11 示性类

给定纤维 $F$、结构群 $G$ 与底空间 $M$，我们可以在 $M$ 上构造出许多纤维丛，具体取决于过渡函数的选取。我们自然会问：在 $M$ 上以给定的 $F$ 和 $G$ 为纤维与结构群的丛有多少个？它们与平凡丛 $M\times F$ 相差多少？例如，我们在10.5 节中看到，$S^4$ 上的 $\mathrm{SU}(2)$ 丛由同伦群 ${\pi }_3(\mathrm{SU}(2))\cong \mathbb{Z}$ 分类。数 $n\in \mathbb{Z}$ 告诉我们，当把丛的局部片段粘合起来时，过渡函数如何将其扭转。我们还看到，这个同伦群可以通过在 $S^4$ 上积分 $\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^2\in H^4(S^4)$ 来计算，见定理 10.7。

示性类是底空间上同调类的子集，用来度量丛的非平凡性或扭转程度。在这个意义上，它们是阻碍丛成为平凡丛的障碍。大多数示性类由德拉姆上同调类给出。除了在纤维丛分类中的重要性之外，示性类还在指标定理中起着核心作用。

这里我们遵循 Alvarez-Gaumé 与 Ginsparg（1984）、Eguchi 等（1980）、Gilkey（1995）以及 Wells（1980）的论述。更偏数学的阐述可参见 Bott 与 Tu（1982）、Milnor 与 Stasheff（1974）。

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