11.2 陈类

11.2.1 定义

设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是纤维为 ${\mathbb{C}}^k$ 的复向量丛。其结构群 $G$ 是 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$ 的子群，规范势 $\mathcal{A}$ 与场强 $\mathcal{F}$ 均取值于 $\mathfrak{g}$。定义全陈类为

$$c(\mathcal{F})\equiv \det \left(I+\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }\right).\text{\hspace{1em}(11.25)}$$

由于 $\mathcal{F}$ 是2-形式，$c(\mathcal{F})$ 是各偶数次形式之直和，

$$c(\mathcal{F})=1+c_1(\mathcal{F})+c_2(\mathcal{F})+\dots \text{\hspace{1em}(11.26)}$$

其中 $c_j(\mathcal{F})\in {\Omega }^{2j}(M)$ 称为第 $j$ 陈类。在 $m$ 维流形 $M$ 上，当 $2j>m$ 时陈类 $c_j(\mathcal{F})$ 平凡地为零。无论 $\dim M$ 如何，该级数在 $c_k(\mathcal{F})=\det (\mathrm{i}\mathcal{F}/2\pi )$ 处终止，且当 $j>k$ 时 $c_j(\mathcal{F})=0$。由于 $c_j(\mathcal{F})$ 是闭的，它定义了 $H^{2j}(M)$ 中的一个元素 $[c_j(\mathcal{F})]$。

例 11.1

设 $F$ 是以 ${\mathbb{C}}^2$ 为纤维、底空间为 $M$ 的复向量丛，其中 $G=\mathrm{SU}(2)$，$\dim M=4$。若将场写成 $\mathcal{F}={\mathcal{F}}^{\alpha }({\sigma }_{\alpha }/2\mathrm{i})$，${\mathcal{F}}^{\alpha }=\frac{1}{2}{\mathcal{F}}_{\mu \nu }^{\alpha }\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }$，则可得

$$c(\mathcal{F})=\det \left(I+\frac{\mathrm{i}}{2\pi }{\mathcal{F}}^{\alpha }\left({\sigma }_{\alpha }/2\mathrm{i}\right)\right)$$

$$\begin{array}{rl}& =\det \left(\begin{array}{cc}1+(i/2\pi )({\mathcal{F}}^3/2i)& (i/2\pi )({\mathcal{F}}^1-i{\mathcal{F}}^2)/2i\\ (i/2\pi )({\mathcal{F}}^1+i{\mathcal{F}}^2)/2i& 1-(i/2\pi )({\mathcal{F}}^3/2i)\end{array}\right)\\ & =1+\frac{1}{4}{\left(\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\right)}^2\left({\mathcal{F}}^3\wedge {\mathcal{F}}^3+{\mathcal{F}}^1\wedge {\mathcal{F}}^1+{\mathcal{F}}^2\wedge {\mathcal{F}}^2\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(11.27)}$$

各个陈类分别为

$$c_0(\mathcal{F})=1$$

$$c_1(\mathcal{F})=0\text{\hspace{1em}(11.28)}$$

$$c_2(\mathcal{F})={\left(\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\right)}^2\sum \frac{{\mathcal{F}}^{\alpha }\wedge {\mathcal{F}}^{\alpha }}{4}=\det \left(\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }\right).$$

更高阶的陈类恒为零。

对于一般的纤维丛，通过展开行列式来计算陈类相当繁琐，因此人们希望找到一个能更简便地给出它们的公式。这可以通过将曲率形式对角化来实现。矩阵形式 $\mathfrak{F}$ 可由适当的矩阵 $g\in \mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$ 对角化为 $g^{-1}(\mathrm{i}\mathcal{F}/2\pi )g=\mathrm{diag}(x_1,\dots ,x_k)$，其中 $x_i$ 是二形式。这个对角矩阵记作 $A$。例如，当 $G=\mathrm{SU}(k)$ 时，生成元取为反厄米的，而厄米矩阵 $\mathrm{i}\mathcal{F}/2\pi$ 可由 $g\in \mathrm{SU}(k)$ 对角化。于是有

$$\begin{array}{rl}& \det (I+A)=\det [\mathrm{diag}(1+x_1,1+x_2,\dots ,1+x_k)]\\ & =\prod _{j=1}^k(1+x_j)\\ & =1+\left(x_1+\cdots +x_k\right)+\left(x_1{x}_2+\cdots +x_{k-1}{x}_k\right)\\ & +\cdots +(x_1{x}_2+\cdots +x_k)\\ & =1+\mathrm{tr}A+\frac{1}{2}\left\{{\left(\mathrm{tr}A\right)}^2-\mathrm{tr}{A}^2\right\}+\cdots +\det A.\end{array}\text{\hspace{1em}(11.29)}$$

注意，(11.29) 的每一项都是 $\{x_j\}$ 的初等对称函数，

$$S_0(x_j)\equiv 1$$

$$S_1(x_j)\equiv \sum ^k{x}_j$$

$$S_2\left(x_j\right)\equiv \sum _{i<j}^{j=1}{x}_i{x}_j\text{\hspace{1em}(11.30)}$$

其中

$$S_k(x_j)\equiv x_1{x}_2\dots x_k.$$

由于 $\det (I+A)$ 是不变多项式，故有 $P(\mathcal{F})=P(\mathrm{g}\mathcal{F}{\mathrm{g}}^{-1})=P(2\pi A/\mathrm{i})$，见 (11.7)。因此，对一般的 $\mathcal{F}$，有

$$\begin{array}{rl}& c_0(\mathcal{F})=1\\ & c_1(\mathcal{F})=\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}\left(g\frac{\mathrm{i}\mathcal{F}}{2\pi }{g}^{-1}\right)=\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\mathrm{tr}\mathcal{F}\\ & c_2(\mathcal{F})=\frac{1}{2}[(\mathrm{tr}\mathcal{A}{)}^2-\mathrm{tr}{\mathcal{A}}^2]=\frac{1}{2}(\mathrm{i}/2\pi {)}^2[\mathrm{tr}\mathcal{F}\wedge \mathrm{tr}\mathcal{F}-\mathrm{tr}(\mathcal{F}\wedge \mathcal{F})]\end{array}\text{\hspace{1em}(11.31)}$$

以及

$$c_k(\mathcal{F})=\det A=(i/2\pi {)}^k\det \mathcal{F}.$$

例 11.1 可由 (11.31) 容易地验证。[注意，泡利矩阵（一般地，$\mathrm{SU}(n)$ 的李代数 $\mathfrak{su}(n)$ 中的任何元素）都是无迹的，即 $\mathrm{tr}{\sigma }_{\alpha }=0$。]

11.2.2 陈类的性质

下面我们将涉及若干向量丛。我们常把向量丛 $E$ 的陈类记作 $c(E)$。如果需要指明曲率，则写作 $c({\mathcal{F}}_E)$。

定理 11.3

设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 为向量丛，其中 $G=\mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$，$F={\mathbb{C}}^k$。

(a)（自然性）设 $f:N\to M$ 为可微映射，则

$$c\left(f^{\ast }E\right)=f^{\ast }c(E).\text{\hspace{1em}(11.32)}$$

(b) 设 $F\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }M$ 为另一向量丛，其中 $F={\mathbb{C}}^l$，$G=\mathrm{GL}(l,\mathbb{C})$。则惠特尼和丛 $E\oplus F$ 的全陈类为

$$c(E\oplus F)=c(E)\wedge c(F).\text{\hspace{1em}(11.33)}$$

证明

(a) 自然性可由定理 11.2(a)直接得到。由于 $f^{\ast }E$ 的曲率为 ${\mathcal{F}}_{f^{\ast }E}=f^{\ast }{\mathcal{F}}_E$，故 $f^{\ast }E$ 的全陈类为

$$\begin{array}{rl}c\left(f^{\ast }E\right)& =\det \left(I+\frac{\mathrm{i}}{2\pi }{\mathcal{F}}_{f^{\ast }E}\right)=\det \left(I+\frac{\mathrm{i}}{2\pi }{f}^{\ast }{\mathcal{F}}_E\right)\\ & =f^{\ast }\det \left(I+\frac{\mathrm{i}}{2\pi }{\mathcal{F}}_E\right)=f^{\ast }c(E).\end{array}$$

(b) 我们考虑矩阵的陈多项式

$$A=\left(\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& C\end{array}\right).$$

[注意惠特尼和丛的曲率是分块对角的：${\mathcal{F}}_{E\oplus F}=$ diag $({\mathcal{F}}_E,{\mathcal{F}}_F)$。] 由此可得

$$\begin{array}{rl}\det \left(I+\frac{\mathrm{i}A}{2\pi }\right)& =\det \left(\begin{array}{cc}I+\frac{\mathrm{i}B}{2\pi }& 0\\ 0& I+\frac{\mathrm{i}C}{2\pi }\end{array}\right)\\ & =\det \left(I+\frac{\mathrm{i}B}{2\pi }\right)\det \left(I+\frac{\mathrm{i}C}{2\pi }\right)=c(B)c(C).\end{array}$$

把 $B$ 与 $C$ 分别换成 ${\mathcal{F}}_E$ 与 ${\mathcal{F}}_F$ 后，这一关系依然成立，即

$$c({\mathcal{F}}_{E\oplus F})=c({\mathcal{F}}_E)\wedge c({\mathcal{F}}_F)$$

这就证明了(11.33)。

$\square$

练习 11.1

(a) 设 $E$ 为平凡丛。利用推论 11.1证明

$$c(E)=1.\text{\hspace{1em}(11.34)}$$

(b) 设 $E$ 为向量丛，且 $E=E_1\oplus E_2$，其中 $E_1$ 是维数为 $k_1$ 的向量丛，$E_2$ 是维数为 $k_2$ 的平凡向量丛。证明

$$c_i(E)=0k_1+1\le i\le k_1+k_2.\text{\hspace{1em}(11.35)}$$

11.2.3 分裂原理

设 $E$ 是 $n$ 个复线丛的惠特尼和，

$$E=L_1\oplus L_2\oplus \cdots \oplus L_n.\text{\hspace{1em}(11.36)}$$

由(11.33)，我们有

$$c(E)=c\left(L_1\right)c\left(L_2\right)\dots c\left(L_n\right)\text{\hspace{1em}(11.37)}$$

其中乘积是外积，即微分形式的外积。由于当 $r\ge 2$ 时 $c_r(L)=0$，我们记

$$c\left(L_i\right)=1+c_1\left(L_i\right)\equiv 1+x_i.\text{\hspace{1em}(11.38)}$$

于是(11.37)成为

$$c(E)=\prod _{i=1}^n\left(1+x_i\right).\text{\hspace{1em}(11.39)}$$

将其与(11.29)比较可知，$n$ 维向量丛 $E$ 的陈类，与 $n$ 个复线丛的惠特尼和的陈类完全相同。尽管 $E$ 一般并不是复线丛的惠特尼和，但就陈类而言，我们可以把它当作是这种情况。这称为分裂原理(splitting principle)，我们不加证明地接受这一事实。一般性的证明可参见 Shanahan (1978) 和 Hirzebruch (1966) 等文献。

直观地说，若曲率 $\mathcal{F}$ 被对角化，则 $g$ 所作用的复向量空间就分裂为 $k$ 个独立的部分：${\mathbb{C}}^k\to \mathbb{C}\oplus \cdots \oplus \mathbb{C}$。每个特征值 $x_i$ 都是相应复线丛上的曲率。由于可对角化矩阵在 $M(n,\mathbb{C})$ 中稠密，任何矩阵都可以按我们希望的任意精度用对角矩阵逼近。因此，分裂原理对任何矩阵都适用。作为练习，读者可以利用分裂原理证明 (11.33)。

11.2.4 万有丛与分类空间

读到此处，读者想必对示性类已有一定了解。在结束本节之前，我们从略有不同的角度来考察它们，着重强调它们在纤维丛分类中的作用。设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是以 ${\mathbb{C}}^k$ 为纤维的向量丛。众所周知，我们总能找到一个丛 $\bar{E}\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }M$，使得

$$E\oplus \bar{E}\cong M\times {\mathbb{C}}^n\text{\hspace{1em}(11.40)}$$

其中 $n\ge k$。$E$ 在 $p\in M$ 处的纤维 $F_p$ 是 ${\mathbb{C}}^n$ 中的一个 $k$ 维平面。设 $G_{k,n}(\mathbb{C})$ 为例 8.4中定义的格拉斯曼流形。流形 $G_{k,n}(\mathbb{C})$ 就是 ${\mathbb{C}}^n$ 中所有 $k$ 维平面的集合。与典范线丛类似，我们定义 $G_{k,n}(\mathbb{C})$ 上以 ${\mathbb{C}}^k$ 为纤维的典范平面丛 $L_{k,n}(\mathbb{C})$，其维数为 $k$。考虑一个映射 $f:M\to G_{k,n}(\mathbb{C})$，它把点 $p$ 映为 ${\mathbb{C}}^n$ 中的 $k$ 维平面 $F_p$。

定理 11.4

设 $M$ 是流形，且 $\dim M=m$，又设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是以 ${\mathbb{C}}^k$ 为纤维的复向量丛。则存在自然数 $N$，使得当 $n>N$ 时，

(a) 存在映射 $f:M\to G_{k,n}(\mathbb{C})$，使得

$$E\cong f^{\ast }{L}_{k,n}(\mathbb{C})\text{\hspace{1em}(11.41)}$$

(b) $f^{\ast }{L}_{k,n}(\mathbb{C})\cong g^{\ast }{L}_{k,n}(\mathbb{C})$ 当且仅当 $f,g:M\to G_{k,n}(\mathbb{C})$ 是同伦的。

证明见 Chern (1979)。例如，若 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是复线丛，则存在丛 $\bar{E}\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }M$ 使得 $E\oplus \bar{E}\cong M\times {\mathbb{C}}^n$，并存在映射 $f:M\to G_{1,n}(\mathbb{C})\cong \mathbb{C}{P}^{n-1}$ 使得 $E=f^{\ast }L$，其中 $L$ 是 $\mathbb{C}{P}^{n-1}$ 上的典范线丛。此外，若 $f\sim g$，则 $f^{\ast }L$ 与 $g^{\ast }L$ 等价。如定理 11.4所示，向量丛的分类归结为映射 $M\to G_{k,n}(\mathbb{C})$ 的同伦类的分类。

定义分类空间 $G_k(\mathbb{C})$ 是方便的。把 ${\mathbb{C}}^n$ 中的 $k$ 维平面看作 ${\mathbb{C}}^{n+1}$ 中的平面，我们便得到自然的包含映射。

$$G_{k,k}(\mathbb{C})\hookrightarrow G_{k,k+1}(\mathbb{C})\hookrightarrow \cdots \hookrightarrow G_k(\mathbb{C})\text{\hspace{1em}(11.42)}$$

其中

$$G_k(\mathbb{C})\equiv \bigcup _{n=k}^{\infty }{G}_{k,n}(\mathbb{C}).\text{\hspace{1em}(11.43)}$$

相应地，我们有纤维为 ${\mathbb{C}}^k$ 的万有丛 $L_k\to G_k(\mathbb{C})$。对任意以 ${\mathbb{C}}^k$ 为纤维的复向量丛 $E\stackrel{\pi }{\to }M$，都存在映射 $f:M\to G_k(\mathbb{C})$ 使得 $E=f^{\ast }{L}_k(\mathbb{C})$。

设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 为向量丛。示性类(characteristic class) $\chi$ 定义为映射 $\chi :E\to \chi (E)\in H^{\ast }(M)$，使得

$$\chi \left(f^{\ast }E\right)=f^{\ast }\chi (E)(\text{自然性})\text{\hspace{1em}(11.44a)}$$

$$\chi (E)=\chi \left(E^{\prime }\right)\text{i f}E\text{等价于}{E}^{\prime }.\text{\hspace{1em}(11.44b)}$$

(11.44a) 左端的映射 $f^{\ast }$ 是丛的拉回，而右端的 $f^{\ast }$ 则是上同调类的拉回。由于 $f:M\to G_k(\mathbb{C})$ 的同伦类 $[f]$ 唯一地确定了拉回

$$f^{\ast }:H^{\ast }\left(G_k\right)\to H^{\ast }(M)\text{\hspace{1em}(11.45)}$$

元素 $\chi (E)=f^{\ast }\chi (G_k)$ 在分类 $M$ 上纤维维数为 $\dim E=k$ 的复向量丛时十分有用。对 $\chi (G_k)$ 的每一种取法，都存在 $E$ 中的一个示性类。

陈类 $c(E)$ 也可由下列公理来定义：

(i) $c(f^{\ast }E)=f^{\ast }c(E)$（自然性）(11.46a)

(ii) $c(E)=c_0(E)\oplus c_1(E)\oplus \cdots \oplus c_k(E)$

$$c_i(E)\in H^{2i}(M);c_i(E)=0i>k\text{\hspace{1em}(11.46b)}$$

(iii) $c(E\oplus F)=c(E)c(E)$（惠特尼和）(11.46c)

(iv) $c(L)=1+x$（归一化）(11.46d)

其中 $L$ 是 $\mathbb{C}{P}^n$ 上的典范线丛。可以证明，这些公理唯一地确定了陈类，如(11.25)所示。

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