4.1 基本群

4.1.1 基本思想

我们来看图 4.1。其中一个圆盘上有一个洞，另一个则没有。这两个圆盘之间的差别体现在哪里呢？我们注意到，图 $4.1(b)$ 中的任意环路都可以连续地收缩为一点。相反，图 $4.1(a)$ 中的环路 $\alpha$ 由于其中存在一个洞，因而不能收缩为一点。图 $4.1(a)$ 中的某些环路可以收缩为一点，而另一些则不能。如果 $\alpha$ 能由 $\beta$ 经过连续形变得到，我们就说环路 $\alpha$ 与 $\beta$ 同伦(homotopic)。例如，$Y$ 中的任意环路都与一点同伦。事实上，“同伦”是一种等价关系，它的等价类称为同伦类(homotopy class)。在图 4.1中，与 $Y$ 相联系的只有一个同伦类。在 $X$ 中，每个同伦类都由 $n\in \mathbb{Z}$ 刻画，其中 $n$ 是环路绕洞的圈数；若环路顺时针绕行则 $n<0$，若逆时针绕行则 $n>0$，若环路不绕洞则 $n=0$。此外，$\mathbb{Z}$ 是一个加法群，其群运算（加法）具有几何意义：$n+m$ 对应于先绕洞 $n$ 圈、再绕 $m$ 圈。同伦类的集合被赋予一种群结构，称为基本群(fundamental group)。

图 4.1. 带洞的圆盘 $(a)$ 与不带洞的圆盘 $(b)$。$(a)$ 中的洞使环路 $\alpha$ 无法收缩为一点。

4.1.2 路径与环路

定义 4.1 路径(path)、环路(loop)

设 $X$ 为拓扑空间，$I=[0,1]$。若连续映射 $\alpha :I\to X$ 满足 $\alpha (0)=x_0$ 且 $\alpha (1)=x_1$，则称其为以 $x_0$ 为起点、以 $x_1$ 为终点的路径(path)。若 $\alpha (0)=\alpha (1)=x_0$，则称该路径为以 $x_0$ 为基点的环路(loop)（或称 $x_0$ 处的环路）。

对 $x\in X$，常值路径(constant path) $c_x:I\to X$ 由 $c_x(s)=x,s\in I$ 定义。由于 $c_x(0)=c_x(1)=x$，常值路径也是常值环路。拓扑空间 $X$ 中的路径或环路之集可以赋予如下代数结构。

定义 4.2 乘积(product)

设 $\alpha ,\beta :I\to X$ 为满足 $\alpha (1)=\beta (0)$ 的路径。$\alpha$ 与 $\beta$ 的乘积(product)记作 $\alpha \ast \beta$，它是 $X$ 中的一条路径，定义为

$$\alpha \ast \beta (s)=\{\begin{array}{ll}\alpha (2s)& 0\le s\le \frac{1}{2}\\ \beta (2s-1)& \frac{1}{2}\le s\le 1\end{array}\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

如图 4.2所示。由于 $\alpha (1)=\beta (0)$，$\alpha \ast \beta$ 是从 $I$ 到 $X$ 的连续映射。[从几何上看，$\alpha \ast \beta$ 相当于在前一半时间内走完像 $\alpha (I)$，然后在后一半时间内接着走 $\beta (I)$。注意此时速度加倍。]

图 4.2. 具有公共端点的路径 $\alpha$ 与 $\beta$ 的乘积 $\alpha \ast \beta$。

定义 4.3 逆路径(inverse path)

设 $\alpha :I\to X$ 是从 $x_0$ 到 $x_1$ 的一条路径。 $\alpha$ 的逆路径(inverse path) ${\alpha }^{-1}$ 定义为

$${\alpha }^{-1}(s)\equiv \alpha (1-s)s\in I.\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

[逆路径 ${\alpha }^{-1}$ 相当于沿与 $\alpha$ 的像相反的方向，从 $x_1$ 走到 $x_0$。]

由于环路是起点与终点重合的特殊路径，环路的乘积与环路的逆也完全按同样的方式定义。

看起来常值映射 $c_x$ 就是单位元。然而并非如此： $\alpha \ast {\alpha }^{-1}$ 并不等于 $c_x!$。我们需要同伦的概念，才能在环路空间中定义群运算。

4.1.3 同伦

前面引入的环路的代数结构并不像它看上去那样有用。例如，常值路径并不恰好是单位元。我们希望按照一种简洁的等价关系对路径与环路进行分类，使得这些等价类具有群结构。结果表明，如果把能够连续地形变为彼此的路径或环路视为等同，那么这些等价类就构成一个群。由于我们主要关心的是环路，所以大多数定义与定理都是针对环路给出的。不过应当记住，许多命题经过适当的修改后同样适用于路径。

定义 4.4 同伦(homotopy)

设 $\alpha ,\beta :I\to X$ 是 $x_0$ 处的环路。若存在连续映射 $F:I\times I\to X$ 使得（下式成立），则称它们是同伦(homotopic)的，记作 $\alpha \sim \beta$。

$$F(s,0)=\alpha (s),F(s,1)=\beta (s)\forall s\in I\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

$$F(0,t)=F(1,t)=x_0\forall t\in I.$$

称 $F$ 为 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的同伦。

把同伦表示为图 4.3(a) 是有帮助的。正方形 $I\times I$ 的两条竖直边被映射到 $x_0$。下边是 $\alpha (s)$，而上边是 $\beta (s)$。在空间 $X$ 中，其像按图 4.3(b) 那样连续地形变。

(a)

(b)

图 4.3. (a) 该正方形表示一个同伦 $F$，它在环路 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间进行插值。(b) 在实空间 $X$ 中，$\alpha$ 的像被连续形变为 $\beta$ 的像。

图 4.4. 经由 $\beta$ 的、$\alpha$ 与 $\gamma$ 之间的一个同伦 $H$。

命题 4.1

关系 $\alpha \sim \beta$ 是一个等价关系。

证明

自反性：$\alpha \sim \alpha$。同伦可由 $F(s,t)=\alpha (s)$ 给出，其中 $t\in I$ 任意。

对称性：设 $\alpha \sim \beta$，同伦为 $F(s,t)$，且满足 $F(s,0)=\alpha (s)$、$F(s,1)=\beta (s)$。则 $\beta \sim \alpha$，其同伦由 $F(s,1-t)$ 给出。

传递性：设 $\alpha \sim \beta$ 且 $\beta \sim \gamma$。则 $\alpha \sim \gamma$。若 $F(s,t)$ 是 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的同伦，$G(s,t)$ 是 $\beta$ 与 $\gamma$ 之间的同伦，则 $\alpha$ 与 $\gamma$ 之间的一个同伦可以取为（图 4.4）

$$H(s,t)=\{\begin{array}{ll}F(s,2t)& 0\le t\le \frac{1}{2}\\ G(s,2t-1)& \frac{1}{2}\le t\le 1.\end{array}$$

4.1.4 基本群

环路的等价类记作 $[\alpha ]$，称为 $\alpha$ 的同伦类(homotopy class)。环路之间的乘积自然地定义了环路同伦类集合中的乘积。

定义 4.5 基本群(fundamental group)

设 $X$ 为拓扑空间。以 $x_0\in X$ 为基点的环路的同伦类所构成的集合记作 ${\pi }_1(X,x_0)$，称为 $X$ 在 $x_0$ 处的基本群(fundamental group)（或第一同伦群）。同伦类 $[\alpha ]$ 与 $[\beta ]$ 的乘积(product)定义为

$$[\alpha ]\ast [\beta ]=[\alpha \ast \beta ].\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

引理 4.1

同伦类的乘积与代表元的选取无关，即若 $\alpha \sim {\alpha }^{\prime }$ 且 $\beta \sim {\beta }^{\prime }$，则 $\alpha \ast \beta \sim {\alpha }^{\prime }\ast {\beta }^{\prime }$。

证明

设 $F(s,t)$ 是 $\alpha$ 与 ${\alpha }^{\prime }$ 之间的同伦，$G(s,t)$ 是 $\beta$ 与 ${\beta }^{\prime }$ 之间的同伦。则

$$H(s,t)=\{\begin{array}{ll}F(2s,t)& 0\le s\le \frac{1}{2}\\ G(2s-1,t)& \frac{1}{2}\le s\le 1\end{array}$$

是 $\alpha \ast \beta$ 与 ${\alpha }^{\prime }\ast {\beta }^{\prime }$ 之间的同伦，因此 $\alpha \ast \beta \sim {\alpha }^{\prime }\ast {\beta }^{\prime }$ 是良定义的，即 $[\alpha ]\ast [\beta ]$ 是良定义的。

定理 4.1

基本群是一个群。也就是说，若 $\alpha ,\beta ,\dots$ 是以 $x\in X$ 为基点的环路，则下列群的性质成立：

(1) $([\alpha ]\ast [\beta ])\ast [\gamma ]=[\alpha ]\ast ([\beta ]\ast [\gamma ])$
(2) $[\alpha ]\ast [c_x]=[\alpha ]$ 且 $[c_x]\ast [\alpha ]=[\alpha ]$（单位元）
(3) $[\alpha ]\ast [{\alpha }^{-1}]=[c_x]$，从而 $[\alpha {]}^{-1}=[{\alpha }^{-1}]$（群元素的逆元）。

证明

(1) 设 $F(s,t)$ 是 $(\alpha \ast \beta )\ast \gamma$ 与 $\alpha \ast (\beta \ast \gamma )$ 之间的同伦，它可由 图 4.5(a) 给出

(a)

(b)

图 4.5. (a) $(\alpha \ast \beta )\ast \gamma$ 与 $\alpha \ast (\beta \ast \gamma )$ 之间的同伦。(b) $\alpha \ast c_x$ 与 $\alpha$ 之间的同伦。

$$F(s,t)=\{\begin{array}{ll}\alpha \left(\frac{4s}{1+t}\right)& 0\le s\le \frac{1+t}{4}\\ \beta (4s-t-1)& \frac{1+t}{4}\le s\le \frac{2+t}{4}\\ \gamma \left(\frac{4s-t-2}{2-t}\right)& \frac{2+t}{4}\le s\le 1.\end{array}$$

因此，我们可以简单地用 $[\alpha \ast \beta \ast \gamma ]$ 来表示 $[(a\ast \beta )\ast \gamma ]$ 或 $[\alpha \ast (\beta \ast \gamma )]$

(2) 由 图 4.5(b) 定义同伦 $F(s,t)$

$$F(s,t)=\{\begin{array}{ll}\alpha \left(\frac{2s}{1+t}\right)& 0\le s\le \frac{t+1}{2}\\ x& \frac{t+1}{2}\le s\le 1.\end{array}$$

显然，这是 $\alpha \ast c_x$ 与 $\alpha$ 之间的同伦。类似地，$c_x\ast \alpha$ 与 $\alpha$ 之间的同伦由下式给出

$$F(s,t)=\{\begin{array}{ll}x& 0\le s\le \frac{1-t}{2}\\ \alpha \left(\frac{2s-1+t}{1+t}\right)& \frac{1-t}{2}\le s\le 1.\end{array}$$

这表明 $[\alpha ]\ast [c_x]=[\alpha ]=[c_x]\ast [\alpha ]$。

(3) 定义映射 $F:I\times I\to X$ 为

$$F(s,t)=\{\begin{array}{ll}\alpha (2s(1-t))& 0\le s\le \frac{1}{2}\\ \alpha (2(1-s)(1-t))& \frac{1}{2}\le s\le 1.\end{array}$$

显然 $F(s,0)=\alpha \ast {\alpha }^{-1}$ 且 $F(s,1)=c_x$，因此

$$[\alpha \ast {\alpha }^{-1}]=[\alpha ]\ast [{\alpha }^{-1}]=[c_x].$$

这表明 $[{\alpha }^{-1}]=[\alpha {]}^{-1}$。

总之，${\pi }_1(X,x)$ 是一个群，其单位元是常值环路 $c_x$ 的同伦类。乘积 $[\alpha ]\ast [\beta ]$ 是良定义的，并且满足

群公理。$[\alpha ]$ 的逆元为 $[\alpha {]}^{-1}=[{\alpha }^{-1}]$。下一节我们将研究基本群的一般性质，这些性质可以简化实际计算。

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