Lambda }_{\mu }^{\rho }(p){\Lambda }_{\nu }^{\sigma }(p){\eta }_{\rho \sigma }\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

这正是我们此前在(1.14)中见过的洛伦兹变换的定义式。我们看到，从局部来看——这里所谓局部，是指在一点$p-\mathrm{we}$处——可以重新得到狭义相对论的一些基本特征。不过要注意，如果我们选取坐标，使得度规在某点$p,$处取(3.1)的形式，那么一旦离开$p.$，它很可能就与闵可夫斯基度规不同了。

图16. 点$p,$处的光锥，其中画有三种不同类型的切向量。

度规在局部看起来像闵可夫斯基度规，这一事实意味着我们可以借用狭义相对论中的一些概念。在任意一点$p,$处，向量$X_p\in T_p(M)$若满足$g(X_p,X_p)<0$，就称为类时(timelike)的；若满足$g(X_p,X_p)=0$，就称为类光的；若满足$g(X_p,X_p)>0$，就称为类空的。

于是，在 M 上的每一点处，我们都可以画出光锥，它由该点处的类光切向量构成。每一点处既有指向过去的光锥，也有指向未来的光锥，如图16所示。新颖之处在于，随着我们在流形上移动，这些光锥的方向可以光滑地变化。这就确定了时空的因果结构，而因果结构决定了谁能与谁成为朋友。我们将在后面的课程中进一步讨论这一点。

我们同样可以用度规张量来确定曲线的长度。曲线在一点处的性质，继承自其切向量的性质。若一条曲线的切向量处处为类时的，则称该曲线为类时的。此时，我们同样可以用度规来度量曲线上两点 $p$ 与 $q.$ 之间的距离。给定参数化 $x^{\mu }(t)$，这一距离为

$$\tau ={\int }_a^{b}dt\sqrt{-g_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{dt}\frac{d{x}^{\nu }}{dt}}$$

这称为固有时(proper time)。事实上，它是我们此前见过的东西：它恰好就是质点在度规为 $g_{\mu \nu }$ 的时空中运动时的作用量，即(1.27)

3.1.3 度规的乐趣

无论我们身处黎曼流形还是洛伦兹流形之上，度规都会带来诸多好处。

度规作为同构

首先，度规给出了向量与余向量之间的一个自然同构(natural isomorphism)：对每个 $p,$，有 $g:$ $T_p(M)\to T_p^{\ast }(M)$，其中1-形式由 $g$ 与向量场 $X$ 缩并而成。

在坐标基下，我们写作 $X=X^{\mu }{\partial }_{\mu }$。它被映为一个1-形式，而由于这是一个自然同构，我们也把这个1-形式记作 X。这种记号并不像你想象的那么讨厌；写成分量形式，这个1-形式就是 $X=X_{\mu }d{x}^{\mu }$。于是各分量之间满足

$$X_{\mu }=g_{\mu \nu }{X}^{\nu }$$

物理学家通常说，我们用度规把指标从 $X^{\mu }$ 降到 $X_{\mu }$。但他们心里真正想说的是：“度规给出了一个向量空间与其对偶空间之间的自然同构。”

由于 g 是非退化的，矩阵 $g_{\mu \nu }$ 可逆。我们把它的逆记作 $g^{\mu \nu }$，满足 $g^{\mu \nu }{g}_{\nu \rho }={\delta }_{\rho }^{\mu }$。这里 $g^{\mu \nu }$ 可以看作一个对称的 (2, 0) 张量 $\hat{g}=g^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }\otimes {\partial }_{\nu }$ 的分量。更重要的是，逆度规使我们能够对1-形式升指标，从而还原出原来的切向量，

$$X^{\mu }=g^{\mu \nu }{X}_{\nu }$$

在欧几里得空间中，若采用笛卡尔坐标，度规张量就简单地是 $g_{\mu \nu }={\delta }_{\mu \nu }$，它简单到掩盖了向量与1-形式之间的区别。正因如此，我们五岁时才没有察觉到这两类空间之间的差异。

体积形式

度规还赋予流形 M 一个自然的体积形式。在黎曼流形上，它定义为

$$v=\sqrt{\det g_{\mu \nu }}d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n$$

这个行列式通常就简写为 $\sqrt{g}=\sqrt{\det g_{\mu \nu }}.$。而在洛伦兹流形上，行列式为负，于是我们改用

$$v=\sqrt{-g}d{x}^0\wedge \cdots \wedge d{x}^{n-1}\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

按上述定义，体积形式看起来依赖于坐标。重要的是，它其实并不依赖。为看清这一点，引入另一套坐标 ${\tilde{x}}^{\mu }$，使得

$$d{x}^{\mu }=A_{\nu }^{\mu }d{\tilde{x}}^{\nu }\text{其中}{A}_{\nu }^{\mu }=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}$$

在新坐标下，体积形式中带楔积的那部分变为

$$d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n=A_{{\mu }_1}^1\dots A_{{\mu }_n}^{n}d{\tilde{x}}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{\tilde{x}}^{{\mu }_n}$$

我们可以把这些1-形式重新排成 $d{\tilde{x}}^1$ $\wedge \dots \wedge d{\tilde{x}}^n$ 的顺序。代价是乘上 + $\mathrm{or}-1$，具体取决于 $\{{\mu }_1,\dots ,{\mu }_n\}$ 是 $\{1,\dots ,n\}$ 的偶置换还是奇置换。由于我们对所有指标求和，这等价于对 $\{1,\dots ,n\}$ 的所有置换 π 求和，于是得到

$$\begin{array}{rl}d{x}^1\wedge \dots \wedge d{x}^n& =\sum _{\text{置换}\pi }\text{符号}(\pi )A_{\pi (1)}^1\dots A_{\pi (n)}^{n}d{\tilde{x}}^1\wedge \dots \wedge d{\tilde{x}}^n\\ & =\det (A)d{\tilde{x}}^1\wedge \dots \wedge d{\tilde{x}}^n\end{array}$$

其中，若坐标变换保持定向，则 det $(A)>0$。这个 $\det (A)$ 因子就是在积分中改变测度时常见的雅可比因子。

与此同时，度规分量的变换为

$$g_{\mu \nu }=\frac{\partial {\tilde{x}}^{\rho }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial {\tilde{x}}^{\sigma }}{\partial x^{\nu }}{\tilde{g}}_{\rho \sigma }=(A^{-1}{)}_{\mu }^{\rho }(A^{-1}{)}_{\nu }^{\sigma }{\tilde{g}}_{\rho \sigma }$$

于是行列式变为

$$\det g_{\mu \nu }=(\det A^{-1}{)}^2\det {\tilde{g}}_{\mu \nu }=\frac{\det {\tilde{g}}_{\mu \nu }}{(\det A{)}^2}$$

我们看到 det A 的因子相互抵消，因此体积形式同样可以写成

$$v=\sqrt{|\tilde{g}|}d{\tilde{x}}^1\wedge \cdots \wedge d{\tilde{x}}^n$$

如果把体积形式 (3.3) 写成如下形式，或许会显得更熟悉

$$v=\frac{1}{n!}{v}_{{\mu }_1\dots {\mu }_n}d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_n}$$

这里的分量 $v_{{\mu }_1\dots {\mu }_n}$ 由全反对称对象 ${ϵ}_{{\mu }_1\dots {\mu }_n}$ 给出，其中 ${ϵ}_{1\dots n}=+1$，其余分量则由置换的符号确定，

$$v_{{\mu }_1\dots {\mu }_n}=\sqrt{|g|}{ϵ}_{{\mu }_1\dots {\mu }_n}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

注意，$v_{{\mu }_1\dots {\mu }_n}$ 是一个张量，这意味着 ${ϵ}_{{\mu }_1\dots {\mu }_n}$ 并不能算作张量：它实际上是一个张量除以 $\sqrt{|g|}$。有时人们称它为张量密度(tensor density)。反对称张量密度在物理学的许多地方都会出现。在所有这些场合，都应当把它看作流形上的一个体积形式。（几乎在所有场合，这个体积形式都像这里一样由度规张量产生。）

与其他张量一样，我们可以用度规张量来提升指标，从而构造出所有指标都朝上的体积形式

$$v^{{\mu }_1\dots {\mu }_n}=g^{{\mu }_1{\nu }_1}\dots g^{{\mu }_n{\nu }_n}{v}_{{\nu }_1\dots {\nu }_n}=\pm \frac{1}{\sqrt{|g|}}{ϵ}^{{\mu }_1\dots {\mu }_n}$$

其中，对黎曼流形取 + 号，对洛伦兹流形取 − 号。这里 ${ϵ}^{{\mu }_1\dots {\mu }_n}$ 同样是一个全反对称的张量密度，且 ${ϵ}^{\mathrm{1...}n}=+1$。不过要注意，虽然我们用度规张量提升 $v_{{\mu }_1\dots {\mu }_n}$ 的指标，这一说法对 ${ϵ}_{{\mu }_1\dots {\mu }_n}$ 却并不完全成立：无论指标全部朝下还是全部朝上，它的取值都是 1 或 0。这正反映了它是张量密度而非真正的张量这一事实。

自然体积形式的存在意味着，给定一个度规张量，我们就可以在流形上对任意函数 f 积分。我们有时把它写成

$${\int }_{M}fv={\int }_M{d}^{n}x\sqrt{\pm g}f$$

度规 $\sqrt{\pm g}$ 在流形上给出一个测度，它告诉我们积分时流形的哪些区域比其他区域被赋予更大的权重。

霍奇对偶

在定向流形 M 上，我们可以用全反对称张量 ${ϵ}_{{\mu }_1,\dots ,{\mu }_n}$ 定义一个映射，它把p形式 $\omega \in {\Lambda }^p(M)$ 映为一个 $(n-p)$ 形式，记作 $(\star \omega )\in$ ${\Lambda }^{n-p}(M)$，其定义为

$${\left(\star \omega \right)}_{{\mu }_1\dots {\mu }_{n-p}}=\frac{1}{p!}\sqrt{|g|}{ϵ}_{{\mu }_1\dots {\mu }_{n-p}{\nu }_1\dots {\nu }_p}{\omega }^{{\nu }_1\dots {\nu }_p}\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

这个映射称为霍奇对偶(Hodge dual)。它与坐标的选取无关。

不难验证，

$$\star (\star \omega )=\pm (-1{)}^{p(n-p)}\omega \text{\hspace{1em}(3.6)}$$

其中 + 号对黎曼流形成立，− 号对洛伦兹流形成立。（要证明这一点，先证明 $v^{{\mu }_1...{\mu }_p{\rho }_1...{\rho }_{n-p}}{v}_{{\nu }_1...{\nu }_p{\rho }_1...{\rho }_{n-p}}=$ $\pm p!(n-p)!{\delta }_{[{\nu }_1}^{{\mu }_1}\cdot \cdot \cdot {\delta }_{{\nu }_p]}^{{\mu }_p}$ 是有用的，这里同样对黎曼流形/洛伦兹流形取 ± 号。）

值得回到中学物理，并用我们新工具的眼光来看待它。我们非常习惯于在 ${\mathbf{R}}^3$ 中取两个向量，比如 a 和 b，作叉积得到第三个向量

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\mathbf{c}$$

事实上，这里确实存在分别生活在三个不同空间中的对象，它们由欧几里得度规${\delta }_{\mu \nu }$联系起来。首先，我们用这个度规把向量与1-形式联系起来。于是叉积实际上就是一个楔积，它给出一个2-形式。接着我们再用两次度规：一次借助霍奇对偶把这个2-形式变回1-形式，另一次则把这个1-形式变成向量。当然，我们 15 岁的时候，这些微妙之处一点也没有困扰过我们。但当我们开始考虑带有非平凡度规的弯曲流形时，这些区别就变得重要了。

霍奇对偶使我们能够在每个 ${\Lambda }^p(M)$ 上定义一个内积(inner product)。若 ω、$\eta \in {\Lambda }^p(M)$，我们定义

$$⟨\eta ,\omega ⟩={\int }_M\eta \wedge \star \omega$$

这是合理的，因为 $\star \omega \in {\Lambda }^{n-p}(M)$，所以 η $\wedge \star \omega$ 是一个可以在流形上积分的顶形式。

有了这样的内积，我们也可以开始玩量子力学中熟悉的那类游戏，考察 ${\Lambda }^p(M)$ 上的算符及其伴随。我们在形式空间上引入的唯一算符是外微分，它定义于2.4.1 节。它的伴随由下面的结果给出：

命题

对 $\omega \in {\Lambda }^p(M)$ 与 $\alpha \in {\Lambda }^{p-1}(M)$

$$⟨d\alpha ,\omega ⟩=⟨\alpha ,d^{†}\omega ⟩\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

其中伴随算符 $d^{†}:{\Lambda }^p(M)\to {\Lambda }^{p-1}(M)$ 由下式给出

$$d^{†}=\pm (-1{)}^{np+n-1}\star d\star$$

其中 ± 号同样分别对应于黎曼流形与洛伦兹流形。

证明

这不过是分部积分对微分形式的表述。在闭流形 M 上，斯托克斯定理告诉我们

$$0={\int }_{M}d(\alpha \wedge \star \omega )={\int }_{M}d\alpha \wedge \star \omega +(-1{)}^{p-1}\alpha \wedge d\star \omega$$

第一项正是 $⟨d\alpha ,\omega ⟩$。第二项同样具有内积的形式，它在相差一个符号的意义下与 $⟨\alpha ,\star d\star \omega ⟩$ 成正比。为确定这个符号，注意到 d $\star \omega \in {\Lambda }^{n-p+1}(M)$，于是利用 (3.6) 可得 ⋆ ⋆ d ⋆ $\omega =\pm (-1{)}^{(n-p+1)(p-1)}d\star \omega$ 把这些合在一起便得到

$$⟨d\alpha ,\omega ⟩=\pm (-1{)}^{np+n-1}⟨\alpha ,\star d\star \omega ⟩$$

正如所断言的那样。

3.1.4 霍奇理论一瞥

把 d 与 $d^{†}$ 结合起来，便可构造拉普拉斯算符 $△:{\Lambda }^p(M)\to {\Lambda }^p(M)$，其定义为

$$△=(d+d^{†}{)}^2=d{d}^{†}+d^{†}d$$

其中第二个等号成立是因为 $d^2=d^{†2}=0$。拉普拉斯算符既可以定义在黎曼流形上（此时它是正定的），也可以定义在洛伦兹流形上。这里我们只讨论黎曼流形的情形。

当它作用在函数 $f,$ 上时，有 $d^{†}$ $f=0$（因为 $\star f$ 是最高次形式，故 $d\star f=0)$）。于是只剩下

$$\begin{array}{rl}△(f)& =-\star d\star ({\partial }_{\mu }fd{x}^{\mu })\\ & =-\frac{1}{(n-1)!}\star d(({\partial }_{\mu }f)g^{\mu \nu }\sqrt{|g|}{ϵ}_{\nu {\rho }_1\dots {\rho }_{n-1}}d{x}^{{\rho }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\rho }_{n-1}})\\ & =-\frac{1}{(n-1)!}\star {\partial }_{\sigma }(\sqrt{|g|}{g}^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }f){ϵ}_{\nu {\rho }_1\dots {\rho }_{n-1}}d{x}^{\sigma }\wedge d{x}^{{\rho }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\rho }_{n-1}}\\ & =-\star {\partial }_{\nu }(\sqrt{|g|}{g}^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }f)d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n\\ & =-\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_{\nu }(\sqrt{|g|}{g}^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }f)\end{array}$$

拉普拉斯算符作用在函数上的这种形式，在微分几何的应用中相当常见。

关于满足下式的 p形式 $\gamma$，有一个特别美妙的故事：

$$△\gamma =0$$

这样的形式称为调和形式(harmonic form)。调和形式必定是闭形式，即 $d\gamma =0$，并且是余闭的，即 $d^{†}\gamma =0$。这一点可由下式看出：

$$⟨\gamma ,△\gamma ⟩=⟨d\gamma ,d\gamma ⟩+⟨d^{†}\gamma ,d^{†}\gamma ⟩=0$$

并注意到内积是正定的。

有一些相当漂亮的事实把调和形式的存在性与德拉姆上同调联系起来。流形 M 上调和 p-形式构成的空间记作 ${\mathrm{Harm}}^p(M)$。首先是霍奇分解定理，我们不加证明地叙述如下：紧致黎曼流形上的任意 p-形式 ω 都可以唯一地分解为

$$\omega =d\alpha +d^{†}\beta +\gamma$$

其中 $\alpha \in {\Lambda }^{p-1}(M)$，$\beta \in {\Lambda }^{p+1}(M)$，$\gamma \in {\mathrm{Harm}}^p(M)$。利用这一结果便可证明：

霍奇定理：存在同构

$${\mathrm{Harm}}^p(M)\cong H^p(M)$$

其中 $H^p(M)$ 是如2.4.3 节所引入的德拉姆上同调群。特别地，贝蒂数可以通过数出线性无关的调和形式的个数来计算，

$$B_p=\dim {\mathrm{Harm}}^p(M)$$

证明

首先，我们来说明任意一个调和形式 γ 都给出了 $H^p(M)$ 的一个代表元。正如上面所见，任意调和 p-形式都是闭形式，即 $d\gamma =0$，因此 $\gamma \in Z^p(M)$。但霍奇分解定理的唯一性告诉我们，对某个 $\beta$ 有 $\gamma \ne d\beta$。

其次，我们需要说明任意一个等价类 $[\omega ]\in H^p(M)$ 都可以由某个调和形式来代表。我们将 $\omega =d\alpha +d^{†}\beta +\gamma$ 分解。按定义，$[\omega ]\in H^p(M)$ 意味着 $d\omega =0$，于是我们有

$$0=⟨d\omega ,\beta ⟩=⟨\omega ,d^{†}\beta ⟩=⟨d\alpha +d^{†}\beta +\gamma ,d^{†}\beta ⟩=⟨d^{†}\beta ,d^{†}\beta ⟩$$

其中最后一步我们“分部积分”，并利用了 ddα $=d\gamma =0$ 这一事实。由于内积是正定的，必有 $d^{†}\beta =0$，从而 $\omega =\gamma +d\alpha$。$[\omega ]\in H^p(M)$ 的任意另一个代表元 $\tilde{\omega }\sim \omega$ 与之相差 $\tilde{\omega }=\omega +d\eta$，因此由霍奇分解定理，它对应同一个调和形式 $\gamma$。□

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