5.6 李群与李代数

李群(Lie group)是一种流形，在它上面定义了群的运算，即乘积与逆元。李群在纤维丛理论中起着极其重要的作用，在物理学中也有广泛的应用。这里我们将阐明李群与李代数的几何方面。

5.6.1 李群

定义 5.8 李群(Lie group)

李群(Lie group) $G$ 是赋予群结构的可微流形，使得群运算

(i) $\cdot :G\times G\to G$，$(g_1,g_2)\mapsto g_1\cdot g_2$
(ii) ${}^{-1}:G\to G$，$g\mapsto g^{-1}$

都是可微的。[注：可以证明，$G$ 具有唯一的解析结构，使得乘法与求逆运算在该结构下可写成收敛的幂级数。]

李群的单位元记作 $e$。李群 $G$ 的维数(dimension)定义为 $G$ 作为流形的维数。乘法符号可以省略，$g_1\cdot g_2$ 通常写作 $g_1{g}_2$。例如，令 ${\mathbb{R}}^{\ast }\equiv \mathbb{R}-\{0\}$。取三个元素 $x,y,z\in {\mathbb{R}}^{\ast }$，使得 $xy=z$。显然，若把一个接近 $x$ 的数与一个接近 $y$ 的数相乘，就得到接近 $z$ 的数。类似地，接近 $x$ 的数的逆也接近 $1/x$。事实上，我们可以对这些映射关于相应的自变量求导，于是 ${\mathbb{R}}^{\ast }$ 在这些群运算下成为一个李群。若乘法是交换的，即 $g_1{g}_2=g_2{g}_1$，我们常用加法符号 + 代替乘法符号。

(a) 证明 ${\mathbb{R}}^{+}=\{x\in \mathbb{R}|x>0\}$ 关于乘法构成一个李群。
(b) 证明 $\mathbb{R}$ 关于加法构成一个李群。
(c) 证明 ${\mathbb{R}}^2$ 关于由 $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ 定义的加法构成一个李群。

例 5.14

设 $S^1$ 为复平面上的单位圆，

$$S^1=\{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }|\theta \in \mathbb{R}(\mathrm{mod}2\pi )\}.$$

由 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\theta +\phi )}$ 与 $({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }{)}^{-1}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }$ 定义的群运算是可微的，于是 $S^1$ 成为一个李群，我们称之为 $\mathrm{U}(1)$。容易看出，其群运算与exercise 5.19(b)中的群运算在模 $2\pi$ 意义下相同。

在物理应用中特别令人感兴趣的是那些作为一般线性群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 或 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 的子群的矩阵群。元素的乘积

就是矩阵乘法，逆元则由矩阵逆给出。$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的坐标由 $M=\{x_{ij}\}$ 的 $n^2$ 个元素给出。$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 是一个实维数为 $n^2$ 的非紧流形。

$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的一些有趣的子群是正交群 $\mathrm{O}(n)$、特殊线性群 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 和特殊正交群 $\mathrm{SO}(n)$：

$$\mathrm{O}(n)=\{M\in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})|M{M}^{\mathrm{t}}=M^{\mathrm{t}}M=I_n\}\text{\hspace{1em}(5.103)}$$

$$\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})=\{M\in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})|\det M=1\}\text{\hspace{1em}(5.104)}$$

$$\mathrm{SO}(n)=\mathrm{O}(n)\cap \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})\text{\hspace{1em}(5.105)}$$

其中 ${}^{\mathrm{t}}$ 表示矩阵的转置。在狭义相对论中，我们熟悉洛伦兹群

$$\mathrm{O}(1,3)=\{M\in \mathrm{GL}(4,\mathbb{R})|M\eta M^t=\eta \}$$

其中 $\eta$ 是闵可夫斯基度量，$\eta =\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$。推广到更高维时空是平凡的。

练习 5.20

证明群 $\mathrm{O}(1,3)$ 是非紧的，并且按行列式的符号与 $(0,0)$ 分量的符号可分为四个连通分支。包含单位矩阵的那个分支记作 ${\mathrm{O}}_{+}^{\uparrow }(1,3)$。

群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 是 ${\mathbb{C}}^n$ 中非奇异线性变换的集合，这些变换由元素为复数的 $n\times n$ 非奇异矩阵表示。酉群 $\mathrm{U}(n)$、特殊线性群 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 与特殊酉群 $\mathrm{SU}(n)$ 定义为

$$\mathrm{U}(n)=\{M\in \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})|M{M}^{†}=M^{†}M=1\}\text{\hspace{1em}(5.106)}$$

$$\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})=\{M\in \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})|\det M=1\}\text{\hspace{1em}(5.107)}$$

$$\mathrm{SU}(n)=\mathrm{U}(n)\cap \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})\text{\hspace{1em}(5.108)}$$

其中 $†$ 表示厄米共轭。

至此我们只是提到，这些矩阵群是李群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$（或 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$）的子群。下面的定理保证它们都是李子群，也就是说，这些子群本身都是李群。我们不加证明地接受这个重要（且难以证明）的定理。

定理 5.2

李群 $G$ 的每个闭子群 $H$ 都是李子群。

例如，$\mathrm{O}(n)$、$\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 与 $\mathrm{SO}(n)$ 都是 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的李子群。要看出 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 为何是闭子群，可考虑由 $A\mapsto \det A$ 定义的映射 $f:\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})\to \mathbb{R}$。显然 $f$ 是连续映射，且 $f^{-1}(1)=\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$。点 $\{1\}$ 是 $\mathbb{R}$ 的闭子集，因此 $f^{-1}(1)$ 在 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 中是闭的。于是由定理 5.2可知 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 是李子群。读者应自行验证 $\mathrm{O}(n)$ 与 $\mathrm{SO}(n)$ 也是 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的李子群。

设 $G$ 是李群，$H$ 是 $G$ 的李子群。定义等价关系(equivalence relation) $\sim$ 如下：若存在元素 $h\in H$ 使得 $g^{\prime }=gh$，则称 $g\sim g^{\prime }$。等价类 $[g]$ 是集合 $\{gh|h\in H\}$。陪集空间 $G/H$ 是一个流形（不一定是李群），且 $\dim G/H=\dim G-\dim H$。若 $H$ 是 $G$ 的正规子群，即对任意 $g\in G$ 与 $h\in H$ 都有 $gh{g}^{-1}\in H$，则 $G/H$ 是李群。事实上，取等价类 $[g]$、$[g^{\prime }]\in G/H$ 并构造乘积 $[g][g^{\prime }]$。若群结构在 $G/H$ 中有良好定义，则乘积必须与代表元的选取无关。设 $gh$ 与 $g^{\prime }{h}^{\prime }$ 分别是 $[g]$ 与 $[g^{\prime }]$ 的代表元，则 $gh{g}^{\prime }{h}^{\prime }=g{g}^{\prime }{h}^{\prime \prime }{h}^{\prime }\in [g{g}^{\prime }]$，其中等号成立是因为存在 $h^{\prime \prime }\in H$ 使得 $h{g}^{\prime }=g^{\prime }{h}^{\prime \prime }$。至于 $[g{]}^{-1}$ 也是良好定义的运算且 $[g{]}^{-1}=[g^{-1}]$，则留作习题由读者证明。

5.6.2 李代数

定义 5.9 右平移(right-translation)、左平移(left-translation)

设 $a$ 与 $g$ 是李群 $G$ 的元素。用 $a$ 对 $g$ 作右平移 $R_a:G\to G$ 和左平移 $L_a:G\to G$，其定义为

$$R_{a}g=ga\text{\hspace{1em}(5.109a)}$$

$$L_{a}g=ag.\text{\hspace{1em}(5.109b)}$$

按定义，$R_a$ 与 $L_a$ 是从 $G$ 到 $G$ 的微分同胚。因此，映射 $L_a:G\to G$ 与 $R_a:G\to G$ 分别诱导出 $L_{a\ast }:T_{g}G\to T_{ag}G$ 与 $R_{a\ast }:T_{g}G\to T_{ga}G$；见5.2 节。由于这两种平移给出等价的理论，下文我们主要关注左平移。基于右平移的分析可以类似地进行。

给定一个李群 $G$，存在一类特殊的向量场，它们以在群作用下的不变性为特征。[在通常的流形上，并没有一种典范的方式来区分某些向量场与其余向量场。]

定义 5.10 左不变向量场(left-invariant vector field)

设 $X$ 是李群 $G$ 上的向量场。若 $L_{a\ast }X{|}_g=X{|}_{ag}$，则称 $X$ 为左不变向量场(left-invariant vector field)。

练习 5.21

验证左不变向量场 $X$ 满足

$${L_{a\ast }X|}_g=X^{\mu }(g)\frac{\partial x^{\nu }(ag)}{\partial x^{\mu }(g)}{\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}|}_{ag}=X^{\nu }(ag){\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}|}_{ag}\text{\hspace{1em}(5.110)}$$

其中 $x^{\mu }(g)$ 与 $x^{\mu }(ag)$ 分别是 $g$ 与 $ag$ 的坐标。

向量 $V\in T_{e}G$ 通过下式在整个 $G$ 上唯一地确定一个左不变向量场 $X_V$：

$${X_V|}_g=L_{g\ast }Vg\in G.\text{\hspace{1em}(5.111)}$$

事实上，由 (5.34) 可以验证 $X_V{|}_{ag}=L_{ag\ast }V=(L_a{L}_g{)}_{\ast }V=L_{a\ast }{L}_{g\ast }V=L_{a\ast }{X}_V{|}_g$。反之，一个左不变向量场 $X$ 也唯一地确定一个向量 $V=X{|}_e\in T_{e}G$。我们把 $G$ 上左不变向量场的集合记作

$\mathfrak{g}$。由 $V\mapsto X_V$ 定义的映射 $T_{e}G\to \mathfrak{g}$ 是一个同构，由此可知左不变向量场的集合是一个向量空间，且同构于 $T_{e}G$。特别地，$\dim \mathfrak{g}=\dim G$。

由于 $\mathfrak{g}$ 是一个向量场集合，它是 $\mathcal{X}(G)$ 的子集，因此5.3 节中定义的李括号在 $\mathfrak{g}$ 上也有定义。下面证明 $\mathfrak{g}$ 对李括号封闭。在 $G$ 中取两点 $g$ 和 $ag=L_{a}g$。若把 $L_{a\ast }$ 作用于 $X,Y\in \mathfrak{g}$ 的李括号 $[X,Y]$，则得到

$${L_{a\ast }[X,Y]|}_g={\left[L_{a\ast }X\right|}_g,{L_{a\ast }Y|}_g={[X,Y]|}_{ag}\text{\hspace{1em}(5.112)}$$

这里用到了 $X$ 与 $Y$ 的左不变性以及(5.52)。于是 $[X,Y]\in \mathfrak{g}$，即 $\mathfrak{g}$ 对李括号封闭。

具体算出 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的左不变向量场是很有启发性的。$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的坐标由矩阵的 $n^2$ 个元素 $x^{ij}$ 给出。单位元为 $e=I_n=({\delta }^{ij})$。设 $g=\{x^{ij}(g)\}$ 与 $a=\{x^{ij}(a)\}$ 是 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的元素，则左平移为

$$L_{a}g=ag=\sum x^{ik}(a)x^{kj}(g).$$

取向量 $V=\sum V^{ij}\partial /\partial x^{ij}{|}_e\in T_{e}G$，其中 $V^{ij}$ 是 $V$ 的元素。由 $V$ 生成的左不变向量场为

$$\begin{array}{rl}{X}_V{|}_g& =L_{g\ast }V=\sum _{ijklm}{V}^{ij}\frac{\partial }{\partial x^{ij}}{|}_e{x}^{kl}(g)x^{lm}(e)\frac{\partial }{\partial x^{km}}{|}_g\\ & =\sum V^{ij}{x}^{kl}(g){\delta }_i^l{\delta }_j^m{\frac{\partial }{\partial x^{km}}|}_g\\ & =\sum x^{ki}(g)V^{ij}{\frac{\partial }{\partial x^{kj}}|}_g=\sum (gV{)}^{kj}\frac{\partial }{\partial x^{kj}}{|}_g\end{array}\text{\hspace{1em}(5.113)}$$

其中 $gV$ 是 $g$ 与 $V$ 的通常矩阵乘法。向量 $X_V{|}_g$ 常简记为 $gV$，因为它给出了该向量的分量。

由 $V=V^{ij}\partial /\partial x^{ij}{|}_e$ 与 $W=W^{ij}\partial /\partial x^{ij}{|}_e$ 生成的 $X_V$ 与 $X_W$ 的李括号为

$$\begin{array}{rl}{\left[X_V,X_W\right]|}_g& =\sum x^{ki}(g)V^{ij}\frac{\partial }{\partial x^{kj}}{|}_g{x}^{ca}(g)W^{ab}\frac{\partial }{\partial x^{cb}}{|}_g-(V\leftrightarrow W)\\ & =\sum x^{ij}(g)[V^{jk}{W}^{kl}-W^{jk}{V}^{kl}]{\frac{\partial }{\partial x^{il}}|}_g\\ & =\sum (g[V,W]{)}^{ij}\frac{\partial }{\partial x^{ij}}{|}_g.\end{array}\text{\hspace{1em}(5.114)}$$

显然，(5.113) 与 (5.114) 对任意矩阵群都成立，于是我们得到

$$\begin{array}{rl}{L}_{g\ast }V& =gV(5.115)\\ & {\left[X_V,X_W\right]|}_g=L_{g\ast }[V,W]=g[V,W].(5.116)\end{array}$$

现在，李代数(Lie algebra)定义为带有李括号的左不变向量场的集合 $\mathfrak{g}$。

定义 5.11 李代数(Lie algebra)

带有李括号 $[,]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ 的左不变向量场的集合 $\mathfrak{g}$ 称为李群 $G$ 的李代数(Lie algebra)。

我们用相应的小写哥特体字母表示李群的李代数。例如，$\mathfrak{so}(n)$ 是 $\mathrm{SO}(n)$ 的李代数。

(a) 取 $G=\mathbb{R}$ 如exercise 5.19(b)所示。若用 $x\mapsto x+a$ 定义左平移(left translation) $L_a$，则左不变向量场为 $X=\partial /\partial x$。事实上，

$$L_{a\ast }X{|}_x=\frac{\partial (a+x)}{\partial x}\frac{\partial }{\partial (a+x)}=\frac{\partial }{\partial (x+a)}=X{|}_{x+a}.$$

显然这是 $\mathbb{R}$ 上唯一的左不变向量场。我们还发现 $X=\partial /\partial \theta$ 是 $G=\mathrm{SO}(2)=\{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }|0\le \theta \le 2\pi \}$ 上唯一的左不变向量场。因此，李群 $\mathbb{R}$ 与 $\mathrm{SO}(2)$ 具有共同的李代数。

(b) 设 $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$ 为 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的李代数，$c:(-\epsilon ,\epsilon )\to \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 为满足 $c(0)=I_n$ 的曲线。在 $s=0$ 附近，该曲线可由 $c(s)=I_n+sA+O(s^2)$ 近似，其中 $A$ 是元素为实数的 $n\times n$ 矩阵。注意，当 $s$ 足够小时，$\det c(s)$ 不会为零，且 $c(s)$ 确实属于 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$。$c(s)$ 在 $I_n$ 处的切向量为 $c^{\prime }(s){|}_{s=0}=A$。这表明 $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$ 是 $n\times n$ 矩阵的集合。显然 $\dim \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})=n^2=\dim \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$。$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的子群则更有意思。

(c) 下面我们来求 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 的李代数 $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{R})$。按照上述方法，我们用 $c(s)=I_n+sA+O(s^2)$ 来近似一条经过 $I_n$ 的曲线。$c(s)$ 在 $I_n$ 处的切向量为 ${c^{\prime }(s)|}_{s=0}=A$。现在，要使曲线 $c(s)$ 属于 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$，$c(s)$ 必须满足 $\det c(s)=1+\mathrm{str}A=1$，即 $\mathrm{tr}A=0$。因此，$\mathfrak{sl}(n,\mathbb{R})$ 是 $n\times n$ 无迹矩阵的集合，且 $\dim \mathfrak{sl}(n,\mathbb{R})=n^2-1$。

(d) 设 $c(s)=I_n+sA+O(s^2)$ 是 $\mathrm{SO}(n)$ 中一条经过 $I_n$ 的曲线。由于 $c(s)$ 是 $\mathrm{SO}(n)$ 中的曲线，它满足 $c(s{)}^{\mathfrak{t}}c(s)=I_n$。对此恒等式求导，得到 $c^{\prime }(s{)}^{\mathfrak{t}}c(s)+c(s{)}^{\mathfrak{t}}{c}^{\prime }(s)=0$。在 $s=0$ 处，该式化为 $A^{\mathfrak{t}}+A=0$。因此，$\mathfrak{so}(n)$ 是反对称矩阵的集合。由于我们只关心单位元附近的情形，$\mathrm{O}(n)$ 的李代数与 $\mathrm{SO}(n)$ 的李代数相同：$\mathfrak{o}(n)=\mathfrak{so}(n)$。容易看出 $\dim \mathfrak{o}(n)=\dim \mathfrak{so}(n)=n(n-1)/2$。

(e) 对 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 的矩阵群可以做类似的分析。$\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})$ 是元素为复数的 $n\times n$ 矩阵的集合，且 $\dim \mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})=2n^2$（这里的维数是实维数）。$\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ 是无迹矩阵的集合，其实维数为 $2(n^2-1)$。为求 $\mathfrak{u}(n)$，我们考虑 $\mathrm{U}(n)$ 中的一条曲线 $c(s)=I_n+sA+O(s^2)$。由于 $c(s{)}^{†}c(s)=I_n$，我们有 $c^{\prime }(s{)}^{†}c(s)+c(s{)}^{†}{c}^{\prime }(s)=0$。在 $s=0$ 处，得到 $A^{†}+A=0$。

因此，$\mathfrak{u}(n)$ 是斜厄米矩阵的集合，且 $\dim \mathfrak{u}(n)=n^2$。$\mathfrak{su}(n)=\mathfrak{u}(n)\cap \mathfrak{sl}(n)$ 是无迹斜厄米矩阵的集合，且 $\dim \mathfrak{su}(n)=n^2-1$。

练习 5.22

习题 5.22. 设

$$c(s)=\left(\begin{array}{ccc}\cos s& -\sin s& 0\\ \sin s& \cos s& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

为 SO(3) 中的一条曲线。求该曲线在 $I_3$ 处的切向量。

5.6.3 单参数子群

向量场 $X\in \mathcal{X}(M)$ 在 $M$ 上生成一个流（5.3 节）。这里我们关心的是由左不变向量场生成的流。

定义 5.12 单参数子群(one-parameter subgroup)

若曲线 $\varphi :\mathbb{R}\to G$ 满足条件，则称它为 $G$ 的单参数子群(one-parameter subgroup)：

$$\varphi (t)\varphi (s)=\varphi (t+s).\text{\hspace{1em}(5.117)}$$

容易看出 $\varphi (0)=e$ 且 ${\varphi }^{-1}(t)=\varphi (-t)$。注意，如此定义的曲线 $\varphi$ 是从 $\mathbb{R}$ 到 $G$ 的同态。尽管 $G$ 可能是非交换的，单参数子群(one-parameter subgroup)却是交换子群：$\varphi (t)\varphi (s)=\varphi (t+s)=\varphi (s+t)=\varphi (s)\varphi (t)$。

给定单参数子群 $\varphi :\mathbb{R}\to G$，存在向量场 $X$ 使得

$$\frac{\mathrm{d}{\varphi }^{\mu }(t)}{\mathrm{d}t}=X^{\mu }(\varphi (t)).\text{\hspace{1em}(5.118)}$$

下面我们证明向量场 $X$ 是左不变的。首先注意，向量场 $\mathrm{d}/\mathrm{d}t$ 在 $\mathbb{R}$ 上是左不变的，见example 5.15(a)。于是有

$${{\left(L_t\right)}_{\ast }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_0={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_t.\text{\hspace{1em}(5.119)}$$

接下来，我们把诱导映射 ${\varphi }_{\ast }:T_t\mathbb{R}\to T_{\varphi (t)}G$ 作用于向量 $\mathrm{d}/\mathrm{d}t{|}_0$ 与 $\mathrm{d}/\mathrm{d}t{|}_t$，

$${{\varphi }_{\ast }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_0={\frac{\mathrm{d}{\varphi }^{\mu }(t)}{\mathrm{d}t}|}_0{\frac{\partial }{\partial g^{\mu }}|}_e=X{|}_e\text{\hspace{1em}(5.120a)}$$

$${{\varphi }_{\ast }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_t={\frac{\mathrm{d}{\varphi }^{\mu }(t)}{\mathrm{d}t}|}_t{\frac{\partial }{\partial g^{\mu }}|}_g=X{|}_g\text{\hspace{1em}(5.120b)}$$

其中我们令 $\varphi (t)=g$。由(5.119)和 (5.120b) 可得

$${{\left(\varphi L_t\right)}_{\ast }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_0={{\varphi }_{\ast }{L}_{t\ast }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_0=X{|}_g.\text{\hspace{1em}(5.121a)}$$

由交换性 $\varphi L_t=L_g\varphi$ 可得 ${\varphi }_{\ast }{L}_{t\ast }=L_{g\ast }{\varphi }_{\ast }$。于是 (5.121a) 变为

$${{\varphi }_{\ast }{L}_{t\ast }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_0={L_{g\ast }{\varphi }_{\ast }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_0=L_{g\ast }X{|}_e.\text{\hspace{1em}(5.121b)}$$

由(5.121)，我们得出

$$L_{g\ast }X{|}_e=X{|}_g.\text{\hspace{1em}(5.122)}$$

因此，给定一个流 $\varphi (t)$，就存在与之相伴的左不变向量场 $X\in \mathfrak{g}$。

反之，一个左不变向量场 $X$ 定义了一个单参数变换群 $\sigma (t,g)$，使得 $\mathrm{d}\sigma (t,g)/\mathrm{d}t=X$ 且 $\sigma (0,g)=g$。若用 $\varphi (t)\equiv \sigma (t,e)$ 来定义 $\varphi :\mathbb{R}\to G$，则曲线 $\varphi (t)$ 便成为 $G$ 的单参数子群。为证明这一点，我们必须证明 $\varphi (s+t)=\varphi (s)\varphi (t)$。按定义，$\sigma$ 满足

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sigma (t,\sigma (s,e))=X(\sigma (t,\sigma (s,e))).\text{\hspace{1em}(5.123)}$$

[为记号简便，我们省略了坐标指标。若读者感到不习惯，可以按(5.118)那样补上指标。] 若固定参数 $s$，则 $\bar{\sigma }(t,\varphi (s))\equiv \varphi (s)\varphi (t)$ 是过 $\varphi (s)\varphi (0)=\varphi (s)$ 的一条曲线 $\mathbb{R}\to G$。显然 $\sigma$ 与 $\bar{\sigma }$ 满足相同的初值条件，

$$\sigma (0,\sigma (s,e))=\bar{\sigma }(0,\varphi (s))=\varphi (s).\text{\hspace{1em}(5.124)}$$

$\bar{\sigma }$ 也满足与 $\sigma$ 相同的微分方程。

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bar{\sigma }(t,\varphi (t))& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\varphi (s)\varphi (t)={\left(L_{\varphi (s)}\right)}_{\ast }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\varphi (t)\\ & =\left(L_{\varphi (s)}\right)\ast X(\varphi (t))\\ & =X(\varphi (s)\varphi (t))\text{（左不变性）}\\ & =X(\bar{\sigma }(t,\varphi (s))).\end{array}\text{\hspace{1em}(5.125)}$$

由常微分方程的唯一性定理，我们得出

$$\varphi (s+t)=\varphi (s)\varphi (t).\text{\hspace{1em}(5.126)}$$

我们发现，$G$ 的单参数子群与左不变向量场之间存在一一对应。若如下定义指数映射，这一对应关系便一目了然。

定义 5.13 指数映射(exponential map)

设 $G$ 为李群，$V\in T_{e}G$。指数映射(exponential map) $\exp :T_{e}G\to G$ 定义为

$$\exp V\equiv {\varphi }_V(1)\text{\hspace{1em}(5.127)}$$

其中 ${\varphi }_V$ 是由左不变向量场 $X_V{|}_g=L_{g^{\ast }}V$ 生成的 $G$ 的单参数子群。

命题 5.2

设 $V\in T_{e}G$，$t\in \mathbb{R}$，则

$$\exp (tV)={\varphi }_V(t)\text{\hspace{1em}(5.128)}$$

其中 ${\varphi }_V(t)$ 是由 $X_V{|}_g=L_{g\ast }V$ 生成的单参数子群。

证明

设 $a\ne 0$ 为常数，则 ${\varphi }_V(at)$ 满足

$${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\varphi }_V(at)|}_{t=0}={a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\varphi }_V(t)|}_{t=0}=aV$$

这表明 ${\varphi }_V(at)$ 是由 $L_{g\ast }aV$ 生成的单参数子群。左不变向量场 $L_{g\ast }aV$ 也生成 ${\varphi }_{aV}(t)$，由解的唯一性可知 ${\varphi }_V(at)={\varphi }_{aV}(t)$。由定义 5.13可得

$$\exp (aV)={\varphi }_{aV}(1)={\varphi }_V(a).$$

将 $a$ 换成 $t$，便完成了证明。

对于矩阵群，指数映射就是矩阵的指数。取 $G=\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 与 $A\in \mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$，并如下定义一个单参数子群 ${\varphi }_A:\mathbb{R}\to \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$：

$${\varphi }_A(t)=\exp (tA)=I_n+tA+\frac{t^2}{2!}{A}^2+\cdots +\frac{t^n}{n!}{A}^n+\dots .\text{\hspace{1em}(5.129)}$$

事实上，由于 $[{\varphi }_A(t){]}^{-1}={\varphi }_A(-t)$ 存在，故有 ${\varphi }_A(t)\in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$。也容易看出 ${\varphi }_A(t){\varphi }_A(s)=\varphi (t+s)$。于是指数映射由下式给出：

$${\varphi }_A(1)=\exp (A)=I_n+A+\frac{1}{2!}{A}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{A}^n+\dots .\text{\hspace{1em}(5.130)}$$

曲线 $g\exp (tA)$ 是过 $g\in G$ 的流。我们得到

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}g\exp (tA){|}_{t=0}=L_{g\ast }A=X_A{|}_g$$

其中 $X_A$ 是由 $A$ 生成的左不变向量场。由(5.115)可知，对于矩阵群 $G$，有

$$L_{g\ast }A=X_A{|}_g=gA.\text{\hspace{1em}(5.131)}$$

曲线 $g\exp (tA)$ 通过 ${\sigma }_t(g)\equiv g\exp (tA)$ 定义了一个映射 ${\sigma }_t:G\to G$，它也可表示为右平移，

$${\sigma }_t=R_{\exp (tA)}.\text{\hspace{1em}(5.132)}$$

5.6.4 标架与结构方程

设 $n$ 个向量 $\{V_1,V_2,\dots ,V_n\}$ 构成 $T_{e}G$ 的一组基，其中 $n=\dim G$（本书始终假定 $n$ 为有限数）。这组基通过 $X_{\mu }{|}_g=L_{g\ast }{V}_{\mu }$ 在 $G$ 中的每一点 $g$ 处定义了 $n$ 个线性无关的左不变向量场 $\{X_1,X_2,\dots ,X_n\}$。注意，集合 $\{X_{\mu }\}$ 是定义在整个 $G$ 上的一个基标架。由于 $[X_{\mu },X_{\nu }]{|}_g$ 在 $g$ 处仍是 $\mathfrak{g}$ 的元素，故可按 $\{X_{\mu }\}$ 展开为

$$\left[X_{\mu },X_v\right]=c_{\mu v}^{\lambda }{X}_{\lambda }\text{\hspace{1em}(5.133)}$$

其中 $c_{\mu \nu }^{\lambda }$ 称为李群 $G$ 的结构常数(structure constant)。若 $G$ 是矩阵群，则 (5.133) 左端在 $g=e$ 处正是矩阵 $V_{\mu }$ 与 $V_{\nu }$ 的对易子；参见 (5.116)。下面我们证明 $c_{\mu \nu }^{\lambda }$ 确实是与 $g$ 无关的常数。设 $c_{\mu \nu }^{\lambda }(e)$ 为单位元处的结构常数。若将 $L_{g\ast }$ 作用于李括号，便得到

$$\left[X_{\mu },X_{\nu }\right]{|}_g=c_{\mu \nu }^{\lambda }(e)X_{\lambda }{|}_g$$

这表明结构常数与 $g$ 无关。从某种意义上说，结构常数完全确定了一个李群（李定理）。

练习 5.23

证明结构常数满足

(a) 反对称性

$$c_{\mu \nu }^{\lambda }=-c_{\nu \mu }^{\lambda }\text{\hspace{1em}(5.134)}$$

(b) 雅可比恒等式

$$c_{\mu \nu }^{\tau }{c}_{\tau \rho }^{\lambda }+c_{\rho \mu }^{\tau }{c}_{\tau \nu }^{\lambda }+c_{\nu \rho }^{\tau }{c}_{\tau \mu }^{\lambda }=0.\text{\hspace{1em}(5.135)}$$

下面我们引入 $\{X_{\mu }\}$ 的对偶基，记作 $\{{\theta }^{\mu }\}$；$⟨{\theta }^{\mu },X_{\nu }⟩={\delta }_{\nu }^{\mu }$。$\{{\theta }^{\mu }\}$ 是左不变一形式的一组基。我们将证明，这组对偶基满足 Maurer-Cartan 结构方程，

$$\mathrm{d}{\theta }^{\mu }=-\frac{1}{2}{c}_{\nu \lambda }^{\mu }{\theta }^{\nu }\wedge {\theta }^{\lambda }.\text{\hspace{1em}(5.136)}$$

这一点可利用 (5.70) 看出：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{\theta }^{\mu }\left(X_{\nu },X_{\lambda }\right)& =X_{\nu }\left[{\theta }^{\mu }\left(X_{\lambda }\right)\right]-X_{\lambda }\left[{\theta }^{\mu }\left(X_{\nu }\right)\right]-{\theta }^{\mu }\left(\left[X_{\nu },X_{\lambda }\right]\right)\\ & =X_{\nu }\left[{\delta }_{\lambda }^{\mu }\right]-X_{\lambda }\left[{\delta }_{\nu }^{\mu }\right]-{\theta }^{\mu }\left(c_{\nu \lambda }^{\kappa }{X}_{\kappa }\right)=-c_{\nu \lambda }^{\mu }\end{array}$$

这就证明了 (5.136)。

我们定义一个李代数值一形式(Lie-algebra-valued one-form) $\theta :T_{g}G\to T_{e}G$ 为

$$\theta :X\mapsto {\left(L_{g^{-1}}\right)}_{\ast }X={\left(L_g\right)}_{\ast }^{-1}XX\in T_{g}G.\text{\hspace{1em}(5.137)}$$

$\theta$ 称为 $G$ 上的典范一形式(canonical one-form)或 Maurer-Cartan 形式。

定理 5.3

(a) 典范一形式 $\theta$ 可展开为

$$\theta =V_{\mu }\otimes {\theta }^{\mu }\text{\hspace{1em}(5.138)}$$

其中 $\{V_{\mu }\}$ 是 $T_{e}G$ 的基，$\{{\theta }^{\mu }\}$ 是 $T_e^{\ast }G$ 的对偶基。

(b) 典范一形式 $\theta$ 满足

$$\mathrm{d}\theta +\frac{1}{2}[\theta \wedge \theta ]=0\text{\hspace{1em}(5.139)}$$

其中 $\mathrm{d}\theta \equiv V_{\mu }\otimes \mathrm{d}{\theta }^{\mu }$，并且

$$[\theta \wedge \theta ]\equiv [V_{\mu },V_{\nu }]\otimes {\theta }^{\mu }\wedge {\theta }^{\nu }.\text{\hspace{1em}(5.140)}$$

证明

(a) 任取向量 $Y=Y^{\mu }{X}_{\mu }\in T_{g}G$，其中 $\{X_{\mu }\}$ 是由 $\{V_{\mu }\}$ 生成的标架向量集合，即 $X_{\mu }{|}_g=L_{g\ast }{V}_{\mu }$。由(5.137)可得

$$\theta (Y)=Y^{\mu }\theta (X_{\mu })=Y^{\mu }(L_{g\ast }{)}^{-1}[L_{g\ast }{V}_{\mu }]=Y^{\mu }{V}_{\mu }.$$

然而，

$$(V_{\mu }\otimes {\theta }^{\mu })(Y)=Y^v{V}_{\mu }{\theta }^{\mu }(X_v)=Y^v{V}_{\mu }{\delta }_v^{\mu }=Y^{\mu }{V}_{\mu }.$$

由于 $Y$ 是任意的，故有 $\theta =V_{\mu }\otimes {\theta }^{\mu }$

(b) 利用 Maurer-Cartan 结构方程式 (5.136)：

$$\mathrm{d}\theta +\frac{1}{2}[\theta \wedge \theta ]=-\frac{1}{2}{V}_{\mu }\otimes c_{\nu \lambda }^{\mu }{\theta }^{\nu }\wedge {\theta }^{\lambda }+\frac{1}{2}{c}_{\nu \lambda }^{\mu }{V}_{\mu }\otimes {\theta }^{\nu }\wedge {\theta }^{\lambda }=0$$

其中 $c_{\nu \lambda }^{\mu }$ 是 $G$ 的结构常数。

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