2.3 拓扑空间

我们所讨论的最一般的结构是拓扑空间。物理学家往往倾向于认为，他们所处理的一切空间都配备了度量。然而，情况并非总是如此。事实上，度量空间构成流形的一个子集，而流形又构成拓扑空间的一个子集。

2.3.1 定义

定义 2.3 拓扑空间

设 $X$ 为任意集合，$\mathcal{T}=\{U_i|i\in I\}$ 表示 $X$ 的某一族子集。若 $\mathcal{T}$ 满足下列要求，则称二元组 $(X,\mathcal{T})$ 为一个拓扑空间(topological space)。

(i) $\varnothing ,X\in \mathcal{T}$。
(ii) 若 $\mathcal{T}$ 是 $I$ 的任意（可以是无限的）子族，则族 $\{U_j|j\in J\}$ 满足 ${\cup }_{j\in J}{U}_j\in \mathcal{T}$。
(iii) 若 $K$ 是 $I$ 的任意有限子族，则族 $\{U_k|k\in K\}$ 满足 ${\cap }_{k\in K}{U}_k\in \mathcal{T}$。

有时也把 $X$ 本身称为拓扑空间。各 $U_i$ 称为开集(open set)，而称 $\mathcal{T}$ 给 $X$ 赋予了一个拓扑。

例 2.7

(a) 若 $X$ 是一个集合，而 $\mathcal{T}$ 是 $X$ 的全部子集构成的族，则 (i)-(iii) 自动得到满足。这样的拓扑称为离散拓扑(discrete topology)。

(b) 设 $X$ 是一个集合，且 $\mathcal{T}=\{\varnothing ,X\}$。显然 $\mathcal{T}$ 满足 (i)-(iii)。这样的拓扑称为平凡拓扑(trivial topology)。一般说来，离散拓扑过于苛刻，而平凡拓扑又过于平凡，无法在 $X$ 上给出任何有趣的结构。

(c) 设 $X$ 为实数轴 $\mathbb{R}$。所有开区间 $(a,b)$ 及其并集定义了一个拓扑，称为通常拓扑(usual topology)；其中 $a$ 与 $b$ 可以分别取为 $-\infty$ 和 $\infty$。类似地，也可以定义 ${\mathbb{R}}^n$ 中的通常拓扑。[取乘积 $(a_1,b_1)\times \cdots \times (a_n,b_n)$ 及其并集……]

练习 2.13

在定义 2.3中，公理 (ii) 与 (iii) 看起来有些不平衡。试证明：若在 (iii) 中允许无限交集，则$\mathbb{R}$中的通常拓扑就退化为离散拓扑（因而变得没什么意思）。

度量$d:X\times X\to \mathbb{R}$是一个满足下列条件的函数：

(i) $d(x,y)=d(y,x)$
(ii) $d(x,y)\ge 0$，其中等号成立当且仅当$x=y$
(iii) $d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$

其中$x,y,z\in X$为任意元素。若给$X$赋以一个度量$d$，则$X$成为一个拓扑空间，其开集由“开圆盘”

$$U_{\epsilon }(X)=\{y\in X|d(x,y)<\epsilon \}\text{\hspace{1em}(2.25)}$$

及其一切可能的并集给出。这样定义的拓扑$\mathcal{T}$称为由$d$确定的度量拓扑(metric topology)。拓扑空间$(X,\mathcal{T})$称为度量空间(metric space)。[练习：验证度量空间$(X,\mathcal{T})$确实是一个拓扑空间。]

设$(X,\mathcal{T})$为拓扑空间，$A$为$X$的任一子集。则$\mathcal{T}=\{U_i\}$通过${\mathcal{T}}^{\prime }=\{U_i\cap A|U_i\in \mathcal{T}\}$在$A$上诱导出相对拓扑(relative topology)。

例 2.8

取 $X={\mathbb{R}}^{n+1}$，并考虑 $n$ 维球面 $S^n$，

$$(x^0{)}^2+(x^1{)}^2+\cdots +(x^n{)}^2=1.\text{\hspace{1em}(2.26)}$$

$S^n$ 上的一个拓扑可由 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 上的通常拓扑所诱导的相对拓扑给出。

2.3.2 连续映射

定义 2.4 连续的

设 $X$ 与 $Y$ 为拓扑空间。若 $Y$ 中开集的逆像（原像）是 $X$ 中的开集，则称映射 $f:X\to Y$ 是连续的。

这一与我们对连续性的直观理解是一致的。例如，设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 由下式定义：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x+1& x\le 0\\ -x+\frac{1}{2}& x>0.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.27)}$$

我们在 $\mathbb{R}$ 中取通常拓扑，于是任何开区间 $(a,b)$ 都是开集。在通常的微积分中，称 $f$ 在 $x=0$ 处不连续。对于开集 $(3/2,2)\subset Y$，我们求得 $f^{-1}((3/2,2))=(-1,-1/2)$，它是 $X$ 中的开集。然而，若取开集 $(1-1/4,1+1/4)\subset Y$，则求得 $f^{-1}((1-1/4,1+1/4))=(-1/4,0]$，它在通常拓扑下不是开集。

练习 2.14

习题 2.14. 以连续函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$（$f(x)=x^2$）为例，说明反向的定义——“若映射 $f$ 把 $X$ 中的开集映为 $Y$ 中的开集，则它是连续的”——并不成立。[提示：考察 $(-\epsilon ,+\epsilon )$ 在 $f$ 下的像。]

2.3.3 邻域与豪斯多夫空间

定义 2.5 邻域

设 $\mathcal{T}$ 给出 $X$ 上的一个拓扑。若 $N$ 是 $X$ 的子集，且 $N$ 包含某个（至少一个）开集 $U_i$，而 $x$ 属于该开集，则称 $N$ 是点 $x\in X$ 的邻域(neighbourhood)。（子集 $N$ 不必是开集。若 $N$ 恰好是 $\mathcal{T}$ 中的开集，则称之为开邻域(open neighbourhood)。）

例 2.9

取带有通常拓扑的 $X=\mathbb{R}$。区间 $[-1,1]$ 是任意一点 $x\in (-1,1)$ 的邻域。

定义 2.6 豪斯多夫空间

若对任意一对互不相同的点 $x,x^{\prime }\in X$，总存在 $x$ 的邻域 $U_x$ 与 $x^{\prime }$ 的邻域 $U_{x^{\prime }}$，使得 $U_x\cap U_{x^{\prime }}=\varnothing$，则称拓扑空间 $(X,\mathcal{T})$ 为豪斯多夫空间(Hausdorff space)。

练习 2.15

设 $X=\{\text{John, Paul, Ringo, George}\}$，$U_0=\varnothing$，$U_1=\{\text{John}\},U_2=\{\text{John, Paul}\},U_3=\{\text{John, Paul, Ringo, George}\}$。证明 $\mathcal{T}=\{U_0,U_1,U_2,U_3\}$ 给出 $X$ 上的一个拓扑。并证明 $(X,\mathcal{T})$ 不是豪斯多夫空间。

与本题不同，物理学中出现的大多数空间都满足豪斯多夫性质。在本书余下的部分中，我们总假定情况如此。

练习 2.16

证明带有通常拓扑的 $\mathbb{R}$ 是豪斯多夫空间。并证明任意度量空间都是豪斯多夫空间。

2.3.4 闭集

设 $(X,\mathcal{T})$ 为拓扑空间。若 $X$ 的子集 $A$ 在 $X$ 中的补集是开集，即 $X-A\in \mathcal{T}$，则称 $A$ 为闭集。按照定义，$X$ 与 $\varnothing$ 既开又闭。考虑一个集合 $A$（开集或闭集均可）。$A$ 的闭包(closure)是包含 $A$ 的最小闭集，记作 $\bar{A}$。$A$ 的内部(interior)是 $A$ 的最大开子集，记作 $A^{\circ }$。$A$ 的边界(boundary) $b(A)$ 是 $A^{\circ }$ 在 $A$ 中的补集，即 $b(A)=A-A^{\circ }$。开集总与其边界不相交，而闭集总包含其边界。

例 2.10

取 $X=\mathbb{R}$ 并赋予通常拓扑，再取一对开区间 $(-\infty ,a)$ 与 $(b,\infty )$，其中 $a<b$。由于 $(-\infty ,a)\cup (b,\infty )$ 在通常拓扑下是开集，其补集 $[a,b]$ 是闭集。在通常拓扑下，任何闭区间都是闭集。令 $A=(a,b)$，则 $\bar{A}=[a,b]$。边界 $b(A)$ 由两个点 $\{a,b\}$ 组成。集合 $(a,b),[a,b],(a,b]$ 与 $[a,b)$ 都具有相同的边界、闭包和内部。在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，乘积 $[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ 在通常拓扑下是闭集。

练习 2.17

集合 $A\subset X$ 是开集还是闭集，取决于 $X$。我们在 $x$ 轴上取一个区间 $I=(0,1)$。证明：$I$ 在 $x$ 轴 $\mathbb{R}$ 中是开集，而在 $xy$ 平面 ${\mathbb{R}}^2$ 中既不是闭集也不是开集。

2.3.5 紧致性

设 $(X,\mathcal{T})$ 是一个拓扑空间。称 $X$ 的一族子集 $\{A_i\}$ 为 $X$ 的一个覆盖(covering)，如果

$$\bigcup _{i\in I}{A}_i=X.$$

若所有的 $A_i$ 恰好都是拓扑 $\mathcal{T}$ 中的开集，则称该覆盖为开覆盖(open covering)。

定义 2.7 紧致的

考虑一个集合 $X$ 以及 $X$ 的所有可能的覆盖。若对每一个开覆盖 $\{U_i|i\in I\}$，都存在 $I$ 的一个有限子集 $J$，使得 $\{U_j|j\in J\}$ 也是 $X$ 的覆盖，则称集合 $X$ 是紧致的(compact)。

一般来说，一个集合若在 ${\mathbb{R}}^n$ 中是紧致的，它必定是有界的。除此之外还需要什么条件呢？我们只陈述结论，而不给出证明。

定理 2.3

设 $X$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子集，则 $X$ 是紧致的当且仅当它是闭的且有界的。

例 2.11

(a) 一个点是紧致的。

(b) 取 $\mathbb{R}$ 中的一个开区间 $(a,b)$，并选取开覆盖 $U_n=(a,b-1/n)$，$n\in \mathbb{N}$。显然有

$$\bigcup _{n\in \mathbb{Z}}{U}_n=(a,b).$$

然而，$\{U_n\}$ 的任何有限子族都不能覆盖 $(a,b)$。因此，开区间 $(a,b)$ 不是紧致的，这与定理 2.3相符。

(c) 赋以相对拓扑的 $S^n$ 是紧致的，因为它在 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中是闭的且有界的，参见例 2.8。

仅凭定义和这里给出的少数几个例子，读者也许还体会不到紧致性的重要意义。然而应当指出，某些数学分析以及物理学在紧致空间上会变得相当简单。例如，让我们考虑固体中的电子系统。如果固体是非紧致的且具有无限体积，我们就必须在无限体积中处理量子统计力学。众所周知，这在数学上相当复杂，需要用到高等的希尔伯特空间理论。我们通常的做法是把系统限制在由硬壁包围的有限体积 $V$ 中，使电子波函数在壁上为零；或者在壁上施加周期性边界条件，这相当于把系统放在一个环面上，参见例 2.5(b)。无论哪种情形，系统现在都被置于一个紧致空间之中。于是我们可以构造福克空间，其激发由离散指标标记。紧致性在物理学中的另一重要意义，将在我们研究瞬子和 Belavin-Polyakov 单极子这类延展客体时显现出来，参见4.8 节。在场论中，我们通常假定场在空间无穷远处趋于与真空（或某个真空）相对应的某种渐近形式。类似地，空间无穷远处具有共同序参量的一类序参量分布，从各种观点来看都是值得研究的有趣类别，这一点我们将在后面看到。由于所有无穷远处的点都被映到同一个点，我们实际上已把非紧致空间 ${\mathbb{R}}^n$ 紧致化为紧致空间 $S^n={\mathbb{R}}^n\cup \{\infty \}$。这一手续称为单点紧致化(one-point compactification)。

2.3.6 连通性

定义 2.8 连通的、弧连通的、单连通的

(a) 若拓扑空间 $X$ 不能写成 $X=X_1\cup X_2$ 的形式，其中 $X_1$ 与 $X_2$ 均为开集且 $X_1\cap X_2=\varnothing$，则称 $X$ 是连通的；否则称 $X$ 不连通。

(b) 若对任意两点 $x,y\in X$，都存在连续映射 $f:[0,1]\to X$ 使得 $f(0)=x$ 且 $f(1)=y$，则称拓扑空间 $X$ 是弧连通的。除少数病态例外，弧连通性实际上与连通性等价。
(c) 拓扑空间 $X$ 中的环路(loop)是指满足 $f(0)=f(1)$ 的连续映射 $f:[0,1]\to X$。若 $X$ 中的任一环路都能连续地收缩为一点，则称 $X$ 是单连通的。

例 2.12

(a) 实数轴 $\mathbb{R}$ 是弧连通的，而 $\mathbb{R}-\{0\}$ 不是。${\mathbb{R}}^n$ $(n\ge 2)$ 是弧连通的，${\mathbb{R}}^n-\{0\}$ 也是。

(b) $S^n$ 是弧连通的。圆周 $S^1$ 不是单连通的。若 $n\ge 2$，则 $S^n$ 是单连通的。$n$ 维环面

$$T^n=\underset{n}{\underbrace{S^1\times S^1\times \cdots \times S^1}}(n\ge 2)$$

是弧连通的，但不是单连通的。

(c) ${\mathbb{R}}^2-\mathbb{R}$ 不是弧连通的。${\mathbb{R}}^2-\{0\}$ 是弧连通的，但不是单连通的。${\mathbb{R}}^3-\{0\}$ 既是弧连通的又是单连通的。

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