5 流形

流形(manifold)是把我们熟悉的曲线与曲面概念推广到任意维对象的结果。三维欧几里得空间中的曲线局部地由单个参数 $t$ 参数化为 $(x(t),y(t),z(t))$，而曲面则由两个参数 $u$ 和 $v$ 参数化为 $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$。曲线与曲面分别被认为局部同胚于 $\mathbb{R}$ 和 ${\mathbb{R}}^2$。一般说来，流形是局部同胚于 ${\mathbb{R}}^m$ 的拓扑空间；它在整体上可能不同于 ${\mathbb{R}}^m$。这种局部同胚使我们能够给流形中的每一点指定一组 $m$ 个数，称为（局部）坐标(coordinate)。如果流形在整体上不同胚于 ${\mathbb{R}}^m$，我们就必须引入若干局部坐标。这时，同一个点就可能有两组或更多组坐标。我们要求从一组坐标到另一组坐标的过渡是光滑的。正如我们后面将会看到的，这使我们能够在流形上建立通常的微积分。正如拓扑学以连续性为基础，流形理论则以光滑性为基础。

关于这一课题的有用参考文献有 Crampin and Pirani (1986)、Matsushima (1972)、Schutz (1980) 和 Warner (1983)。Chapter 2以及 Wald (1984) 的附录 B 和 C 也值得推荐。Flanders (1963) 是对微分形式的一篇优美的引论。Sattinger and Weaver (1986) 讨论李群与李代数，并包含许多在物理问题中的应用。

Exercise 5.19.

Example 5.15.

习题

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