5.4 微分形式

在定义微分形式之前，我们先考察张量的对称性。张量 $\omega \in {\mathcal{T}}_{r,p}^0(M)$ 上的对称操作定义为

$$P\omega \left(V_1,\dots ,V_r\right)\equiv \omega \left(V_{P(1)},\dots ,V_{P(r)}\right)\text{\hspace{1em}(5.59)}$$

其中 $V_i\in T_{p}M$，而 $P$ 是 $S_r$ 的元素，即 $r$ 阶对称群中的元素。取坐标基 $\{e_{\mu }\}=\{\partial /\partial x^{\mu }\}$，则 $\omega$ 在该基下的分量为

$$\omega \left(e_{{\mu }_1},e_{{\mu }_2},\dots ,e_{{\mu }_r}\right)={\omega }_{{\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_r}.$$

由(5.59)可得 $P\omega$ 的分量为

$$P\omega \left(e_{{\mu }_1},e_{{\mu }_2},\dots ,e_{{\mu }_r}\right)={\omega }_{{\mu }_{P(1)}{\mu }_{P(2)}\dots {\mu }_{P(r)}}.$$

对于一般的 $(q,r)$ 型张量，对称操作分别对 $q$ 个指标和 $r$ 个指标定义。

对于 $\omega \in {\mathfrak{T}}_{r,p}^0(M)$，对称化子 $\mathcal{S}$ 定义为

$$\mathbb{S}\omega =\frac{1}{r!}\sum _{P\in S_r}P\omega \text{\hspace{1em}(5.60)}$$

而反对称化子 $\mathcal{A}$ 为

$$\mathcal{A}\omega =\frac{1}{r!}\sum _{P\in S_r}\mathrm{sgn}(P)P\omega \text{\hspace{1em}(5.61)}$$

其中对偶置换有 $\mathrm{sgn}(P)=+1$，对奇置换有 $-1$。$\mathfrak{S}\omega$ 是全对称(totally symmetric)的（即对任意 $P\in S_r$ 都有 $P\mathfrak{S}\omega =\mathfrak{S}\omega$），而 $\mathcal{A}\omega$ 是全反对称的（$P\mathcal{A}\omega =\mathrm{sgn}(P)\mathcal{A}\omega$）。

5.4.1 定义

定义 5.4 微分形式(differential form)

$r$ 阶微分形式(differential form)，或称 $r$ 形式，是 $(0,r)$ 型的全反对称张量。

下面我们用全反对称张量积来定义 $r$ 个一形式的楔积(wedge product) $\wedge$：

$$\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}=\sum _{P\in S_r}\mathrm{sgn}(P)\mathrm{d}{x}^{{\mu }_{P(1)}}\wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_{P(2)}}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_{P(r)}}.\text{\hspace{1em}(5.62)}$$

例如，

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }=\mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }-\mathrm{d}{x}^{\nu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\mu }\\ & \mathrm{d}{x}^{\lambda }\wedge \mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }=\mathrm{d}{x}^{\lambda }\otimes \mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }+\mathrm{d}{x}^{\nu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\lambda }\otimes \mathrm{d}{x}^{\mu }\\ & +\mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\lambda }-\mathrm{d}{x}^{\lambda }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\mu }\\ & -\mathrm{d}{x}^{\nu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\lambda }-\mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\lambda }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }.\end{array}$$

容易验证，楔积满足以下性质。

(i) 若某个指标 $\mu$ 至少出现两次，则 $\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}=0$。
(ii) $\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}=\mathrm{sgn}(P)\mathrm{d}{x}^{{\mu }_{P(1)}}\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_{P(r)}}.$
(iii) $\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}$ 对每个 $\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 都是线性的。

若把 $p\in M$ 处的 $r$ 形式构成的向量空间记作 ${\Omega }_p^r(M)$，则 $r$ 形式 (5.62) 的集合构成 ${\Omega }_p^r(M)$ 的一组基，而元素 $\omega \in {\Omega }_p^r(M)$ 可展开为

$$\omega =\frac{1}{r!}{\omega }_{{\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_r}d{x}^{{\mu }_1}\wedge d{x}^{{\mu }_2}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}\text{\hspace{1em}(5.63)}$$

其中 ${\omega }_{{\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_r}$ 取为全反对称的，这反映了基的反对称性。例如，任意二阶张量 ${\omega }_{\mu \nu }$ 的分量可分解为对称部分 ${\sigma }_{\mu \nu }$ 与反对称部分 ${\alpha }_{\mu \nu }$：

$${\sigma }_{\mu v}={\omega }_{(\mu v)}\equiv \frac{1}{2}\left({\omega }_{\mu v}+{\omega }_{v\mu }\right)\text{\hspace{1em}(5.64a)}$$

$${\alpha }_{\mu \nu }={\omega }_{[\mu \nu ]}\equiv \frac{1}{2}\left({\omega }_{\mu \nu }-{\omega }_{\nu \mu }\right).\text{\hspace{1em}(5.64b)}$$

注意 ${\sigma }_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }=0$，而 ${\alpha }_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }={\omega }_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }$。

由于从 $(1,2,\dots ,m)$ 中选取集合 $({\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_r)$ 有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r}\right)$ 种方式，故在 (5.62) 中向量空间 ${\Omega }_p^r(M)$ 的维数为

$$\left(\begin{array}{c}m\\ r\end{array}\right)=\frac{m!}{(m-r)!r!}.$$

为方便起见，我们定义 ${\Omega }_p^0(M)=\mathbb{R}$。显然 ${\Omega }_p^1(M)=T_p^{\ast }M$。若 (5.62) 中的 $r$ 超过 $m$，则由于在反对称化求和中某个指标至少出现两次，它恒为零。等式 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m-r}\right)$ 蕴含 $\dim {\Omega }_p^r(M)=\dim {\Omega }_p^{m-r}(M)$。由于 ${\Omega }_p^r(M)$ 是向量空间，故 ${\Omega }_p^r(M)$ 与 ${\Omega }_p^{m-r}(M)$ 同构（见 section 2.2）。

我们通过平凡的推广来定义 $q$ 形式与 $r$ 形式的外积 $\wedge :{\Omega }_p^q(M)\times {\Omega }_p^r(M)\to {\Omega }_p^{q+r}(M)$。例如，设 $\omega \in {\Omega }_p^q(M)$，$\xi \in {\Omega }_p^r(M)$。$(q+r)$ 形式 $\omega \wedge \xi$ 对 $q+r$ 个向量的作用定义为

$$\begin{array}{rl}& (\omega \wedge \xi )(V_1,\dots ,V_{q+r})\\ & =\frac{1}{q!r!}\sum _{P\in S_{q+r}}\mathrm{sgn}(P)\omega \left(V_{P(1)},\dots ,V_{P(q)}\right)\xi \left(V_{P(q+1)},\dots ,V_{P(q+r)}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.65)}$$

其中 $V_i\in T_{p}M$。若 $q+r>m$，则 $\omega \wedge \xi$ 恒为零。借助这一乘积，我们定义一个代数

$${\Omega }_p^{\ast }(M)\equiv {\Omega }_p^0(M)\oplus {\Omega }_p^1(M)\oplus \cdots \oplus {\Omega }_p^m(M).\text{\hspace{1em}(5.66)}$$

${\Omega }_p^{\ast }(M)$ 是 $p$ 处所有微分形式构成的空间，并且对外积封闭。

练习 5.13

取 ${\mathbb{R}}^2$ 中的笛卡尔坐标 $(x,y)$。二次形式 $\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$ 是有向面积元（即初等向量代数中的向量积）。证明在极坐标下它变为 $r\mathrm{d}r\wedge \mathrm{d}\theta$。

练习 5.14

设 $\xi \in {\Omega }_p^q(M)$、$\eta \in {\Omega }_p^r(M)$ 和 $\omega \in {\Omega }_p^s(M)$。证明

$$\xi \wedge \xi =0\text{i f}q\text{若 q 为奇数}\text{\hspace{1em}(5.67a)}$$

$$\xi \wedge \eta =(-1{)}^{qr}\eta \wedge \xi \text{\hspace{1em}(5.67b)}$$

$$(\xi \wedge \eta )\wedge \omega =\xi \wedge (\eta \wedge \omega ).\text{\hspace{1em}(5.67c)}$$

我们可以在流形 $M$ 上的每一点光滑地指定一个 $r$-形式。我们把 $M$ 上光滑 $r$-形式构成的空间记作 ${\Omega }^r(M)$。此外，定义 ${\Omega }^0(M)$ 为光滑函数构成的代数，即 $\mathcal{F}(M)$。总结起来，我们有表 5.1。

表 5.1.

5.4.2 外微分

定义 5.5 外微分(exterior derivative)

外微分(exterior derivative) ${\mathrm{d}}_r$ 是一个映射 ${\Omega }^r(M)\to {\Omega }^{r+1}(M)$，它作用在 $r$ 次形式

$$\omega =\frac{1}{r!}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}$$

上，其定义为

$${\mathrm{d}}_r\omega =\frac{1}{r!}\left(\frac{\partial }{\partial x^v}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}\right)\mathrm{d}{x}^v\wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}.\text{\hspace{1em}(5.68)}$$

通常省略下标 $r$，直接写作 d。楔积会自动将系数反对称化。

例 5.10

三维空间中的 $r$ 次形式为：

(i) ${\omega }_0=f(x,y,z)$
(ii) ${\omega }_1={\omega }_x(x,y,z)\mathrm{d}x+{\omega }_y(x,y,z)\mathrm{d}y+{\omega }_z(x,y,z)\mathrm{d}z,$
(iii) ${\omega }_2={\omega }_{xy}(x,y,z)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y+{\omega }_{yz}(x,y,z)\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+{\omega }_{zx}(x,y,z)\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x$ 以及
(iv) ${\omega }_3={\omega }_{xyz}(x,y,z)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z.$

若用 ${\epsilon }^{\mu \nu \lambda }{\omega }_{\nu \lambda }$ 定义一个轴矢量(axial vector) ${\alpha }^{\mu }$，则二次形式可以看作一个“矢量”。列维–奇维塔符号 ${\epsilon }^{\mu \nu \lambda }$ 由 ${\epsilon }^{P(1)P(2)P(3)}=\mathrm{sgn}(P)$ 定义，它给出了 $\mathcal{X}(M)$ 与 ${\Omega }^2(M)$ 之间的同构。[注意这两者的维数都是三。]

$\mathrm{d}$ 的作用为

$$+\left(\frac{\partial {\omega }_x}{\partial z}-\frac{\partial {\omega }_z}{\partial x}\right)dz\wedge dx,$$

(i) $\mathrm{d}{\omega }_0=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z,$
(ii) $\mathrm{d}{\omega }_1=\left(\frac{\partial {\omega }_y}{\partial x}-\frac{\partial {\omega }_x}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y+\left(\frac{\partial {\omega }_z}{\partial y}-\frac{\partial {\omega }_y}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$
(iii) $\mathrm{d}{\omega }_2=\left(\frac{\partial {\omega }_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {\omega }_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {\omega }_{xy}}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z$ 以及
(iv) $\mathrm{d}{\omega }_3=0$

因此，$d$ 在 ${\omega }_0$ 上的作用对应于通常向量微积分中的“梯度”，在 ${\omega }_1$ 上的作用对应于“旋度”，在 ${\omega }_2$ 上的作用对应于“散度”。

练习 5.15

习题 5.15. 设 $\xi \in {\Omega }^q(M)$，$\omega \in {\Omega }^r(M)$。证明

$$\mathrm{d}(\xi \wedge \omega )=\mathrm{d}\xi \wedge \omega +(-1{)}^q\xi \wedge \mathrm{d}\omega .\text{\hspace{1em}(5.69)}$$

外微分还有一个有用的表达式，可如下得到。取 $X=X^{\mu }\partial /\partial x^{\mu },Y=Y^{\nu }\partial /\partial x^{\nu }\in \mathfrak{X}(M)$ 与 $\omega ={\omega }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\in {\Omega }^1(M)$。容易看出，组合

$$X[\omega (Y)]-Y[\omega (X)]-\omega ([X,Y])=\frac{\partial {\omega }_{\mu }}{\partial x^{\nu }}(X^{\nu }{Y}^{\mu }-X^{\mu }{Y}^{\nu })$$

等于 $\mathrm{d}\omega (X,Y)$，于是得到与坐标无关的表达式

$$\mathrm{d}\omega (X,Y)=X[\omega (Y)]-Y[\omega (X)]-\omega ([X,Y]).\text{\hspace{1em}(5.70)}$$

对于 $r$ 形式 $\omega \in {\Omega }^r(M)$，上式成为

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}\omega \left(X_1,\dots ,X_{r+1}\right)\\ & =\sum _{i=1}^r(-1{)}^{i+1}{X}_i\omega \left(X_1,\dots ,{\hat{X}}_i,\dots ,X_{r+1}\right)\\ & +\sum _{i<j}(-1{)}^{i+j}\omega ([X_i,X_j],X_1,\dots ,{\hat{X}}_i,\dots ,{\hat{X}}_j,\dots ,X_{r+1})\end{array}\text{\hspace{1em}(5.71)}$$

其中标有 $\hat{}$ 的项已被略去。作为练习，读者应对 $r=2$ 的情形显式验证 (5.71)。

下面我们证明一个重要公式：

$${\mathrm{d}}^2=0(\text{o r}{\mathrm{d}}_{r+1}{\mathrm{d}}_r=0).\text{\hspace{1em}(5.72)}$$

取

$$\omega =\frac{1}{r!}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}\in {\Omega }^r(M).$$

${\mathrm{d}}^2$ 作用在 $\omega$ 上得到

$${\mathrm{d}}^2\omega =\frac{1}{r!}\frac{{\partial }^2{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}}{\partial x^{\lambda }\partial x^{\nu }}\mathrm{d}{x}^{\lambda }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }\wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}.$$

该式恒为零，因为 ${\partial }^2{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}/\partial x^{\lambda }\partial x^{\nu }$ 关于 $\lambda$ 与 $\nu$ 是对称的，而 $\mathrm{d}{x}^{\lambda }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }$ 是反对称的。

例 5.11

已知电磁势 $A=(\varphi ,A)$ 是一个一形式，即 $A=A_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$（见chapter 10）。电磁张量(electromagnetic tensor)定义为 $F=\mathrm{d}A$，其分量为

$$\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x& -E_y& -E_x\\ E_x& 0& B_z& -B_y\\ E_y& -B_z& 0& B_x\\ E_z& B_y& -B_x& 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(5.73)}$$

其中

$$\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial }{\partial x^0}\mathbf{A}\text{a n d}\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$$

与通常一样。两个麦克斯韦方程 $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$ 与 $\partial \mathbf{B}/\partial t=-\nabla \times \mathbf{E}$ 由恒等式 $\mathrm{d}F=\mathrm{d}(\mathrm{d}A)=0$ 推出，该恒等式称为比安基恒等式(Bianchi identity)；而另一组方程则是由拉格朗日量(1.245)导出的运动方程。

映射 $f:M\to N$ 诱导出拉回 $f^{\ast }:T_{f(p)}^{\ast }N\to T_p^{\ast }M$，而 $f^{\ast }$ 可自然地推广到 $(0,r)$ 型张量上；见5.2 节。由于 $r$ 形式是 $(0,r)$ 型张量，这一点同样适用。设 $\omega \in {\Omega }^r(N)$，并设 $f$ 为映射 $M\to N$。在每一点 $f(p)\in N$ 处，$f$ 通过下式诱导出拉回 $f^{\ast }:{\Omega }_{f(p)}^{r}N\to {\Omega }_p^{r}M$：

$$\left(f^{\ast }\omega \right)\left(X_1,\dots ,X_r\right)\equiv \omega \left(f_{\ast }{X}_1,\dots ,f_{\ast }{X}_r\right)\text{\hspace{1em}(5.74)}$$

其中 $X_i\in T_{p}M$，而 $f_{\ast }$ 是微分映射 $T_{p}M\to T_{f(p)}N$。

练习 5.16

设 $\xi ,\omega \in {\Omega }^r(N)$，并设 $f:M\to N$。证明

$$\mathrm{d}\left(f^{\ast }\omega \right)=f^{\ast }(d\omega )\text{\hspace{1em}(5.75)}$$

$$f^{\ast }(\xi \wedge \omega )=\left(f^{\ast }\xi \right)\wedge \left(f^{\ast }\omega \right).\text{\hspace{1em}(5.76)}$$

外微分 ${\mathrm{d}}_r$ 诱导出序列

$$0\stackrel{i}{\to }{\Omega }^0(M)\stackrel{{\mathrm{d}}_0}{\to }{\Omega }^1(M)\stackrel{{\mathrm{d}}_1}{\to }\cdots \stackrel{d_{m-2}}{\to }{\Omega }^{m-1}(M)\stackrel{{\mathrm{d}}_{m-1}}{\to }{\Omega }^m(M)\stackrel{{\mathrm{d}}_m}{\to }0\text{\hspace{1em}(5.77)}$$

其中 $i$ 是包含映射 $0\hookrightarrow {\Omega }^0(M)$。该序列称为德拉姆复形(de Rham complex)。由于 ${\mathrm{d}}^2=0$，我们有 $\mathrm{im}{\mathrm{d}}_r\subset \ker {\mathrm{d}}_{r+1}$。[取 $\omega \in {\Omega }^r(M)$。则由 ${\mathrm{d}}_r\omega \in \mathrm{im}{\mathrm{d}}_r$ 与 ${\mathrm{d}}_{r+1}({\mathrm{d}}_r\omega )=0$ 可推出 ${\mathrm{d}}_r\omega \in \ker {\mathrm{d}}_{r+1}$。] $\ker {\mathrm{d}}_r$ 中的元素称为闭 $r$ 形式，而 $\mathrm{im}{\mathrm{d}}_{r-1}$ 中的元素称为恰当 $r$ 形式。也就是说，若 $\mathrm{d}\omega =0$，则 $\omega \in {\Omega }^r(M)$ 是闭的；若存在一个 $(r-1)$ 形式 $\psi$ 使得 $\omega =\mathrm{d}\psi$，则它是恰当的。商向量空间 $\ker {\mathrm{d}}_r/\mathrm{im}{d}_{r-1}$ 称为第 $r$ 德拉姆上同调群(de Rham cohomology group)，它被构造成同调群的对偶空间；见chapter 6。

5.4.3 形式的内积运算与李导数

另一个重要的运算是内积运算 ${\mathrm{i}}_X:{\Omega }^r(M)\to {\Omega }^{r-1}(M)$，其中 $X\in \mathcal{X}(M)$。对 $\omega \in {\Omega }^r(M)$，我们定义

$${\mathrm{i}}_X\omega \left(X_1,\dots ,X_{r-1}\right)\equiv \omega \left(X,X_1,\dots ,X_{r-1}\right).\text{\hspace{1em}(5.78)}$$

对 $X=X^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }$ 与 $\omega =(1/r!){\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}$，我们有

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{i}}_X\omega & =\frac{1}{(r-1)!}{X}^v{\omega }_{v{\mu }_2\dots {\mu }_r}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}\\ & =\frac{1}{r!}\sum _{s=1}^r{X}^{{\mu }_s}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_s\dots {\mu }_r}(-1{)}^{s-1}d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \widehat{d{x}^{{\mu }_s}}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}\end{array}\text{\hspace{1em}(5.79)}$$

其中 $\hat{\mu }$ 下方的项已被略去。例如，设 $(x,y,z)$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 的坐标，则

$${\mathrm{i}}_{e_x}(\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y)=\mathrm{d}y,{\mathrm{i}}_{e_x}(\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z)=0,{\mathrm{i}}_{e_x}(\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x)=-\mathrm{d}z.$$

形式的李导数用内积运算来写最为简洁。设 $\omega ={\omega }_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 是一个一形式，考虑组合

$$\begin{array}{rl}\left({\mathrm{di}}_X+{\mathrm{i}}_X\mathrm{d}\right)\omega & =\mathrm{d}\left(X^{\mu }{\omega }_{\mu }\right)+{\mathrm{i}}_X\left[\frac{1}{2}\left({\partial }_{\mu }{\omega }_{\nu }-{\partial }_{\nu }{\omega }_{\mu }\right)\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }\right]\\ & =\left({\omega }_{\mu }{\partial }_v{X}^{\mu }+X^{\mu }{\partial }_v{\omega }_{\mu }\right)d{x}^v+X^{\mu }\left({\partial }_{\mu }{\omega }_v-{\partial }_v{\omega }_{\mu }\right)d{x}^v\\ & =\left({\omega }_{\mu }{\partial }_v{X}^{\mu }+X^{\mu }{\partial }_{\mu }{\omega }_v\right)d{x}^v.\end{array}$$

将其与(5.55)比较，可得

$${\mathcal{L}}_X\omega =\left({\mathrm{di}}_X+{\mathrm{i}}_X\mathrm{d}\right)\omega .\text{\hspace{1em}(5.80)}$$

对一般的 $r$ 形式 $\omega =(1/r!){\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}\mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \dots \wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}$，我们有

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{L}}_X\omega =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }\left({\left({\sigma }_{\epsilon }\right)}^{\ast }\omega {|}_{{\sigma }_{\epsilon }(x)}-\omega {|}_x\right)\\ & =X^v\frac{1}{r!}{\partial }_v{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}\\ & +\sum _{s=1}^r{\partial }_{{\mu }_s}{X}^{\nu }\frac{1}{r!}{\omega }_{{\mu }_1\dots \nu \dots {\mu }_r}^{s}d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}.\end{array}\text{\hspace{1em}(5.81)}$$

我们还有

$$\begin{array}{rl}& \left({\mathrm{di}}_X+{\mathrm{i}}_X\mathrm{d}\right)\omega \\ & =\frac{1}{r!}\sum _{s=1}^r\left[{\partial }_v{X}^{{\mu }_s}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_s\dots {\mu }_r}+X^{{\mu }_s}{\partial }_v{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_s\dots {\mu }_r}\right]\\ & \times (-1{)}^{s-1}\mathrm{d}{x}^{\nu }\wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \widehat{\mathrm{d}{x}^{{\mu }_s}}\wedge \mathrm{d}{x}^{{\mu }_r}\\ & +\frac{1}{r!}[X^{\nu }{\partial }_{\nu }{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}\\ & +\sum _{s=1}^r{X}^{{\mu }_s}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_s\dots {\mu }_r}(-1{)}^{s}d{x}^v\wedge d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \widehat{d{x}^{{\mu }_s}}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}]\\ & =\frac{1}{r!}\sum _{s=1}^r[{\partial }_v{X}^{{\mu }_s}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_s\dots {\mu }_r}(-1{)}^{s-1}d{x}^v\wedge d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \widehat{d{x}^{{\mu }_s}}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}\\ & +\frac{1}{r!}{X}^v{\partial }_v{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_r}d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_r}.\end{array}$$

若在最后一个表达式的第一项中交换 ${\mu }_s$ 与 $\nu$ 的角色，并将其与(5.81)比较，我们便验证了

$$\left({\mathrm{di}}_X+{\mathrm{i}}_X\mathrm{d}\right)\omega ={\mathcal{L}}_X\omega \text{\hspace{1em}(5.82)}$$

对任意 $r$ 次形式 $\omega$ 均成立。

练习 5.17

习题 5.17. 设 $X,Y\in \mathcal{X}(M)$，$\omega \in {\Omega }^r(M)$。证明

$${\mathrm{i}}_{[X,Y]}\omega =X({\mathrm{i}}_Y\omega )-Y({\mathrm{i}}_X\omega ).\text{\hspace{1em}(5.83)}$$

再证明 ${\mathrm{i}}_X$ 是一个反导子，

$${\mathrm{i}}_X(\omega \wedge \eta )={\mathrm{i}}_X\omega \wedge \eta +(-1{)}^r\omega \wedge {\mathrm{i}}_X\eta \text{\hspace{1em}(5.84)}$$

并且是幂零的，

$${\mathrm{i}}_X^2=0.\text{\hspace{1em}(5.85)}$$

利用幂零性证明

$${\mathcal{L}}_X{\mathrm{i}}_X\omega ={\mathrm{i}}_X{\mathcal{L}}_X\omega .\text{\hspace{1em}(5.86)}$$

练习 5.18

习题 5.18. 设 $t\in {\mathfrak{T}}_m^n(M)$。证明

$${\left({\mathcal{L}}_{X}t\right)}_{{\nu }_1\dots {\nu }_m}^{{\mu }_1\dots {\mu }_n}=X^{\lambda }{\partial }_{\lambda }{t}_{{\nu }_1\dots {\nu }_m}^{{\mu }_1\dots {\mu }_n}+\sum _{s=1}^n{\partial }_{{\nu }_s}{X}^{\lambda }{t}_{{\nu }_1\dots \lambda \dots {\nu }_m}^{{\mu }_1\dots {\mu }_n}-\sum _{s=1}^n{\partial }_{\lambda }{X}^{{\mu }_s}{t}_{{\nu }_1\dots {\nu }_m}^{{\mu }_1\dots \lambda \dots {\mu }_n}.\text{\hspace{1em}(5.87)}$$

例 5.12

我们用微分形式重新表述哈密顿力学（section 1.1）。设 $H$ 为经典哈密顿函数，$(q^{\mu },p_{\mu })$ 为其相空间。定义一个二次形式(two-form)

$$\omega =\mathrm{d}{p}_{\mu }\wedge \mathrm{d}{q}^{\mu }\text{\hspace{1em}(5.88)}$$

称之为辛二次形式(symplectic two-form)。若引入一形式

$$\theta =q^{\mu }\mathrm{d}{p}_{\mu },\text{\hspace{1em}(5.89)}$$

则辛二次形式可表示为

$$\omega =\mathrm{d}\theta .\text{\hspace{1em}(5.90)}$$

给定相空间中的一个函数 $f(q,p)$，便可定义哈密顿向量场(Hamiltonian vector field)

$$X_f=\frac{\partial f}{\partial p_{\mu }}\frac{\partial }{\partial q^{\mu }}-\frac{\partial f}{\partial q^{\mu }}\frac{\partial }{\partial p_{\mu }}.\text{\hspace{1em}(5.91)}$$

于是容易验证

$${\mathrm{i}}_{X_f}\omega =-\frac{\partial f}{\partial p_{\mu }}\mathrm{d}{p}^{\mu }-\frac{\partial f}{\partial q^{\mu }}\mathrm{d}{q}^{\mu }=-\mathrm{d}f.$$

考虑由经典哈密顿函数生成的向量场

$$X_H=\frac{\partial H}{\partial p_{\mu }}\frac{\partial }{\partial q^{\mu }}-\frac{\partial H}{\partial q^{\mu }}\frac{\partial }{\partial p_{\mu }}.\text{\hspace{1em}(5.92)}$$

对于哈密顿运动方程的解 $(q^{\mu },p_{\mu })$

$$\frac{\mathrm{d}{q}^{\mu }}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_{\mu }}\frac{\mathrm{d}{p}_{\mu }}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial q^{\mu }},\text{\hspace{1em}(5.93)}$$

我们还可得到

$$X_H=\frac{\mathrm{d}{p}_{\mu }}{\mathrm{d}t}\frac{\partial }{\partial p_{\mu }}\frac{\mathrm{d}{q}^{\mu }}{\mathrm{d}t}\frac{\partial }{\partial q^{\mu }}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}.\text{\hspace{1em}(5.94)}$$

辛二次形式 $\omega$ 在由 $X_H$ 生成的流下保持不变

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{X_H}\omega & =\mathrm{d}({\mathrm{i}}_{X_H}\omega )+{\mathrm{i}}_{X_H}(\mathrm{d}\omega )\\ & =\mathrm{d}\left({\mathrm{i}}_{X_H}\omega \right)=-{\mathrm{d}}^{2}H=0\end{array}\text{\hspace{1em}(5.95)}$$

这里用到了 (5.82)。反之，若 $X$ 满足 ${\mathcal{L}}_X\omega =0$，则存在经典哈密顿函数 $H$，使得沿由 $X$ 生成的流满足哈密顿运动方程

这可由前面的观察得出：沿由 $X$ 生成的流有 ${\mathcal{L}}_X\omega =\mathrm{d}({\mathrm{i}}_X\omega )=0$，从而由庞加莱引理，存在函数 $H(q,p)$ 使得

$${\mathrm{i}}_X\omega =-\mathrm{d}H.$$

借助哈密顿向量场，泊松括号可以写成不依赖于所选特殊坐标的形式。事实上，

$${\mathrm{i}}_{X_f}({\mathrm{i}}_{X_g}\omega )=-{\mathrm{i}}_{X_f}(\mathrm{d}g)=\frac{\partial f}{\partial q^{\mu }}\frac{\partial g}{\partial p_{\mu }}-\frac{\partial f}{\partial q^{\mu }}\frac{\partial g}{\partial p_{\mu }}=[f,g{]}_{\mathrm{PB}}.(5.96)$$

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