2.4 同胚与拓扑不变量

2.4.1 同胚

正如本章开头所提到的，拓扑学的主要目的是对空间进行分类。假设我们有几个图形，并问自己哪些是相同的、哪些是不同的。由于我们还没有定义所谓相同或不同是什么意思，我们既可以说“它们彼此都不同”，也可以说“它们都是同一个图形”。关于等价性的某些定义过于严格，而另一些又过于宽松，以致无法对图形或空间作出任何有意义的分类。例如，在初等几何中，图形的等价性是由全等给出的，而事实证明全等对我们的目的来说过于严格。在拓扑学中，如果能够通过连续形变把一个图形形变为另一个图形，我们就定义这两个图形是等价(equivalence)的。也就是说，我们引入这样一种等价关系：按照能否通过连续形变把一个几何对象形变为另一个几何对象，来对几何对象进行分类。为了使之更具数学性，我们需要引入下面同胚的概念。

定义 2.9 同胚

设 $X_1$ 与 $X_2$ 为拓扑空间。若映射 $f:X_1\to X_2$ 是连续的，并且具有逆映射 $f^{-1}:X_2\to X_1$，而该逆映射也是连续的，则称 $f:X_1\to X_2$ 为同胚。若 $X_1$ 与 $X_2$ 之间存在同胚，则称 $X_1$ 与 $X_2$ 同胚，反之亦然。

换言之，若存在映射 $f:X_1\to X_2$ 与 $g:X_2\to X_1$ 使得 $f\circ g={\mathrm{id}}_{X_2}$ 且 $g\circ f={\mathrm{id}}_{X_1}$，则 $X_1$ 与 $X_2$ 同胚。容易证明同胚是一种等价关系。自反性由取 $f={\mathrm{id}}_X$ 得到；对称性则是因为，若 $f:X_1\to X_2$ 是同胚，则由定义 $f^{-1}:X_2\to X_1$ 也是同胚。传递性是因为，若 $f:X_1\to X_2$ 与 $g:X_2\to X_3$ 都是同胚，则 $g\circ f:X_1\to X_3$ 也是同胚。现在，我们按照能否通过同胚把一个空间形变为另一个空间，把所有拓扑空间划分为等价类。直观地说，我们设想拓扑空间是由理想的橡皮做成的，可以随意形变。如果能把一个拓扑空间连续地形变为另一个，即不撕裂也不粘合，那么这两个拓扑空间就彼此同胚。

图 2.10 给出了同胚的一些例子。看来无法通过连续形变把图 $2.10(b)$ 中左边的图形形变为右边的图形。然而，这只是这些对象嵌入在 ${\mathbb{R}}^3$ 中所造成的假象。事实上，它们在 ${\mathbb{R}}^4$ 中是可以连续形变的，见练习 2.3。为了把两者区分开来，我们必须把它们嵌入到比如 $S^3$ 中，并比较这些对象在 $S^3$ 中的补集。不过，这种方法超出了本书的范围，我们将满足于同胚。

(a)

(b)

图 2.10. (a) 咖啡杯与甜甜圈同胚。(b) 相扣的圆环与分离的圆环同胚。

2.4.2 拓扑不变量

现在我们的主要问题是：“如何刻画同胚的等价类？”事实上，我们至今仍不知道这个问题的完整答案。我们所能得到的只是一个相当有限的结论：如果两个空间具有不同的“拓扑不变量”，那么它们彼此不同胚。这里所说的拓扑不变量，是指在同胚下保持不变的那些量。拓扑不变量可以是一个数，例如空间的连通分支数；也可以是由该空间构造出来的代数结构，例如群或

环（不要求交换）；还可以是连通性、紧致性或豪斯多夫性质之类的东西。（尽管这些量是拓扑不变量在直觉上似乎很清楚，我们仍须证明它们确实如此。这里略去证明。有兴趣的读者可以查阅任何一本拓扑学教科书。）如果我们知道了完整的拓扑不变量集合，就可以通过给出这些不变量来确定等价类。然而，迄今为止我们只知道一部分拓扑不变量，这意味着即使两个拓扑空间所有已知的拓扑不变量都相同，它们也未必彼此同胚。因此，我们最多只能说：如果两个拓扑空间具有不同的拓扑不变量，那么它们不可能彼此同胚。

例 2.13

(a) 闭线段 $[-1,1]$ 与开线段 $(-1,1)$ 不同胚，因为 $[-1,1]$ 是紧致的，而 $(-1,1)$ 不是。

(b) 圆周 $S^1$ 与 $\mathbb{R}$ 不同胚，因为 $S^1$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 中是紧致的，而 $\mathbb{R}$ 不是。
(c) 抛物线 $(y=x^2)$ 与双曲线 $(x^2-y^2=1)$ 不同胚，尽管二者都是非紧致的。抛物线是（弧）连通的，而双曲线不是。
(d) 圆周 $S^1$ 与区间 $[-1,1]$ 不同胚，尽管二者都是紧致的且是（弧）连通的。$[-1,1]$ 是单连通的，而 $S^1$ 不是。另一种看法是：$S^1-\{p\}$（其中 $p$ 是 $S^1$ 中的任意一点）是连通的，而 $[-1,1]-\{0\}$ 不是，这为二者不等价提供了更多证据。
(e) 令人惊讶的是，去掉端点的区间与直线 $\mathbb{R}$ 同胚。为看出这一点，我们取 $X=(-\pi /2,\pi /2)$ 和 $Y=\mathbb{R}$，并令 $f:X\to Y$ 为 $f(x)=\tan x$。由于 $\tan x$ 在 $X$ 上是一一的，并且有逆映射 ${\tan }^{-1}x$，而后者在 $\mathbb{R}$ 上是一一的，所以这确实是一个同胚。由此可见，有界性不是拓扑不变量。
(f) 开圆盘 $D^2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2<1\}$ 与 ${\mathbb{R}}^2$ 同胚。一个同胚 $f:D^2\to {\mathbb{R}}^2$ 可以取为

$$f(x,y)=\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}},\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\right)\text{\hspace{1em}(2.28)}$$

而其逆映射 $f^{-1}:{\mathbb{R}}^2\to D^2$ 为

$$f^{-1}(x,y)=\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2}}\right).\text{\hspace{1em}(2.29)}$$

读者应验证 $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^2}$ 以及 $f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_{D^2}$。正如我们在例 2.5(e)中所见，边界 $S^1$ 对应于一个点的闭圆盘与 $S^2$ 同胚。若把这个点去掉，就得到开圆盘。当前的分析表明，这个开圆盘与 ${\mathbb{R}}^2$ 同胚。把论证的顺序反过来，我们发现：若在 ${\mathbb{R}}^2$ 中添加一个点（无穷远点），就得到一个紧致空间 $S^2$。这一过程就是上一节引入的单点紧致化 $S^2={\mathbb{R}}^2\cup \{\infty \}$。类似地，我们有 $S^n={\mathbb{R}}^n\cup \{\infty \}$。

(g) 圆周 $S^1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2=1\}$ 与正方形 $I^2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|(|x|=1,|y|\le 1),(|x|\le 1,|y|=1)\}$ 同胚。一个同胚 $f:I^2\to S^1$ 可以取为

$$f(x,y)=\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r}\right)r=\sqrt{x^2+y^2}.\text{\hspace{1em}(2.30)}$$

由于 $r$ 不可能为零，(2.27) 是可逆的。

练习 2.18

习题 2.18. 求圆周 $S^1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2=1\}$ 与椭圆 $E=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|(x/a{)}^2+(y/b{)}^2=1\}$ 之间的一个同胚。

2.4.3 同伦型

有一种等价类，它比同胚稍粗一些，但仍然相当有用，这就是“具有相同的同伦型”。我们把定义 2.9中的条件放宽，使得连续函数$f$或$g$不必有逆映射。例如，取$X=(0,1)$和$Y=\{0\}$，并令$f:X\to Y$、$f(x)=0$以及$g:Y\to X$、$g(0)=\frac{1}{2}$。于是$f\circ g={\mathrm{id}}_Y$，而$g\circ f\ne {\mathrm{id}}_X$。这表明开区间$(0,1)$与一个点$\{0\}$具有相同的同伦型，尽管它与$\{0\}$并不同胚。关于这一主题，我们在4.2 节中还有更多讨论。

例 2.14

(a) $S^1$ 与圆柱面具有相同的同伦型，因为圆柱面是直积 $S^1\times \mathbb{R}$，而我们可以把每个 $S^1$ 上的 $\mathbb{R}$ 收缩为一点。同理，莫比乌斯带与 $S^1$ 具有相同的同伦型。

(b) 圆盘 $D^2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2<1\}$ 与一个点具有相同的同伦型。$D^2-\{(0,0)\}$ 与 $S^1$ 具有相同的同伦型。类似地，${\mathbb{R}}^2-\{0\}$ 与 $S^1$ 具有相同的同伦型，而 ${\mathbb{R}}^3-\{0\}$ 与 $S^2$ 具有相同的同伦型。

2.4.4 欧拉示性数：一个例子

欧拉示性数是最有用的拓扑不变量之一。不仅如此，我们还能在其中看到代数拓扑方法的原型。为避免不必要的复杂化，我们只限于讨论 ${\mathbb{R}}^3$ 中的点、线和曲面。多面体(polyhedron)是由面围成的几何对象。两个面的边界是一条棱，两条棱相交于一个顶点。我们把多面体的定义稍加推广，使之包括多边形以及多边形、线或点的边界。我们把多面体的面、棱和顶点称为单形(simplex)。注意，两个单形的边界要么是空的，要么是另一个单形。（例如，两个面的边界是一条棱。）单形与多面体在一般维数下的形式定义将在第 3 章中给出。现在我们可以定义 ${\mathbb{R}}^3$ 中一个图形的欧拉示性数了。

定义 2.10 欧拉示性数

设 $X$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个子集，且与某个多面体 $K$ 同胚。则 $X$ 的欧拉示性数(Euler characteristic) $\chi (X)$ 定义为

$$\begin{array}{rl}& \chi (X)=(\text{中顶点的数目}K)-(\text{中棱的数目}K)\\ & +(\text{中面的数目}K).\end{array}\text{\hspace{1em}(2.31)}$$

读者也许会问，$\chi (X)$ 是否依赖于多面体 $K$。下面这个由庞加莱和亚历山大给出的定理保证，它实际上与多面体 $K$ 无关。

定理 2.4 · 庞加莱–亚历山大

只要 $K$ 与 $X$ 同胚，欧拉示性数 $\chi (X)$ 就与多面体 $K$ 无关。

下面举几个例子。按定义，一个点的欧拉示性数为 $\chi (\cdot )=1$。一条直线的欧拉示性数为 $\chi (⟶)=2-1=1$，因为直线有两个顶点和一条棱。对于三角形盘片，我们得到 $\chi (\text{triangle})=3-3+1=1$。一个稍不平凡的例子是 $S^1$ 的欧拉示性数。与 $S^1$ 同胚的最简单的多面体由三角形的三条棱构成，于是 $\chi (S^1)=3-3=0$。类似地，球面 $S^2$ 与四面体的表面同胚，因此 $\chi (S^2)=4-6+4=2$。容易看出，$S^2$ 也与立方体的表面同胚。用立方体来计算 $S^2$ 的欧拉示性数，得到 $\chi (S^2)=8-12+6=2$，这与定理 2.4一致。历史上，这正是欧拉定理的结论：若 $K$ 是任一与 $S^2$ 同胚的多面体，它有 $v$ 个顶点、$e$ 条棱和 $f$ 个二维面，则 $v-e+f=2$。

例 2.15

我们来计算环面 $T^2$ 的欧拉示性数。图 2.11(a) 是一个与 $T^2$ 同胚的多面体的例子。由这个多面体，我们得到 $\chi (T^2)=16-32+16=0$。正如我们在例 2.5(b) 中所见，$T^2$ 等价于一个对边认同的矩形，见图 2.4。考虑到这种认同，我们得到如图 2.11(b) 那样由矩形面构成的多面体的例子，由此同样有 $\chi (T^2)=0$。当图形无法（嵌入）到 ${\mathbb{R}}^3$ 中时，这一方法相当有用。例如，克莱因瓶（图 2.5(a)）若不与自身相交就无法在 ${\mathbb{R}}^3$ 中实现。由图 2.5(a) 的矩形，我们得到 $\chi (\text{Klein bottle})=0$。类似地，我们有 $\chi (\text{projective plane})=1$。

(a)

(b)

图 2.11. 与环面同胚的多面体的例子。

练习 2.19

(a) 证明 $\chi (\text{Mo¨bius strip})=0$。

(b) 证明 $\chi ({\Sigma }_2)=-2$，其中 ${\Sigma }_2$ 是带两个柄的环面（见例 2.5）。读者既可以构造一个与 ${\Sigma }_2$ 同胚的多面体，也可以利用图 2.6(a) 中的八边形。我们将在后面证明 $\chi ({\Sigma }_g)=2-2g$，其中 ${\Sigma }_g$ 是带 $g$ 个柄的环面。

两个曲面 $X$ 与 $Y$ 的连通和 $X♯Y$ 是这样得到的曲面：从 $X$ 和 $Y$ 中各挖去一个小圆盘，再用一个圆柱面把由此得到的两个洞连接起来；见图 2.12。设 $X$ 为任意曲面，则容易看出

图 2.12. 连通和。(a) $S^2♯S^2=S2$，(b) $T^2♯T^2={\Sigma }_2$。

$$S^2♯X=X\text{\hspace{1em}(2.32)}$$

这是因为 $S^2$ 与圆柱面可以形变，从而把 $X$ 上的洞填补起来；见图 2.12(a)。若取两个环面的连通和，便得到（图 2.12(b)）

$$T^2♯T^2={\Sigma }_2.\text{\hspace{1em}(2.33)}$$

类似地，${\Sigma }_g$ 可以表示为 $g$ 个环面的连通和，

$$\underset{g\text{个因子}}{\underbrace{T^2♯T^2♯\cdots ♯T^2}}={\Sigma }_g.\text{\hspace{1em}(2.34)}$$

连通和可作为一种技巧，由已知曲面的欧拉示性数来计算复杂曲面的欧拉示性数。下面我们来证明如下定理。

定理 2.5

设 $X$ 与 $Y$ 是两个曲面，则连通和 $X♯Y$ 的欧拉示性数由下式给出：

$$\chi (X♯Y)=\chi (X)+\chi (Y)-2.$$

证明

取分别与 $X$ 和 $Y$ 同胚的多面体 $K_X$ 和 $K_Y$。不失一般性，我们假定 $K_Y$ 与 $K_Y$ 中都含有一个三角形。从这两个多面体中挖去该三角形，再用一个三棱柱面把由此得到的两个洞连接起来。于是顶点数不变，而棱数增加三。由于我们挖去了两个面又添上了三个面，面数增加 $-2+3=1$。因此，欧拉示性数的变化为 $0-3+1=-2$。

由前一定理以及等式 $\chi (T^2)=0$，我们得到 $\chi ({\Sigma }_2)=0+0-2=-2$ 和 $\chi ({\Sigma }_g)=g\times 0-2(g-1)=2-2g$，参见练习 2.19(b)。

欧拉示性数的意义在于它是一个拓扑不变量，而且计算起来相对容易。下面这个定理我们不加证明地予以接受。

定理 2.6

设 $X$ 与 $Y$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的两个图形。若 $X$ 与 $Y$ 同胚，则 $\chi (X)=\chi (Y)$。换言之，若 $\chi (X)\ne \chi (Y)$，则 $X$ 不可能与 $Y$ 同胚。

例 2.16

(a) $S^1$ 与 $S^2$ 不同胚，因为 $\chi (S^1)=0$，而 $\chi (S^2)=2$。

(b) 两个互不同胚的图形可以有相同的欧拉示性数。一个点 $(\cdot )$ 与一条直线 $(⟶)$ 不同胚，但 $\chi (\cdot )=\chi (⟶)=1$。这是下述事实的一般推论：若图形 $X$ 与图形 $Y$ 具有相同的同伦型，则 $\chi (X)=\chi (Y)$。

读者或许已经注意到，欧拉示性数在性质上不同于紧致性、连通性等其他拓扑不变量。紧致性和连通性是一个图形或一个空间的几何性质，而欧拉示性数是一个整数 $\chi (X)\in \mathbb{Z}$。注意 $\mathbb{Z}$ 是代数对象而非几何对象。自欧拉的工作以来，许多数学家研究了几何与代数之间的关系，并在上个世纪把这一思想发展成组合拓扑与代数拓扑。我们可以用著名的高斯-博内定理来计算光滑曲面的欧拉示性数，该定理把曲面的高斯曲率的积分与由相应多面体算出的欧拉示性数联系起来。我们将在第 12 章中给出高斯-博内定理的推广形式。

2.1 证明图 2.13(a)中的$4g$边形在把边界粘合起来之后，表示的是图 2.13(b)中亏格为$g$的环面。读者可以使用式 (2.34)。

(a)

图 2.13. 边被粘合的多边形$(a)$是亏格为$g$的环面${\Sigma }_g$。

(b)

2.2 设$X=\{1,1/2,\dots ,1/n,\dots \}$是$\mathbb{R}$的子集。证明$X$在$\mathbb{R}$中不是闭的。证明$Y=\{1,1/2,\dots ,1/n,\dots ,0\}$在$\mathbb{R}$中是闭的，从而是紧致的。

2.3 证明图 2.109(b)中的两个图形彼此同胚。找出在${\mathbb{R}}^4$中解开右图链接的方法。 2.4 证明正多面体只有五种：四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。[提示：利用欧拉定理。]

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