在各种拓扑不变量中，欧拉示性数是一种可以通过把空间“多面体化”而方便地计算出来的量。可以说，同调群是欧拉示性数的精细化。而且，我们可以很容易地从同调群读出欧拉示性数。让我们来看图3.1。在图 $3.1 (a)$ 中，内部被包含在内，而在图 $3.1 (b)$ 中则不然。我们如何刻画这一差别呢？一个显然的观察是：图 $3.1 (a)$ 的三条边构成了内部的边界，而图 $3.1 (b)$ 的边则不然（内部并不是图 $3.1 (b)$ 的一部分）。显然，这两种情形下的边都构成一条闭路（环路），它没有边界。换言之，若存在一条环路，而它不是某个区域的边界，就意味着该环路内部存在一个洞。这就是我们在此对空间进行分类的指导原则：找出一个没有边界的区域，而它本身并不是某个区域的边界。这一原则在数学上被发展成了同调群理论。