1.6 标量场的量子化

1.6.1 自由标量场

前几节所作的分析可以很容易地推广到具有许多自由度的情况。我们特别感兴趣的是具有无穷多个自由度的系统，即量子场论(quantum field theory)（QFT）。下面从最简单的情形，也就是标量场论，开始我们的论述。设$\varphi (x)$是时空坐标$x=(x,x^0)$处的实标量场，其中$x$是空间坐标，$x^0$是时间坐标。作用量依赖于$\varphi$及其导数${\partial }_{\mu }\varphi (x)=\partial \varphi (x)/\partial x^{\mu }$：

$$S=\int \mathrm{d}x\mathcal{L}(\varphi ,{\partial }_{\mu }\varphi ).\text{\hspace{1em}(1.207)}$$

这里$\mathcal{L}$是拉格朗日密度。欧拉-拉格朗日方程现在取如下形式

$$\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left({\partial }_{\mu }\varphi \right)}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi }=0.\text{\hspace{1em}(1.208)}$$

自由标量场的拉格朗日密度为

$${\mathcal{L}}_0(\varphi ,{\partial }_{\mu }\varphi )=-\frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi +m^2{\varphi }^2\right).\text{\hspace{1em}(1.209)}$$

由该拉格朗日密度导出的欧拉-拉格朗日方程就是克莱因-戈尔登方程(Klein-Gordon equation)

$$(\square -m^2)\varphi =0,\text{\hspace{1em}(1.210)}$$

其中$\square ={\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu }=-{\partial }_0^2+{\nabla }^2$

在存在源$J$时，真空到真空的振幅具有路径积分表示$⟨0,\infty |0,-\infty {⟩}^J\propto Z_0[J]$，其中

$$Z_0[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left[i\int dx\left({\mathcal{L}}_0+J\varphi +\frac{\mathrm{i}}{2}\epsilon {\varphi }^2\right)\right]\text{\hspace{1em}(1.211)}$$

其中加入了 $\mathrm{i}\epsilon$ 项来对路径积分作正则化。¹ 分部积分给出

$$Z_0[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left[\mathrm{i}\int \mathrm{d}x\left(\frac{1}{2}\left\{\varphi \left(\square -m^2\right)\varphi +\mathrm{i}\epsilon {\varphi }^2\right\}+J\varphi \right)\right].\text{\hspace{1em}(1.212)}$$

设 ${\varphi }_{\mathrm{c}}$ 为存在源时克莱因-戈尔登方程的经典解，

$$\left(\square -m^2+\mathrm{i}\epsilon \right){\varphi }_{\mathrm{c}}=-J.\text{\hspace{1em}(1.213)}$$

容易求得其解为

$${\varphi }_{\mathrm{c}}(x)=-\int \mathrm{d}y\Delta (x-y)J(y)\text{\hspace{1em}(1.214)}$$

其中 $\Delta (x-y)$ 是费曼传播子

$$\Delta (x-y)=\frac{-1}{(2\pi {)}^d}\int {\mathrm{d}}^{d}k\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k(x-y)}}{k^2+m^2-\mathrm{i}\epsilon }.\text{\hspace{1em}(1.215)}$$

这里 $d$ 表示时空维数。注意 $\Delta (x-y)$ 满足

$$(\square -m^2+\mathrm{i}\epsilon )\Delta (x-y)={\delta }^d(x-y).$$

容易证明（见习题），泛函 $Z_0[J]$ 现在可以写成

$$Z_0[J]=Z_0[0]\exp \left[-\frac{\mathrm{i}}{2}\int \mathrm{d}x\mathrm{d}yJ(x)\Delta (x-y)J(y)\right].\text{\hspace{1em}(1.216)}$$

值得注意的是，反过来，传播子也可由 $Z_0[J]$ 的泛函导数得到，

$$\Delta (x-y)=\frac{\mathrm{i}}{Z_0[0]}{\frac{{\delta }^2{Z}_0[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}|}_{J=0}.\text{\hspace{1em}(1.217)}$$

振幅 $Z_0[0]$ 是无源时的真空到真空的振幅，可按如下方式计算。引入虚时间 $x^4=\tau =\mathrm{i}{x}^0$，于是得到

$$\begin{array}{rl}{Z}_0[0]& =\int \bar{\mathcal{D}}\varphi \exp \left[\frac{1}{2}\int \mathrm{d}x\varphi (\bar{\square }-m^2)\varphi \right]\\ & ={\left[\mathrm{Det}\left(\bar{\square }-m^2\right)\right]}^{-1/2},\end{array}\text{\hspace{1em}(1.218)}$$

其中 $\bar{\square }={\partial }_{\tau }^2+{\nabla }^2$，而这里的行列式按1.4 节的意义理解，即它是带有相应边界条件的特征值之积。

自由复标量场论具有拉格朗日密度

$${\mathcal{L}}_0=-{\partial }_{\mu }{\varphi }^{\ast }{\partial }^{\mu }\varphi -m^2|\varphi {|}^2+J{\varphi }^{\ast }+J^{\ast }\varphi \text{\hspace{1em}(1.219)}$$

其中已包含源项。此时生成泛函由下式给出

$$\begin{array}{rl}{Z}_0[J,J^{\ast }]& =\int \mathcal{D}\varphi \mathcal{D}{\varphi }^{\ast }\exp \left[\mathrm{i}\int \mathrm{d}x({\mathcal{L}}_0-\mathrm{i}\epsilon |\varphi {|}^2)\right]\\ & =\int \mathcal{D}\varphi \mathcal{D}{\varphi }^{\ast }\exp \left[\mathrm{i}\int \mathrm{d}x\left\{{\varphi }^{\ast }(\square -m^2+\mathrm{i}\epsilon )\varphi +J^{\ast }\varphi +J{\varphi }^{\ast }\right\}\right].\end{array}\text{\hspace{1em}(1.220)}$$

此时传播子由下式给出

$$\Delta (x-y)=\frac{\mathrm{i}}{Z_0[0,0]}\frac{{\delta }^2{Z}_0[J,J^{\ast }]}{\delta J^{\ast }(x)\delta J(y)}{|}_{J=J^{\ast }=0}.\text{\hspace{1em}(1.221)}$$

代入克莱因-戈尔登方程

$$\left(\square -m^2\right){\varphi }_{\mathrm{c}}=-J\left(\square -m^2\right){\varphi }_{\mathrm{c}}^{\ast }=-J^{\ast }\text{\hspace{1em}(1.222)}$$

我们可将生成泛函分离为

$$Z_0[J,J^{\ast }]=Z_0[0,0]\exp \left[-\mathrm{i}\int \mathrm{d}x\mathrm{d}y{J}^{\ast }(x)\Delta (x-y)J(y)\right]\text{\hspace{1em}(1.223)}$$

其中

$$\begin{array}{rl}{Z}_0[0,0]& =\int \mathcal{D}\varphi \mathcal{D}{\varphi }^{\ast }\exp \left[-\mathrm{i}\int \mathrm{d}x{\varphi }^{\ast }(\square -m^2-\mathrm{i}\epsilon )\varphi \right]\\ & ={\left[\mathrm{Det}\left(\bar{\square }-m^2\right)\right]}^{-1}.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.224)}$$

最后一行已作了 Wick 转动。

1.6.2 相互作用标量场

可以在自由场拉格朗日量(1.209)中加入相互作用项，

$$\mathcal{L}(\varphi ,{\partial }_{\mu }\varphi )={\mathcal{L}}_0(\varphi ,{\partial }_{\mu }\varphi )-V(\varphi ).\text{\hspace{1em}(1.225)}$$

$V(\varphi )$ 的可能形式受到理论的对称性与可重整性的限制。$V$ 的典型形式是一个多项式

$$V(\varphi )=\frac{g}{n!}{\varphi }^n(n\ge 3,n\in \mathbb{N})$$

其中常数 $g\in \mathbb{R}$ 控制相互作用的强度。生成泛函(generating functional)的定义与自由理论类似，即

$$Z[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left[\mathrm{i}\int \mathrm{d}x\left\{\frac{1}{2}\varphi \left(\square -m^2\right)\varphi -V(\varphi )+J\varphi \right\}\right].\text{\hspace{1em}(1.226)}$$

$V(\varphi )$ 的出现使情况稍微复杂一些。至少可以用微扰的方式处理它，即

$$\begin{array}{rl}& Z[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left[-\mathrm{i}\int \mathrm{d}xV(\varphi )\right]\exp \left[\mathrm{i}\int \mathrm{d}x\{{\mathcal{L}}_0+J\varphi \}\right]\\ & =\exp \left[-\mathrm{i}\int \mathrm{d}xV\left(\frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\delta }{\delta J(x)}\right)\right]\int \mathcal{D}\varphi \exp \left[\mathrm{i}\int \mathrm{d}x\{{\mathcal{L}}_0+J\varphi \}\right]\\ & =\exp \left[-\mathrm{i}\int \mathrm{d}xV\left(\frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\delta }{\delta J(x)}\right)\right]Z_0[J]\\ & =\sum _{k=0}^{\infty }\int \mathrm{d}{x}_1\cdots \int \mathrm{d}{x}_k\frac{(-\mathrm{i}{)}^k}{k!}\\ & \times V\left(\frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\delta }{\delta J\left(x_1\right)}\right)\dots V\left(\frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\delta }{\delta J\left(x_k\right)}\right)Z_0[J].\end{array}\text{\hspace{1em}(1.227)}$$

生成泛函 $Z[J]$ 生成场算符的 $T$ 乘积的真空期望值，该期望值也称为格林函数(Green function) $G_n(x_1,\dots ,x_n)$，即

$$\begin{array}{rl}& G_n\left(x_1,\dots ,x_n\right)\equiv ⟨0|T[\varphi (x_1)\dots \varphi (x_n)]|0⟩\\ & ={\frac{(-\mathrm{i}{)}^n{\delta }^n}{\delta J(x_1)\dots \delta J(x_n)}Z[J]|}_{J=0}.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.228)}$$

由于这是 $Z[J]$ 在 $J=0$ 附近的第 $n$ 阶泛函导数，我们便得到 $Z[J]$ 的泛函泰勒展开式

$$\begin{array}{rl}Z[J]& =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n!}\left[\prod _{i=1}^n\int \mathrm{d}{x}_{i}J(x_i)\right]⟨0|T[\varphi (x_1)\dots \varphi (x_n)]|0⟩\\ & =⟨0|T{\mathrm{e}}^{\int \mathrm{d}xJ(x)\varphi (x)}|0⟩.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.229)}$$

连通 $n$ 点函数由 $W[J]$ 生成，其定义为

$$Z[J]={\mathrm{e}}^{-W[J]}.\text{\hspace{1em}(1.230)}$$

有效作用 $\Gamma [{\varphi }_{\mathrm{cl}}]$ 由勒让德变换(Legendre transformation)定义为

$$\Gamma \left[{\varphi }_{\mathrm{cl}}\right]\equiv W[J]-\int \mathrm{d}\tau \mathrm{d}xJ{\varphi }_{\mathrm{cl}}\text{\hspace{1em}(1.231)}$$

其中

$${\varphi }_{\mathrm{cl}}\equiv ⟨\varphi {⟩}^J=\frac{\delta W[J]}{\delta J}.\text{\hspace{1em}(1.232)}$$

泛函 $\Gamma [{\varphi }_{\mathrm{cl}}]$ 生成单粒子不可约图。

尾注

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Footnotes

1. 或者，我们也可以引入虚时间 $\tau =\mathrm{i}{x}^0$ 来对时间轴作 Wick 转动。 ↩